Лекции по терверу - Горяйнов (1188226), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Отметим характеристические свойства функции распределения:1◦ . Fξ (x) не убывает на R;2◦ . Fξ (x) непрерывна справа в каждой точке x ∈ R;3◦ . Fξ (−∞) = lim Fξ (x) = 0,Fξ (∞) = lim Fξ (x) = 1.x→−∞x→∞Доказательство. Монотонность функции Fξ следует из свойства монотонности меры Pξ . Действительно, если x0 < x00 , то (−∞, x0 ] ⊂ (−∞, x00 ]и Pξ ((−∞, x0 ]) 6 Pξ ((−∞, x00 ]), т. е. Fξ (x0 ) 6 Fξ (x00 ).
Допустим теперь, чтоxn & x при n → ∞. Тогда (−∞, xn ] & (−∞, x] и по свойству непрерывностимеры Pξ имеемlim Fξ (xn ) = lim Pξ ((−∞, xn ]) = Pξ ((−∞, x]) = Fξ (x).n→∞n→∞30В. В. ГОРЯЙНОВТем самым доказана непрерывность справа функции Fξ . Свойство 3◦ такжеследует из непрерывности меры Pξ поскольку (−∞, xn ] & ∅ при xn & −∞ и(−∞, xn ] % R при xn % ∞.Заметим, что любая функция F , определенная на R и удовлетворяющаяусловиям 1◦ — 3◦ , может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.В случае дискретной случайной величины ξ ее функция распределения является ступенчатой.
Среди непрерывных функций распределения выделяютсяабсолютно непрерывные, которые определяются плотностьюFξ (x) =Zxfξ (u) du.−∞В качестве плотности fξ может выступать любая неотрицательная функция fна R, которая интегрируема на всей числовой оси иZ∞f (x) dx = 1.−∞В терминах плотности fξ просто выражаются следующие вероятностиP({ω : a < ξ(ω) < b}) = P({ω : a 6 ξ(ω) 6 b}) =Zbfξ (x) dx.aКроме того, в точках непрерывности плотности функция Fξ дифференцируемаи выполняется равенствоFξ0 (x) = fξ (x).Среди наиболее часто встречающихся в приложениях абсолютно непрерывныхраспределений отметим следующие:♦ Нормальное (или гауссовское) с плотностьюfξ (x) =221√ e−(x−a) /2σ ,σ 2πa ∈ R,♦ Равномерное на [a, b]fξ (x) =11[a,b] (x);b−a♦ Показательноеfξ (x) = λe−λx 1[0,∞) (x),♦ Кошиfξ (x) =1 1.π x2 + 1λ > 0;σ > 0;31ЛЕКЦИИ ПО ТВСовместное распределение случайных величин также можно описатьфункцией распределения.
Пусть ξ и η — две случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве (Ω, A , P). Тогда под их совместнойфункцией распределения понимаютFξ,η (x, y) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 x, η(ω) 6 y}),(x, y) ∈ R2 . Отметим свойства Fξ,η как функции двух переменных.1∗ . Fξ,η (x, y) не убывает по каждой переменной;2∗ . Fξ,η (x, y) непрерывна справа по каждой переменной иFξ,η (−∞, y) = Fξ,η (x, −∞) = 0,Fξ,η (+∞, +∞) = 1;3∗ . Для всех x, y ∈ R, ∆x > 0, ∆y > 0 выполняется неравенствоFξ,η (x + ∆x, y + ∆y) − Fξ,η (x, y + ∆y) − Fξ,η (x + ∆x, y) + Fξ,η (x, y) > 0.Свойства 1∗ — 3∗ являются характеристическими для совместной функциираспределения. Кроме того, совместная функция распределения содержит всебе индивидуальные (одномерные) функции распределения:Fξ (x) = lim Fξ,η (x, y),Fη (y) = lim Fξ,η (x, y).y→∞x→∞Важный класс непрерывных совместных функций распределения составляют абсолютно непрерывные, которые определяются плотностьюFξ,η (x, y) =Zx Zyfξ,η (u, v) dudv.−∞ −∞В терминах плотности fξ,η удобно вычислять вероятность попадания случайнойточки (ξ, η) в область D ⊂ R2 :ZZP((ξ, η) ∈ D) =fξ,η (x, y) dxdy.DВ качестве плотности совместного распределения двух случайных величин можно рассматривать любую неотрицательную функцию f (x, y), для которойZZf (x, y) dxdy = 1.R2В точках непрерывности плотности fξ,η (x, y) выполняется равенство∂2Fξ,η (x, y) = fξ,η (x, y).∂x∂yЕсли совместная функция распределения Fξ,η абсолютно непрерывна, то такжеабсолютно непрерывными будут одномерные функции распределения Fξ и Fη .При этомfξ (x) =Z∞−∞fξ,η (x, y) dy,fη (y) =Z∞−∞fξ,η (x, y) dx.32В.
