Лекции по терверу - Горяйнов (1188226), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При работе с бесконечными множествами часто приходится иметь дело с последовательностями подмножеств и производить с нимисчетное число операций. Например, если A1 , A2 , . . . — последовательность множеств, то естественно возникают верхний и нижний пределы этой последовательностиA∗ = lim An =n→∞∞ [\Ak ,n=1 k>nA∗ = lim An =n→∞∞ \[Ak .n=1 k>nЕсли A1 , A2 , .
. . интерпретировать как события, то верхний предел A∗ выражаетто, что произошло бесконечно много событий последовательности, а нижнийпредел A∗ соответствует тому, что произошли все события последовательности, за исключением, быть может, конечного числа. В случае A1 ⊂ A2 ⊂ . . .последовательность {An } называется монотонно возрастающей и тогда A∗ =A∗ = ∪∞n=1 An . Аналогично, в случае A1 ⊃ A2 ⊃ .
. . последовательность {An }называется монотонно убывающей и A∗ = A∗ = ∩∞n=1 An . В общем случаепоследовательность {An } называется сходящейся, если A∗ = A∗ .Определение 6.1. Класс A подмножеств Ω называется σ-алгеброй, еслион является алгеброй и замкнут относительно счетных объединений.Замечание 6.1. Класс A подмножеств Ω является σ-алгеброй в том и только том случае, если выполнены следующие условия:1◦ Ω ∈ A ;2◦ Если A ∈ A , то Ā ∈ A ;3◦ Если {An } ⊂ A , то ∪∞n=1 An ∈ A .Другими словами, σ-алгебра замкнута относительно счетного числа теоретико-множественных операций. Действительно, замкнутость относительно счетных объединений содержится в пункте 3◦ , а замкнутость относительно счетныхпересечений выводится с использованием правил де Моргана.Определение 6.2.
Пусть K — некоторый класс подмножеств Ω. Тогда подσ(K ) будем понимать σ-алгебру подмножеств Ω, которая удовлетворяет следующим условиям:(i) K ⊂ σ(K );(ii) Если F — σ-алгебра подмножеств Ω и K ⊂ F , то σ(K ) ⊂ F .В силу условия (ii) σ-алгебру σ(K ) называют минимальной σ-алгеброй,порожденной K . Поскольку 2Ω , множество всех подмножеств Ω, являетсяσ-алгеброй и пересечение любой совокупности σ-алгебр также является σ-алгеброй, то для любого семейства K подмножеств Ω существует и единственнаσ(K ).26В.
В. ГОРЯЙНОВЕсли Ω = R, а K — совокупность открытых множеств в R, то в качествеσ(K ) мы получаем борелевскую σ-алгебру подмножеств R. Ее обычно обозначают через B(R) или B. Множества из B называют борелевскими множествами.Замечание 6.2. Если T — класс полуинтервалов вида (−∞, x], x ∈ R, тоσ(T ) = B.Действительно, σ(T ) должна содержать полуинтервалы вида (a, b], поскольку (a, b] = (−∞, b] \ (−∞, a].
Но тогда замкнутость σ(T ) относительно счетныхобъединений влечет принадлежность и интервалов (a, b) = ∪∞n=1 (a, b − ε/n],0 < ε < (b − a)/2. С другой стороны, любое открытое множество в R можнопредставить в виде объединения не более, чем счетного числа интервалов. Этовлечет равенство σ(T ) = B.Определение 6.3. Пусть Ω — некоторое множество и A — некоторая σ-алгебра его подмножеств.
