Лекции по терверу - Горяйнов (1188226), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Дмитриева 1947 года.Описание модели. Первоначально задача формулировалась следующимобразом. Пусть p0 , p1 , p2 , . . . — вероятности того, что отец имеет соответственно0, 1, 2, . . . сыновей, каждый из которых с теми же вероятностями может иметьсвоих сыновей и т. д. Какова вероятность, что мужская линия выродится кn-ому поколению?В общем случае можно рассматривать однотипные частицы, под которымимогут пониматься люди, животные, бактерии или нейтроны в цепных реакциях.Вероятности pk , k = 0, 1, .
. ., будут связываться с событиями, что одна частицав следующем поколении превращается в k частиц. Будем считать, что частицыразмножаются независимо друг от друга и для каждой из них вероятности pk ,k = 0, 1, . . ., одни и те же.Обозначим через ξ0 , ξ1 , ξ2 , . . . число частиц в нулевом, первом, втором,. .
. поколениях соответственно. Другими словами, ξn — объем популяции в n-ом поколении. Будем считать (без особого ограничения общности), что ξ0 = 1, т. е.начальное поколение состоит из одной частицы. Объем последующих поколений ξ1 , ξ2 , . . . будет случайным. Заметим, что при сделанных предположениях{p0 , p1 , . . .} будет распределением вероятностей случайной величины ξ1 , т.
е.P(ξ1 = k) = pk , k = 0, 1, . . .. Поскольку частицы размножаются независимодруг от друга и число потомков каждой из них имеет одно и то же распределение вероятностей, то распределение случайной величины ξn должно определяться из начальных условий.Важной характеристикой ветвящегося процессаP∞ является среднее число непосредственных потомков одной частицы Eξ1 = k=0 kpk = m. В зависимости отзначения этой величины ветвящийся процесс называется:• докритическим, если m < 1;• критическим, если m = 1;55ЛЕКЦИИ ПО ТВ• надкритическим, если m > 1 (или m = ∞).Через σ 2 будем также обозначать дисперсию Dξ1 . Пусть A — событие, которое состоит в том, что процесс ξ0 = 1, ξ1 , ξ2 , .
. . в конце концов выродится. Еговероятность q = P(A) будем называть вероятностью вырождения процесса.Ближайшей нашей целью будет найти зависимость q от начальных данных.Производящая функция процесса. Поскольку ξ1 , ξ2 , . . . являются целочисленными случайными величинами, то их распределения вероятностей естественно представлять производящими функциями.
В частности, обозначимf (x) = gξ1 (x) =∞Xpk xkk=0и будем называть f производящей функцией процесса. Для отыскания производящих функций gξn , n = 2, 3, . . ., нам потребуется следующий результат.Теорема 12.1. Пусть η1 , η2 , . . . — независимые одинаково распределенныецелочисленные случайные величины с производящей функцией gη (x) и ν — независимая от них целочисленная случайная величина с производящей функцией gν (x). Тогда производящая функция целочисленной случайной величиныSν = η1 + .
. . + ην (S0 = 0) определяется равенствомgSν (x) = gν ◦ gη (x).Доказательство. Непосредственно из определения производящей функции с использованием свойств математического ожидания получаемgSν (x) = ExSν =∞Xk=0==∞Xk=0∞XE xSν 1{ν=k}E xη1 +...+ηk 1{ν=k}k(gη (x)) P(ν = k) = gν (gη (x)) .k=0Теорема 12.2. Пусть ξ0 = 1, ξ1 , ξ2 , . . . — ветвящийся процесс Гальтона —Ватсона с производящей функцией gξ1 (x) = f (x). Тогда производящая функция gξn (x) представляет собой n-ую итерацию f n функции f , т.