В. ГОРЯЙНОВЗамечание 6.4. Случайные величины ξ и η независимы в том и только томслучае, если для всех x, y ∈ R выполняется равенствоFξ,η (x, y) = Fξ (x)Fη (y).В абсолютно непрерывном случае это равенство эквивалентно следующемуfξ,η (x, y) = fξ (x)fη (y).Аналогично двумерному случаю рассматривается совместное распределениеn случайных величин.§ 7. Математическое ожиданиеРанее мы определили математическое ожидание для дискретных случайныхвеличин. В общем случае математическое ожидание (если оно существует) вводится путем аппроксимации случайной величины последовательностями простых случайных величин и предельным переходом.Теорема 7.1.
[Аппроксимационная] Пусть ξ — неотрицательная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (Ω, A , P). Тогданайдется последовательность {ξn } простых неотрицательных случайных величин такая, что ξn (ω) % ξ(ω) при n → ∞ для всех ω ∈ Ω.n Доказательство.o Для каждого натурального n введем разбиение Dn =(n)(n)∆n , D1 , . . . , Dn2n , где∆n = {ω : ξ(ω) > n},(n)Dk=ω:kk−16 ξ(ω) < nn22,k = 1, 2, . . . , n2n .Далее определим простые случайные величиныnξn = n · 1∆n +n2Xk−1k=12n· 1D(n)kи покажем, что ξn (ω) % ξ(ω) при n → ∞ для всех ω ∈ Ω.
Вначале докажеммонотонность этой последовательности простых случайных величин. Пустьω ∈ Ω фиксировано. Если ξ(ω) > n, то ξn (ω) = n, а ξn+1 > n, как видно изопределения последовательности случайных величин ξn . В случае ξ(ω) < n(n)найдется k 6 n2n такое, что ω ∈ Dk . Но тогда ξn (ω) = (k − 1)2−n , а(n)Dk(n+1)(n+1)= D2k−1 ∪ D2k.(n+1)Если ω ∈ D2k−1 , тоξn+1 (ω) = (2k − 2) · 2−(n+1) = (k − 1) · 2−n = ξn (ω),(n+1)а если ω ∈ D2k, тоξn+1 (ω) = (2k − 1) · 2−(n+1) = (k − 1) · 2−n + 2−(n+1) = ξn (ω) + 2−(n+1) .33ЛЕКЦИИ ПО ТВМонотонность последовательности ξn (ω) таким образом доказана.Заметим теперь, что для фиксированного ω ∈ Ω найдется такое натуральноеN , что ξ(ω) < N .
Из построения последовательности следует, что при n > Nбудут выполняться неравенстваξn (ω) 6 ξ(ω) < ξn (ω) + 2−n .Отсюда следует, что ξn (ω) % ξ(ω) при n → ∞.Для доказательства корректности вводимого ниже определения математического ожидания нам потребуется также следующий результат.Теорема 7.2. Пусть η, ξ1 , ξ2 , . . .
— простые неотрицательные случайные величины и ξn (ω) % ξ(ω) > η(ω) при n → ∞ для всех ω ∈ Ω. ТогдаEη 6 lim Eξn .n→∞Доказательство. Фиксируем произвольно ε > 0 и определимAn = {ω : ξn (ω) > η(ω) − ε},n = 1, 2, . . . .Посколькуξn = ξn 1An + ξn 1An > (η − ε)1An = η − η1An − ε1An > η − M 1An − ε,где M = max{η(ω) : ω ∈ Ω}, тоEξn > Eη − ε − M P(An ).Из монотонности последовательности {ξn } и условия ξ > η следует, что An %Ω при n → ∞. Но тогда An & ∅ и в силу непрерывности вероятностноймеры P(An ) → 0 при n → ∞. Поскольку числовая последовательность {Eξn }не убывает, то она либо стремится к ∞, либо сходится к конечному пределу.Следовательно,lim Eξn > Eη − ε.n→∞Поскольку ε > 0 выбиралось произвольно, тоlim Eξn > Eηn→∞и теорема доказана.Следствие 7.1.