Пара (Ω, A ) называется измеримым пространством.Введем еще несколько определений, связанных с понятием вероятности.Определение 6.4. Пусть (Ω, A ) — измеримое пространство. Неотрицательная функция µ : A → R+ называется аддитивной, если µ(∅) = 0 и для всехA, B ∈ A таких, что AB = ∅, выполняется равенство µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).Функция µ : A → R+ называется счетно-аддитивной, если µ(∅) = 0 и длялюбой последовательности {AN } ⊂ A такой, что Ai Aj = ∅ при i 6= j, выполняется равенство!∞∞X[µ(An ).µAn =n=1n=1Определение 6.5. Пусть (Ω, A ) — измеримое пространство. Функция µ :A → R+ называется мерой на (Ω, A ), если она счетно-аддитивна. Тройка(Ω, A , µ) в этом случае называется пространством с мерой. Мера µ на (Ω, A )называется вероятностной мерой, если µ(Ω) = 1.В дальнейшем под вероятностным пространством будем понимать тройку(Ω, A , P), где (Ω, A ) — измеримое пространство, а P — вероятностная мера на(Ω, A ).
Это определение вероятностного пространства составляет аксиоматику Колмогорова.Определение 6.6. Пусть (Ω, A ) — измеримое пространство. Функция µ :A → R+ называется непрерывной, если µ(∅) = 0 и для всякой монотоннойисчезающей последовательности Hn & ∅ в A выполняется условиеµ(Hn ) → 0приn → ∞.Теорема 6.1. Пусть (Ω, A ) — измеримое пространство и µ : A → R+ —аддитивная функция. Для того, чтобы µ была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной.Доказательство.
Допустим, что µ является счетно-аддитивной и {Hn } ⊂A — исчезающая последовательность. Определим A1 = H1 H̄2 , A2 = H2 H̄3 , . . ..27ЛЕКЦИИ ПО ТВПоскольку Hn & ∅, то A1 , A2 , . . . образуют последовательность попарно непересекающихся множеств в A . При этом для n = 1, 2, .
. . выполняется равенствоHn = ∪∞k=n Ak . В силу счетной аддитивности получаемµ(Hn ) =∞Xµ(Ak )k=nи µ(Hn ) → 0 при n → ∞ как остаток сходящегося ряда.Обратно, допустим теперь, что µ удовлетворяет условию непрерывности иA1 , A2 , . . . — последовательность попарно непересекающихся множеств из A .nОбозначим A = ∪∞n=1 An , Bn = ∪k=1 Ak . Тогда Bn % A и в силу аддитивностиµ выполняются равенстваµ(Bn ) =nXµ(Ak ),k=1µ(A \ Bn ) = µ(A) −nXµ(Ak ).k=1Замечая также, что Hn = A \ Bn , n = 1, 2, .
. ., образуют исчезающую последовательность, с использованием непрерывности µ получаемµ(A) = µ(Hn ) +nXk=1µ(Ak ) →∞Xµ(Ak )k=1при n → ∞.Следствие 6.1. Пусть (Ω, A , µ) — пространство с мерой и {An } ⊂ A —монотонная последовательность с пределом A = limn→∞ An . Тогдаlim µ(An ) = µ(A).n→∞Доказательство. Докажем это для монотонно возрастающей последовательности. Допустим, что A1 ⊂ A2 ⊂ .
. .. В этом случае множества Hn = A\An ,n = 1, 2, . . ., образуют исчезающую последовательность и, следовательно, получаемµ(Hn ) = µ(A) − µ(An ) → 0при n → ∞, что и доказывает наше утверждение.Уточним теперь понятие случайной величины, определенной на вероятностном пространстве (Ω, A , P).
Естественно исходить из того, что случайная величина — это функция от элементарного события, т. е. ξ : Ω → R. Однакотакое понимание случайной величины требует уточнения. Чтобы можно былоговорить о вероятности того, что случайная величина ξ примет значение изинтервала (a, b), необходимо, чтобыξ −1 ((a, b)) = {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ (a, b)}было событием, т.
е. принадлежало σ-алгебре A . Поскольку минимальнымклассом подмножеств R, замкнутым относительно счетного числа теоретико-множественных операций и содержащим интервалы, является борелевская σ-алгебраB(R), то мы естественным образом приходим к следующему определению.28В. В. ГОРЯЙНОВОпределение 6.7. Пусть (Ω, A , P) — вероятностное пространство. Функция ξ : Ω → R называется случайной величиной, определенной на этом вероятностном пространстве, если для всякого борелевского множества B ∈ B(R)выполняется условие{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} ∈ A ,т. е. ξ −1 (B) ∈ A .Поскольку операция взятия прообраза обладает свойством!![[\\−1−1−1Eα =ξ (Eα ), ξEα =ξ −1 (Eα )ξααααдля любого семейства множеств Eα , тоσ(ξ) := {A = ξ −1 (B) : B ∈ B(R)}является σ-алгеброй подмножеств Ω и σ(ξ) ⊂ A .Теорема 6.2.
