Лекции по терверу - Горяйнов (1188226), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Кроме того, 111111= O= O= O,,.nσ2kσ2n−kσ2Таким образом,ln P(Bn (k)) = ln n! − ln k! − ln(n − k)! + k ln p + (n − k) ln q1n= ln+ n ln n − k ln k − (n − k) ln(n − k)2 2πk(n − k) 1+ k ln p + (n − k) ln q + Oσ2 11nkn−k1=ln+ ln− k ln− (n − k) ln+O.22πk(n − k)npnqσ214В. В. ГОРЯЙНОВДалее,ln xp 1n1xq 1− ln 1 −= 2 ln + O= ln− ln 1 +,k(n − k)npqσσσσа такжеk lnxp kn−kxq + (nq − xσ) ln 1 −+ (n − k) ln= (np + xσ) ln 1 +npnqσσ xq x2 q 21= (np + xσ)+o−σ2σ 2σ2xp x2 p21+ (nq − xσ) −−+oσ2σ 2σ2 1x2 px2 q+ x2 q − xσ −+ x2 p + O= xσ −22σ 1x2+O=.2σВ результате получаем1x2+Oln P(Bn (k)) = ln √ −2σ 2π 1,σчто и доказывает теорему.Теорема 4.3.
[Интегральная теорема Муавра-Лапласа.] Пусть в схемеБернулли 0 < p < 1 фиксировано и Sn — число успехов в серии из n независимых экспериментов. Тогда для −∞ < a < b < +∞ при n → ∞ имеет местопредельное соотношениеZbx2Sn − np1lim P a 6 √6b = √e− 2 dx.n→∞npq2πaДоказательство этой теоремы следует из центральной предельной теоремы,которая будет рассмотрена позже.Предельные теоремы Пуассона и Муавра— Лапласа используют для приближенных вычислений вероятностей P(Sn = k) и P(k1 6 Sn 6 k2 ) в схеме Бернулли, когда n велико. В теореме Пуассона появилось распределение Пуассона:pk = e−λ λk /k!, k = 0, 1, 2, .
. .. В теореме Муавра— Лапласа возникает√нормаль2ное распределение, которое описывается плотностью ϕ(x) = e−x /2 / 2π. Дляраспределения Пуассона и интеграла Лапласа1Φ0 (x) = √2πZxe−u22du0имеются таблицы.Допустим, что нам нужно вычислить вероятность P(k1 6 Sn 6 k2 ) в схемеБернулли с n независимыми испытаниями и вероятностью p успеха в отдельном испытании. Если n велико, то можно использовать интегральную теорему15ЛЕКЦИИ ПО ТВМуавра— Лапласа следующим образом:k1 − npSn − npk2 − npP(k1 6 Sn 6 k2 ) = P √6 √6 √≈ Φ(x2 ) − Φ(x1 ),npqnpqnpqгдеx1 =k1 − np,√npqx2 =k2 − np,√npq1Φ(x) = √2πZxe−u22du.−∞Если считать, что Φ0 (x) = −Φ0 (|x|) при отрицательных x, то Φ(x2 ) − Φ(x1 ) =Φ0 (x2 ) − Φ0 (x1 ) для любых значений x1 , x2 . Это следует из четности функцииϕ(x).Полиномиальная схема является обобщением схемы Бернулли.
Здесь результатом каждого испытания может быть один из r взаимоисключающих исходов A1 , . . . , Ar с вероятностями появления p1 , . . . , pr , соответственно, p1 +. . . + pr = 1. Элементарное событие, соответствующее серии независимых nиспытаний, можно представить в виде ω = (δ1 , . . .
, δn ), где каждое δi можетпринимать одно из значений 1, . . . , r. Вероятность элементарного события всилу независимости испытаний будет определяться равенствомP({ω}) = pδ1 · . . . · pδn .Подобно событию Bn (k), которое рассматривалось в схеме Бернулли, в полиномиальной схеме вводится Bn (k1 , . . .
