Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

⊕ν l . Все эти векторы удовлетворяют следующей системе уравнений (32)( A − λ E )h11 =0, ( A − λ E )hi1 =hi1−1 , i =2,..., l11Вектор h2 называется первым присоединенным вектором к h1 (собственному);соответственно hi1 - i-1 присоединенный вектор к h11 . Из (32) имеем Ah11 =λ h11 , Ahi1 =λ hi1 + hi1−1 , i =2,..., l . Тогда матрица сужения преобразования А на Ri в построенном базисе имеет следующий видλ 10 ....

00 λ 10 ... 0. Матрицы такого вида называютсяA = .. . . .....жордановыми клетками0 .... 0 λ 10 ..... 0 λпорядка ее размера.Если матрица системы дифференциальных уравнений в соответствующем базисе является жордановой клеткой порядка n, то система приводитсяк следующему виду dx 1= λ x1 + x 2 dt............. n −1 dxn −1n = λx + x dt dx nn dt = λ xПоложим x i = y i eλt . Относительно новых искомых функций система будетиметь следующий вид dy12 dt = y 2 dy3 dt = y........... dy n −1= yn dt dy n=0 dtНетрудно видеть, что общее решение исходной системы будет иметь следующий вид25t n −1t n−2t+ Cn −1...C2 + C1(n − 1)!(n − 2)!1!y = ..........................................................Cn t + Cn −1Cn,соответственноCnt n −1t n−2t...

+ C2 + C1+ Cn −1(n − 1)!(n − 2)!1!x = ............................................................. eλtCn t + Cn −1CnCnЕсли матрица перехода есть h11 ,...., hn1 , то общее решение системы можно записать в виде t n −1 1t n − 2 1x (C1h11 + C2 (th11 + h21 ) + .... + Cn (h11 +h2 + ... + hn1 ))eλt=(n − 1)!(n − 2)!(33)Полагая в (33 ) последовательно одну из произвольных констант единицей, аостальные нулями, получим, что Ф.

С. Р. системы есть t n −1 1t n−2  2h11eλt , (th11 + h12 )eλt ,..., (h11 +h1 + ... + h1n ))eλt .(n − 1)!(n − 2)!В случае, если ранг В равен m < l − 1 , то существует r =l − m > 1 , линейно независимых собственных векторов h11 ,..., h1r , которые образуют базис вν 1 = T1Предположим, что при i − 1 < l имеется hi1−1 ,..., hi −p1 , p ≤ r векторов, образующих базис в ν i −1 , т. е. максимальная линейно независимая относительно Ti −2системавекторовиз ν i −1 . Из теоремы 10 следует, что система уравнений1pBh=γ 1hi −1 + ...

+ γ p hi −1 должна иметь решение, поэтому , согласно теореме Кроiнекера-Капелли, ранг матрицы В должен равняться рангу расширенной матрицы системы. Элементарными преобразованиями со строками матриц сделаем нулевыми последние r строк матрицы B . Чтобы ранги матриц совпали,числа γ 1 ,..., γ p должны удовлетворять системе из r однородных линейныхуравнений, которая получается из требования обращения в ноль всех последних r элементов дополнительного столбца матрицы B . Из теоремы 10 следует, что эта система уравнений относительно γ 1 ,..., γ p будет иметь хотя бы одноненулевое решение. Тогда ранг этой системы равен q ≤ p − 1 и будет существоватьp−qγ 11γ 1p − qнаборов,..., γ p − q ...γ 1 ...==γ 1p,прикоторыхуравненияγ pp − q Bh1 = hik−1 = γ 1k hi1−1 + ...

+ γ pk hi −p1 , k = 1,..., p - q будут иметь решения. Необходимо отме-тить, что каждый из этих наборов определен с точностью до константы истолбцы, представляющие соответствующие наборы, линейно независимы.Множество ν i в этом случае представимо в виде26p−qrνi ={h ∈ν i , h =∑ α k hik + ∑ Ck h1k }(34)=k 1=k 1В (34) α k ∈ R, k= 1,..., p − q; Bhik = hik−1 , Ck ∈ R , и все α k ≠ 0 одновременно. Нетруднопроверить, что любой вектор из (33) есть вектор из ν i .

Если y ∈ν i , то сущеp−qα k , k 1,..., p − q , что y удовлетворяет уравнению By = ∑ α k hik−1 .ствуют такие =k =1yТогда как решение этого уравнения имеет представление (34).Покажем, что так полученные векторы hi1 ,..., hi p −q линейно независимыеотносительно Ti −1 . Рассмотрим α1hi1 + ... + α p −q hi p −q =0 .