Пусть {ξn }, {ηn } — две последовательности простых неотрицательных случайных величин и ξn % ξ, ηn % ξ. Тогдаlim Eξn = lim Eηn .n→∞n→∞Доказательство. Из теоремы следует, что для каждого k = 1, 2, . . . выполняется неравенствоlim Eξn > Eηk .n→∞Но тогдаlim Eξn > lim Eηk .n→∞k→∞Меняя ролями эти последовательности, получим обратное неравенство, что ивлечет требуемое равенство.34В.
В. ГОРЯЙНОВОпределение 7.1. Пусть ξ — неотрицательная случайная величина и ξn %ξ, где {ξn } — последовательность простых неотрицательных случайных величин. ТогдаEξ := lim Eξn ,n→∞если этот предел конечен.Заметим, что существование последовательности {ξn } следует из теоремы 7.1,а то, что определение Eξ не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности, следует из теоремы 7.2 и следствия 7.1.Для произвольной случайной величины ξ рассматриваются две неотрицательные случайные величиныξ + = max{ξ, 0},ξ − = max{−ξ, 0}.Очевидно, что ξ = ξ + −ξ − .
В случае, когда Eξ + и Eξ − конечны, будем говорить,что ξ имеет конечное математическое ожиданиеEξ := Eξ + − Eξ − .Из определения следует, что в случае, когда случайная величина ξ имеет конечное математическое ожидание, то и |ξ| также имеет конечное математическоеожидание, поскольку |ξ| = ξ + + ξ − .Введенное таким образом математическое ожидание сохраняет основные свойства, которые были установлены для простых случайных величин:1◦ Линейность: E(aξ + bη) = aEξ + bEη;п.н.2◦ Монотонность: если ξ > 0, то Eξ > 0 и равенство Eξ = 0 влечет ξ = 0,т. е. P({ω : ξ(ω) = 0}) = 1;3◦ Если ξ имеет конечное математическое ожидание, то |Eξ| 6 E|ξ|, а в случае конечных математических ожиданий Eξ 2 и Eη 2 выполняется неравенство Шварца (Eξη)2 6 (Eξ 2 )(Eη 2 ).Кроме того, если ξ1 , .
. . , ξn — независимыеQn случайные величины с конечнымиматематическими ожиданиями, то ξ = k=1 ξk также имеет конечное математическое ожидание и выполняется равенствоEξ =nYEξk .k=1Сформулируем также без доказательства основные теоремы о предельномпереходе под знаком математического ожидания.Теорема 7.3. [О монотонной сходимости] Пусть ξ1 , ξ2 , .
. . — неотрицательные случайные величины и ξn % ξ. Тогда Eξn % Eξ при n → ∞.Здесь для удобства формулировки теоремы допускается случай Eξ = +∞.Тогда и Eξn → ∞ при n → ∞. Это допущение предполагается и в последующихформулировках теорем.Теорема 7.4. [Лемма Фату] Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — неотрицательные случайные величины. ТогдаE lim ξn 6 lim Eξn .n→∞n→∞35ЛЕКЦИИ ПО ТВТеорема 7.5. [Лебега о мажорируемой сходимости] Пусть η, ξ1 , ξ2 , .
. . —случайные величины, для которых выполняются следующие условия: |ξn | 6 ηдля всех n, ξn → ξ при n → ∞ и Eη < ∞. Тогдаlim E|ξn − ξ| = 0.lim Eξn = Eξ,n→∞n→∞В действительности, определение математического ожидания, приведенноевыше, является интегралом Лебега от функции ξ : Ω → R по мере P иZZξ(ω)P(dω).ξ(ω)dP(ω) =Eξ =ΩΩКак ранее отмечалось, с каждой случайной величиной ξ ассоциируется новоевероятностное пространство (R, B, Pξ ), где B — борелевская σ-алгебра на R, аPξ — распределение вероятностей (борелевская мера) случайной величины ξ.Все вычисления, связанные со случайной величиной ξ, мы можем перенести на(R, B, Pξ ). В частности, если ξ имеет конечное математическое ожидание Eξ,тоZEξ =xdPξ (x).RКроме того, если ϕ : R → R — борелевская функция (для любого борелевскогомножества B прообраз ϕ−1 (B) также является борелевским множеством), тоη = ϕ(ξ) также будет случайной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