, kr ) — событие, состоящее в том, что в сериииз n экспериментов произошло k1 исходов с номером 1, . . . , kr исходов с номером r, k1 + . . . + kr = n. Из общей формулы видно, что если ω ∈ Bn (k1 , . . . , kr ),тоP({ω}) = pk11 · . . . · pkr r .Используя основное правило комбинаторики, легко подсчитывается количествоэлементарных событий в Bn (k1 , . . . , kr ):k2· . . . · Ckkrr =Cnk1 · Cn−k1n!.k1 ! · . . . · kr !Таким образом, мы приходим к основному результату полиномиальной схемы —полиномиальному распределениюP(Bn (k1 , . . .
, kr )) =n!pk1 · . . . · pkr r ,k1 ! · . . . · kr ! 1k1 + . . . + kr = n.В случае r = 2 мы снова получаем схему Бернулли.§ 5. Дискретные случайные величиныЧасто с результатом случайного эксперимента связывают число. В связи сэтим возникает важное понятие случайной величины.Пусть (Ω, A , P) — некоторое вероятное пространство. Под случайной величиной, определенной на этом вероятностном пространстве, будем понимать числовую функцию ξ : Ω → R такую, что{ω : ξ(ω) 6 x} ∈ A16В. В. ГОРЯЙНОВдля всех x ∈ R.
Другими словами, {ξ 6 x} является событием и мы можемговорить о вероятности этого события. В этом параграфе мы будем изучать, восновном, дискретные случайные величины, которые принимают конечное илисчетное множество значений. Если ξ : Ω → {x1 , x2 , . . .}, то условие того, чтоξ — случайная величина, выражается просто: {ξ = xk } ∈ A , k = 1, 2, . .
..Вначале рассмотрим случай, когда ξ принимает конечное число значений.Такие случайные величины называют простыми. Если ξ принимает толькозначения x1 , . . . , xn , то события Dk = {ξ = xk } образуют разбиение Dξ ={D1 , . . . , Dn }. Через Aξ будем обозначать алгебру, порожденную этим разбиением. Заметим также, что P(ξ = xk ) = P(Dk ).Простейшей случайной величиной является индикатор события A ∈ A , который определяется равенством(1, если ω ∈ A,1A (ω) =0, если ω 6∈ A.Отметим основные свойства индикаторов, которые следуют непосредственноиз определения.1Ω (ω) ≡ 1,1∅ (ω) ≡ 0,1A (ω) = 1 − 1A (ω).В дальнейшем мы будем опускать зависимость от элементарного события иписать просто 1A .
Имеют место также следующие соотношенияYY(1 − 1Ai ) .1∩Ai =1Ai , 1∪Ai = 1 − 1∪Ai = 1 − 1∩Ai = 1 −Пусть ξ — случайная величина, принимающая значения x1 , . . . , xn соответственно на D1 , . . . , Dn , т. е. Dξ = {D1 , . . . , Dn }. Тогдаξ =nXxi 1Di .(5.1)i=1Другими словами, простую случайную величину можно представить как линейную комбинацию индикаторов.Допустим теперь, что проводится большое количество N экспериментов, соответствующих вероятностному пространству (Ω, A , P). Тогда значение xi будет приниматься случайной величиной ξ, определяемой равенством (5.1), приблизительно в N pi , pi = P(Di ), случайных экспериментах.
Следовательно,среднее наблюдавшихся значений случайной величины ξ будет приблизительно равно величинеnX1(x1 N p1 + . . . + xn N pn ) =xi pi .Ni=1Это делает интуитивно понятным следующее определение.Определение 5.1. Математическим ожиданием случайной величины ξ, определяемой равенством (5.1), называется числоEξ =nXi=1xi P(Di ) =nXi=1xi P(ξ = xi ).(5.2)17ЛЕКЦИИ ПО ТВЗамечание 5.1. Если случайная величина ξ, определяемая равенством (5.1),допускает также представлениеξ =NXyj 1 Hj ,j=1где {H1 , .