Пусть (Ω, A , P) — вероятностное пространство и ξ : Ω →R такая, что для всех x ∈ R выполняется условие{ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 x} ∈ A .Тогда ξ является случайной величиной.Доказательство. Нам нужно показать, что ξ −1 (B) ∈ A для всех B ∈ B.ОбозначимF = {B ⊂ R : ξ −1 (B) ∈ A }и покажем, что F является σ-алгеброй подмножеств R. Действительно, R ∈ Fпоскольку ξ −1 (R) = Ω ∈ A . Если B ∈ F , тоξ −1 (R \ B) = Ω \ ξ −1 (B) ∈ Aи R \ B также принадлежит F .
Наконец, если Bn ∈ F , n = 1, 2, . . ., то∞−1ξ −1 (∪∞(Bn ) принадлежит A , т. е. ∪∞n=1 Bn ) = ∪n=1 ξn=1 Bn принадлежит F .Таким образом выполнены условия, из которых следует, что F является σ-алгеброй. Далее, по условию теоремы совокупность T полуинтервалов (−∞, x],x ∈ R, содержится в F . Но тогда и σ(T ) = B ⊂ F .Замечание 6.3.
Заключение теоремы будет верным, если в ее предположениях полуинтервалы (−∞, x] заменить полуинтервалами любого из трех видов: (−∞, x), (x, ∞), [x, ∞), поскольку минимальная σ-алгебра, порожденнаясемейством полуинтервалов любого из этих трех видов также совпадает с борелевской σ-алгеброй.Определение 6.8. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn , определенные на одноми том же вероятностном пространстве (Ω, A , P), называются независимыми,если независимы σ-алгебры σ(ξ1 ), . .
. , σ(ξn ), т. е. для любых борелевских множеств B1 , . . . , Bn выполняется условиеP({ω ∈ Ω : ξ1 (ω) ∈ B1 , . . . , ξn (ω) ∈ Bn }) =nYk=1P({ω ∈ Ω : ξk (ω) ∈ Bk }).29ЛЕКЦИИ ПО ТВЗаметим теперь, что случайную величину ξ, определенную на вероятностном пространстве (Ω, A , P), можно рассматривать как измеримое отображениеизмеримых пространств (Ω, A ) и (R, B). При этом вероятностную меру P,определенную на A , можно перенести на борелевскую σ-алгебру B(R) посредством равенстваPξ (B) := P(ξ −1 (B)) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}),B ∈ B.Определенная таким образом Pξ является вероятностной мерой на измеримом пространстве (R, B). Действительно,Pξ (R) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ R}) = P(Ω) = 1,а если B1 , B2 , .
. . — попарно непересекающиеся борелевские множества, то!!!!∞∞∞[[[−1−1PξBn = P ξBn= Pξ (Bn )n=1n=1=∞XP(ξ −1 (Bn )) =n=1n=1∞XPξ (Bn ).n=1Здесь мы воспользовались свойством взятия прообраза и тем, что множестваξ −1 (B1 ), ξ −1 (B2 ), . . . попарно не пересекаются.Таким образом, каждая случайная величина ξ порождает вероятностное пространство (R, B, Pξ ). При этом мера Pξ называется распределением вероятностей случайной величины ξ.Определение 6.9. ФункциюFξ (x) = Pξ ((−∞, x]) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 x}),определенную на R, называют функцией распределения случайной величины ξ.Посредством функции распределения Fξ сразу же определяется мера полуинтерваловPξ ((a, b]) = Fξ (b) − Fξ (a).С полуинтервалов мера Pξ однозначно продолжается до меры на измеримомпространстве (R, B).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