е.gξn (x) = f n (x) = f ◦ . . . ◦ f (x).Доказательство. Представим n-ое поколение частиц в виде ξn = η1 +. . .+ηξn−1 , где η1 — число потомков от первой частицы, η2 — от второй, . . . , ηξn−1 —от последней из (n − 1)-го поколения. Тогда по предыдущей теоремеgξn (x) = gξn−1 ◦ gη (x) = gξn−1 ◦ f (x).По индукции получаем требуемый результат.56В. В. ГОРЯЙНОВВероятность вырождения. Пусть An — событие, которое заключается втом, что n-ое поколение отсутствует, т. е. An = {ξn = 0}. Тогда An % A =∪∞n=1 An . Поэтому в силу непрерывности вероятностной мерыq = P(A) = lim P(An ).n→∞Теорема 12.3.
Вероятность q вырождения процесса Гальтона—Ватсонас производящей функцией f (x) определяется равенствомq = lim f n (0)b→∞и является наименьшим неотрицательным корнем уравненияf (x) = x.Доказательство. Поскольку P(ξn = 0) = f n (0), то f n (0) % q. Осуществляя предельный переход при n → ∞ в равенствеf (f n (0)) = f n+1 (0),получаем f (q) = q, т.
е. q — корень уравнения f (x) = x. Остается показать,что q — наименьший неотрицательный корень уравнения f (x) = x. Допустимпротивное, т. е. f (α) = α и 0 6 α < q. Тогда в силу монотонности функции fбудем иметьf (0) 6 f (α) = α < q = f (q).Снова, используя монотонность функции f , получаемf 2 (0) 6 α < q.Повторение этого процесса приводит к неравенствамf n (0) 6 α < q,n = 2, 3, . . . .Но тогдаlim f n (0) 6 α,n→∞что противоречит определению q.Теорема 12.4.
Если процесс Гальтона—Ватсона критический или докритический, то q = 1. В случае надкритического процесса 0 6 q < 1.Доказательство. Допустим, что m = f 0 (1) 6 1. Если процесс не вырожденный, то f 0 (x) < 1 при 0 6 x < 1. Фиксируем произвольно x0 ∈ [0, 1). Потеореме о среднем найдется такое x∗ ∈ (x0 , 1), что1 − f (x0 ) = f 0 (x∗ )(1 − x0 ).Но тогда1 − f (x0 ) < 1 − x0и f (x0 ) > x0 . Т.
о. в интервале [0, 1) корней уравнение f (x) = x не имеет.ЛЕКЦИИ ПО ТВ57Если m = f 0 (1) > 1, то найдется такое x0 ∈ (0, 1), что f 0 (x0 ) > 1. Используятеорему о среднем, получаем1 − f (x0 ) > 1 − x0 ,т. е. f (x0 ) − x0 < 0. Если f (0) = 0, то q = 0.
В противном случае f (0) > 0 ифункция ϕ(x) = f (x)−x принимает на концах промежутка [0, x0 ] значения разных знаков. Следовательно, в этом промежутке найдется решение уравненияf (x) = x.58В. В. ГОРЯЙНОВ§ 13. Таблица нормального распределенияВажность нормального (или гауссовского) распределения следует из центральной предельной теоремы. Его популярность так велика, что на одной изсамых распространенных купюр в десять немецких марок (до ввода евро) былизображен портрет Гаусса и приведен график плотности нормального распределения.Рис. 1. 10 DM Serie4 VorderseiteНапомним, что нормальное распределение определяется двумя параметрамиa ∈ R и σ > 0 посредством плотностиf (x) =(x−a)21√ e− 2σ2 .σ 2πСлучай a = 0 и σ = 1 относится к стандартному нормальному нормальномураспределению.
Его функция распределения1Φ(x) = √2πZx2e−u/2du−∞связана с функцией распределения F (x), отвечающего параметрам a и σ равенствомx−aF (x) = Φ.σНиже приводится таблица значений функции1Φ0 (x) = √2πZx02e−u/2du,x > 0.Òàáëèöà íîðìàëüíîãî Zðàñïðåäåëåíèÿx òàáëèöå ïðèâîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ0 (x) = √12π e−y /2 dy äëÿ àðãóìåíòîâ x ∈ [0; 3,99]. Çíà÷åíèå0ôóíêöèè Φ0 (x) íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè, äàþùåé öåëóþ ÷àñòü è äåñÿòûå äîëè àðãóìåíòà x, è ñòîëáöà,äàþùåãî ñîòûå äîëè àðãóìåíòà x.Åñëè η ∼ N (0, 1) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì, òî P(a < η < b) =Φ0 (b) − Φ0 (a).