. . , HN } — разбиение, а y1 , . . . , yN не обязательно все различные, тоEξ =NXyj P(Hj ).j=1Доказательство. Действительно, множество индексов {1, . . . , N } можноразбить на подмножества Jk = {j : yj = xk }, k = 1, . . . , n. Заметим, что приэтом Dk = ∪j∈Jk Hj . Следовательно,NXj=1yj P(Hj ) =n XXxk P(Hj ) =k=1 j∈JknXxk P(Dk ) = Eξ.k=1Замечание 5.2. Если ξ определена равенством (5.1), а ϕ : R → R — некоторая функция, то математическое ожидание случайной величины η = ϕ(ξ)можно вычислить по формулеEη =nXϕ(xi )P(Di ).i=1Свойства математического ожидания простых случайных величин.1◦ .
Для любого A ∈ A имеет место равенство E1A = P(A);2◦ . (Линейность.) Если ξ, η — случайные величины и α ∈ R, то E(αξ) = αEξи E(ξ + η) = Eξ + Eη;3◦ . (Монотонность.) Если ξ > 0, то Eξ > 0 и равенство Eξ = 0 возможнолишь в случае P({ω : ξ(ω) 6= 0}) = 0, т. е.
случайная величина ξ почтинаверное равна нулю;4◦ . Для любой случайной величины ξ имеет место неравенство |Eξ| 6 E|ξ|;5◦ . (Неравенство Шварца.) Для любых случайных величин ξ и η имеетместо неравенство (Eξη)2 6 (Eξ 2 )(Eη 2 ).Доказательство. Свойство 1◦ очевидно. РавенствоE(αξ) =PαEξ следуетPnmиз замечания 5.2.
Допустим теперь, что ξ =x1, η =iDii=1j=1 yj 1Hj —две случайные величины, а {D1 , . . . , Dn }, {H1 , . . . , Hm } — соответствующие имразбиения. Тогда случайная величина ξ + η может быть представлена в видеξ+η =X(xi + yj )1Di Hj .i,j18В. В. ГОРЯЙНОВНо тогда, в силу замечания 5.1 имеемXE(ξ + η) =(xi + yj )P(Di Hj )i,j=Xxi P(Di Hj ) +i,j=Xi=XxiXXi,jP(Di Hj ) +jP(Di ) +iXyj P(Di Hj )XjyjXP(Di Hj )iyj P(Hj )j= Eξ + Eηи свойство 2◦ доказано.Условие ξ > 0 означает, что в представлении (5.1) все xi , i = 1, . .
. , n, неотрицательны. Но тогда и Eξ, как сумма неотрицательных слагаемых, также будетнеотрицательной. Равенство Eξ = 0 возможно лишь в случае, когда P(Di ) = 0для тех индексов i, которые соответствуют строго положительным значениямxi . Это доказывает свойство 3◦ .Свойство 4◦ является непосредственным следствием неравенства треугольника. Для доказательства 5◦ заметим вначале, что в случае равенства нулюправой части неравенства Шварца обращается в нуль и левая его часть. Если,например, Eξ 2 = 0, то P(ξ = 0) = 1 и Eξη = 0. Допустим теперь, что Eξ 2 > 0 иEη 2 > 0. Тогда корректно определены случайные величины|ξ|,ξˆ = pEξ 2|η|η̂ = p.Eη 2Замечая, что Eξˆ2 = Eη̂ 2 = 1, и используя очевидное неравенство 2ξˆη̂ 6 ξˆ2 + η̂ 2 ,получаем2Eξˆη̂ 6 Eξˆ2 + Eη̂ 2 = 2,Eξˆη̂ 6 1,что эквивалентно неравенству Шварца.Другой важной числовой характеристикой случайной величины являетсядисперсия, которая характеризует степень разброса значений случайной величины.Определение 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
