Лекции по терверу - Горяйнов (1188226), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Будем считать,что ячейки занумерованы: a1 , . . . , an . Тогда под размещением можно пониматьназначение каждой частице номера ячейки. В результате приходим к следующему результату.♠ Количество размещений без ограничений различимых частиц (статистикаМаксвелла— Больцмана) равно nk .♠ Количество размещений без ограничений неразличимых частиц (статиkстика Бозе— Эйнштейна) равно Cn+k−1.♠ Количество размещений с ограничением неразличимых частиц (статистика Ферми— Дирака) равно Cnk .♠ Количество размещений с ограничениями различимых частиц равно Akn .1.3.
Геометрические вероятности. Рассмотрим теперь задачу, в которой пространство элементарных событий не является даже счетным. Допустим, что два лица X и Y условились встретиться между 14 и 15 часами вопределенном месте. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут,а затем уходит. Какова вероятность их встречи, если приход каждого лица влюбой момент времени из условленного промежутка равновероятен?Выберем в качестве единицы измерения один час и пусть x — промежутоквремени (в долях часа) от 14 часов до момента прихода X, а y — промежутоквремени от 14 часов до момента прихода Y .
Тогда пространством элементарныхсобытий будет квадратΩ = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1},а событие A, которое отвечает встрече, представляет собой подмножество Ω,выделяемое условием: |x − y| 6 1/6.В этой задаче нельзя построить вероятностную модель, просто приписав вероятность каждому элементарному событию.
С другой стороны, логично считать, что вероятность события A равняется отношению ее площади к площадиЛЕКЦИИ ПО ТВ5всего Ω. Поскольку площадь Ω равна 1, а площадь A равна2111=1− 1−,636то P(A) = 11/36.В общем случае, когда пространство элементарных событий Ω представляет собой область в Rn , n = 1, 2, . . ., и все элементарные события считаютсяравновероятными, вероятность события A ⊂ Ω будем вычислять по формулеP(A) =mes(A),mes(Ω)где под mes(A) понимается мера Жордана множества A, хотя в дальнейшеммы выясним, что для более сложных множеств, чем области в Rn , следуетрассматривать меру Лебега.§ 2. Алгебры событий и свойства вероятностиВ случае, когда пространство элементарных событий Ω не является конечным или счетным, нет удовлетворительного способа определить вероятность навсех его подмножествах. Поэтому возникает необходимость выяснить свойствакласса подмножеств Ω, которые будут отвечать событиям.
Как мы видели,теоретико множественные операции соответствуют логическим операциям надсобытиями. Поэтому такой класс подмножеств Ω должен быть замкнут относительно теоретико множественных операций.Определение 2.1. Класс A подмножеств Ω называется алгеброй, если Ω ∈A и он замкнут относительно операций объединения, пересечения и взятиядополнения.Следующее утверждение оказывается полезным при проверке, является ливыделенный класс подмножеств Ω алгеброй.Предложение 2.1.
Пусть A — класс подмножеств Ω, для которого выполняются следующие условия:(i) Ω ∈ A ;(ii) Если A ∈ A , то A ∈ A ;(iii) Если A, B ∈ A , то A ∪ B ∈ A .Тогда A является алгеброй подмножеств Ω.Доказательство. Нам нужно показать, что A замкнуто относительно всехтеоретико множественных операций. Из условий (ii) и (iii) следует, что классA замкнут относительно операции взятия дополнения и объединения. Остается показать, что класс A также замкнут относительно операции пересечения.Пусть A и B из A .
Тогда в силу условия (ii) дополнения A, B принадлежатA . ПредставлениеAB = A ∪ Bи условие (iii) доказывают принадлежность пересечения AB классу A .6В. В. ГОРЯЙНОВПриведем один важный пример получения алгебры событий (множеств).Определение 2.2. Совокупность событий D = {D1 , . .
. , Dn } будем называть разбиением, если Di Dj = ∅ при i 6= j и ∪ni=1 Di = Ω. Множества Diназываются в этом случае атомами разбиения D.Пусть D = {D1 , . . . , Dn } — некоторое разбиение. Через A (D) обозначимкласс событий, который включает ∅ и всевозможные объединения атомов разбиения. Очевидно, что A (D) представляет собой алгебру, которую мы будемназывать алгеброй, порожденной разбиением D.Анализируя свойства частоты и примеры, приходим к выводу, что вероятность P есть функция, определенная на некоторой алгебре A событий, котораяобладает следующими свойствами:1◦ .
P(A) > 0 для всех A из A (неотрицательность);2◦ . P(Ω) = 1 (нормированность);3◦ . Если A и B — два события из A и AB = ∅, то P(A ∪ B) = P(A) + P(B)(аддитивность).Эти простые три свойства вероятности приводят к более сложным свойствам.Предложение 2.2. Пусть A — алгебра подмножеств Ω и P : A → R —функция, удовлетворяющая свойствам 1◦ − 3◦ . Тогда имеют место утверждения:1.2.3.4.5.Для любого A ∈ A имеет место равенство P(A) = 1 − P(A) и P(∅) = 0;Если A, B ∈ A и A ⊂ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A);Если A, B ∈ A и A ⊂ B то P(A) 6 P(B);Для любого A ∈ A имеют место неравенства 0 6 P(A) 6 1;Для любых A, B ∈ A имеет место равенствоP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).(2.1)Доказательство.