Ôóíêöèÿ Φ0 (x) îòëè÷àåòñÿ îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ η íà êîíñòàíòó 12 , ò.å. P(η < x) = 12 + Φ0 (x).Ôóíêöèÿ Φ0 (x) ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, ò.å. Φ0 (−x) = −Φ0 (x).  ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ çíà÷åíèÿ Φ0 (x) ïðè x ≥ 4ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè 21 .2x0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09x0,00,000000,003990,007980,011970,015950,019940,023920,027900,031880,035860,00,10,039830,043800,047760,051720,055670,059620,063560,067490,071420,075350,10,20,079260,083170,087060,090950,094830,098710,102570,106420,110260,114090,20,30,117910,121720,125520,129300,133070,136830,140580,144310,148030,151730,30,40,155420,159100,162760,166400,170030,173640,177240,180820,184390,187930,40,50,191460,194970,198470,201940,205400,208840,212260,215660,219040,222400,50,60,225750,229070,232370,235650,238910,242150,245370,248570,251750,254900,60,70,258040,261150,264240,267300,270350,273370,276370,279350,282300,285240,70,80,288140,291030,293890,296730,299550,302340,305110,307850,310570,313270,80,90,315940,318590,321210,323810,326390,328940,331470,333980,336460,338910,91,00,341340,343750,346140,348490,350830,353140,355430,357690,359930,362141,01,10,364330,366500,368640,370760,372860,374930,376980,379000,381000,382981,11,20,384930,386860,388770,390650,392510,394350,396170,397960,399730,401471,21,30,403200,404900,406580,408240,409880,411490,413080,414660,416210,417741,31,40,419240,420730,422200,423640,425070,426470,427850,429220,430560,431891,41,50,433190,434480,435740,436990,438220,439430,440620,441790,442950,444081,51,60,445200,446300,447380,448450,449500,450530,451540,452540,453520,454491,61,70,455430,456370,457280,458180,459070,459940,460800,461640,462460,463271,71,80,464070,464850,465620,466380,467120,467840,468560,469260,469950,470621,81,90,471280,471930,472570,473200,473810,474410,475000,475580,476150,476701,92,00,477250,477780,478310,478820,479320,479820,480300,480770,481240,481692,02,10,482140,482570,483000,483410,483820,484220,484610,485000,485370,485742,12,20,486100,486450,486790,487130,487450,487780,488090,488400,488700,488992,22,30,489280,489560,489830,490100,490360,490610,490860,491110,491340,491582,32,40,491800,492020,492240,492450,492660,492860,493050,493240,493430,493612,42,50,493790,493960,494130,494300,494460,494610,494770,494920,495060,495202,52,60,495340,495470,495600,495730,495850,495980,496090,496210,496320,496432,62,70,496530,496640,496740,496830,496930,497020,497110,497200,497280,497362,72,80,497440,497520,497600,497670,497740,497810,497880,497950,498010,498072,82,90,498130,498190,498250,498310,498360,498410,498460,498510,498560,498612,93,00,498650,498690,498740,498780,498820,498860,498890,498930,498960,499003,03,10,499030,499060,499100,499130,499160,499180,499210,499240,499260,499293,13,20,499310,499340,499360,499380,499400,499420,499440,499460,499480,499503,23,30,499520,499530,499550,499570,499580,499600,499610,499620,499640,499653,33,40,499660,499680,499690,499700,499710,499720,499730,499740,499750,499763,43,50,499770,499780,499780,499790,499800,499810,499810,499820,499830,499833,53,60,499840,499850,499850,499860,499860,499870,499870,499880,499880,499893,63,70,499890,499900,499900,499900,499910,499910,499920,499920,499920,499923,73,80,499930,499930,499930,499940,499940,499940,499940,499950,499950,499953,83,90,499950,499950,499960,499960,499960,499960,499960,499960,499970,499973,9x0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