Пусть A ∈ A . Из равенства Ω = A ∪ A и в силу свойств2◦ , 3◦ имеем 1 = P(A) + P(A), что и доказывает первое утверждение. В частности, P(∅) = P(Ω) = 0.Допустим теперь, что A, B ∈ A и A ⊂ B. Тогда B = A ∪ (B \ A) и сновав силу свойства 3◦ получаем P(B) = P(A) + P(B \ A). Отсюда следует второеутверждение.Третье утверждение следует из равенства P(B) = P(A) + P(B \ A) и неотрицательности вероятности.Непосредственно из третьего утверждения, которое составляет свойство монотонности вероятности, следует0 = P(∅) 6 P(A) 6 P(Ω) = 1.Пусть теперь A, B — произвольные из алгебры A .
Заметим, что A∪B можнопредставить в виде объединения трех непересекающихся множествA ∪ B = (A \ (AB)) ∪ (B \ (AB)) ∪ (AB).7ЛЕКЦИИ ПО ТВНо тогда по свойству аддитивности вероятности с использованием второгоутверждения получаемP(A ∪ B) = P(A) − P(AB) + P(B) − P(AB) + P(AB) = P(A) + P(B) − P(AB),и равенство (2.1) доказано.В дальнейшем под элементарной вероятностной моделью мы будем пониматьтройку (Ω, A , P), где Ω — некоторое множество (пространство элементарныхсобытий), A — алгебра подмножеств Ω и P — функция (вероятность), определенная на A и удовлетворяющая условиям 1◦ − 3◦ . Коротко тройку (Ω, A , P)будем называть вероятностное пространство. Вскоре мы несколько расширим понятия вероятностной модели и вероятностного пространства.Равенство (2.1) допускает обобщение на случай произвольного числа событий.Теорема 2.1.
[Сложения]. Пусть A1 , . . . , An — произвольные события, т. е.принадлежат алгебре A . Тогда имеет место равенство!nn[XXAi =P(Ai ) −P(Ai1 Ai2 ) + . . . + (−1)n−1 P(A1 · . . . · An ).Pi=1i=116i1 <i2 6nДоказательство. В случае n = 2 доказываемое утверждение совпадаетс равенством (2.1). Допустим теперь, что наше утверждение верно для всехнатуральных чисел вплоть до n − 1 и покажем, что оно тогда будет верным идля n. Используя вначале равенство (2.1), а затем предположение индукции,получаем!!!!n−1n−1n−1[[[P An ∪Ai= P(An ) + PAi − PAn Aii=1= P(An ) + n−1X−=i=1n−1Xi=1nXi=1i=1P(Ai ) −P(An Ai ) −P(Ai ) −X16i1 <i2 6n−1X16i1 <i2 6n−1X16i1 <i2 6ni=1P(Ai1 Ai2 ) + .
. . + (−1)n−2 P(A1 · . . . · An−1 )P(An Ai1 Ai2 ) + . . . + (−1)n−2 P(A1 · . . . · An )P(Ai1 Ai2 ) + . . . + (−1)n−1 P(A1 · . . . · An ).Теорема доказана.Следующий результат выражает свойство полуаддитивности вероятностидля произвольного набора событий.Предложение 2.3. Пусть A1 , . . . , An — произвольные события. Тогда!nn[XPAk 6P(Ak ).k=1k=18В. В. ГОРЯЙНОВДоказательство. Рассмотрим события B1 = A1 , B2 = A2 A1 , . .
. , Bn =An A1 · . . . · An−1 . Очевидно, что Bi Bj = ∅ при i 6= j и ∪ni=1 Ai = ∪ni=1 Bi .Кроме того, поскольку Bi ⊂ Ai , то в силу свойства монотонности вероятностиP(Bi ) 6 P(Ai ), i = 1, . . . , n. Используя эти неравенства и свойство аддитивности, получаем!!nnnn[[XXPAi = PBi =P(Bi ) 6P(Ai ).i=1i=1i=1i=1§ 3. Условная вероятность и независимостьДопустим, что мы не знаем точный результат (элементарное событие) случайного эксперимента, но знаем, что произошло событие A.
Эта информациядолжна повлиять на переоценку вероятностей всех других событий. Принимаяво внимание то, что вероятность события проявляется через частоту его появления, допустим, что при N испытаниях события A, B и AB наблюдались вNA , NB и NAB числе случаев, соответственно. Тогда отношение NAB /NA будетвыражать частоту появления события B при условии, что произошло событиеA. ПосколькуNABNAB /N,=NANA /Nто эта частота будет отражением величины P(AB)/P(A).Определение 3.1.
Пусть (Ω, A , P) — вероятностное пространство и событие A имеет положительную вероятность, P(A) 6= 0. Тогда для каждого B изA под условной вероятностью этого события при условии A будем пониматьвеличинуP(AB)P(B|A) =.(3.1)P(A)Условная вероятность P(B|A) = PA (B), как функция на A , обладает всемисвойствами вероятности. Таким образом, информация о том, что произошло событие A, позволяет перейти к новому вероятностному пространству (Ω, A , PA ).На практике чаще легче бывает вычислить условную вероятность P(B|A) итогда, используя равенство (3.1), получить вероятность совместного наступления этих событийP(AB) = P(A)P(B|A).(3.2)Это равенство известно как теорема умножения и имеет следующее обобщение.Теорема 3.1.
Пусть события A1 , . . . , An таковы, что P(A1 · . . . · An ) > 0.ТогдаP(A1 · . . . · An ) = P(A1 ) · P(A2 |A1 ) · . . . · P(An |A1 · . . . · An−1 ).(3.3)ЛЕКЦИИ ПО ТВ9Доказательство. Заметим прежде всего, что все условные вероятности вправой части равенства (3.3) корректно определены, поскольку P(A1 ·. . .·An ) >0 и A1 · . . . · An является подмножеством каждого условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