Так как столбцыγ1=γ 11γ 1p − q...,..., γ p − q=...γ 1pγ pp − qлинейно независимы, то и векторы hi1−1 ,.., hi −p1−q линейнонезависимы относительно Ti −2 . Имеем B(α1hi1 + ... + α p −q hi p −q )==0 α1hi1−1 + ...... + α p − q hi −p1− q . Откуда, в силу линейной независимости векторов hi1−1 ,.., hi −p1− q относительно Ti −2 , имеем α1= ...= α p −q =0, что доказывает линейную независимость векторов hi1 ,..., hi p −q относительно Ti −1 . Из (33) следует, что векторыhi1 ,.., hi p − q образуют базис в ν i , так как ∀y ∈ν i ∃α k ≠ 0 одновременно, такие, что p−q y − ∑ α k hik ∈ T1 ⊆ Ti −1 .k =1Таким образом, построен базис в ν i .

Непосредственно из доказательства следует, что в нашем случае ∀i dimν i < dimν i −1 . Тогда, если i = 2 , то dimν 2 < r , исделанное в начале предположение, что р<r обосновано. Полагая=i 2,..., m < l ,1imпостроим базис в Rl = ν ⊕ ... ⊕ν ⊕ ... ⊕ν , который является объединением базисов всех ν 1 ,...,ν m . Отметим, что количество базисных векторов должно равняться l. В [1] показано, как выбирать базисные векторы в ν i , i = 1,..., m и какдолжны быть занумерованы эти базисные векторы, чтобы матрица суженияпреобразования А на Rl в так построенном базисе состояла бы из жордановыхклеток меньшего порядка.Рассмотрим некоторые примеры.Пример 1. Решить следующую систему дифференциальных уравнений1 x=x1 + x 4 2− x1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 x =.

Матрица системы в этом случае есть A = 3134x2x2xx=−++ x 4 =− x1 + 3 x 41− λ 0 0 1−1 2 − λ 2 21− λ 1=(λ − 2) 2=(λ − 2) 4 . В нашем случаеPn (λ ) ==R 4 Ker−2 0 2 − λ 2−1 3 − λ−1 0 0 3 − λ1 00 1−1 2 1 − 1,−2 0 2 1−1 0 0 3A − 2E .427−1 0 0 11 0 −1 1−1 0 1 − 11 0 0 −1Rg =A − 2 E Rg = Rg = 2 . Нетрудно получить, что имеется−2 0 0 20 0 0 0−1 0 0 10 0 0 0101 0два собственных вектора - e1 = и e2 = .2010Если применить описанную выше процедуру, то для нахождения присоединенных векторов получим следующую систему− x1 + x 4 =γ1 1 31x4 γ 2x4 γ 1− x + x −=− x +=⇒ 1 3A − 2 E h =γ 1e1 + γ 2 e2 ⇒ .

Полагая в последней1− x4 γ 22 x 4 2γ 1− x + x =−2 x +=− x1 + x 4 =γ1γ 1 1,=γ 2 0 , а затем=γ 1 0,=γ 2 1 , получим соответстсистеме последовательно=00 00венно векторы h1 = , присоединенный к e1 и h2 = , присоединенный к e2 .11104121122В нашем случае R= ν ⊕ν , где ν ={C e1 + C e2 }, ν ={C1h1e + C 2 h2 } .   В базисе из векторов e1 , e2 , h1 , h2 матрица системы будет следующей2 0100 2 01. Эта матрица, хотя и не жорданова клетка, но является верхнеA=00200002треугольной матрицей, что для решения системы дифференциальных уравнений вполне достаточно, ибо тогда система приводится к виду=x 1 2 x 1 + x 32x2x 2 + x 4=.

Решение этой системы может быть легко получено и есть33x = 2x x 4 = 2 x 4C 1 + C 3t C 2 + C 4t 2tx=e . Окончательно решение рассматриваемой системы будетC3C428x=10    e1 e2 h1 h2=x e 2t (C1 + C 3t ) + e 2t2101(C 2 + C 4t ) + C 3e 2t0000+ C 4 e 2t1100. Ф С. Р. системы10100 00 010+ ) , e 2t (t + ) .2 10 11 10 0   Если в качестве базиса выбрать векторы e1 , h1 , e2 , h2 , то матрица системы10можно получить в виде e2t , e2t2101, e2t (t00будет состоять из жордановых клеток длины два - A =210 002000 0 210002.Пример 2. Решить систему ДУ x1 = x1 + x 3 − x 4 2− x1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 x =. 3−2 x1 + 4 x 3 − 2 x 4 x = x 4 =− x1 + x 3 + x 41−1A=−2−10 1 −12 1 −1,0 4 −20 1 11− λ 0 1 − 11− λ 1 −1−1 2 − λ 1 − 1= (2 − λ ) −2 4 − λ − 2 = (2 − λ )(−λ 3 + 6λ 2 − 12λ + 8) = (λ − 2) 4 .

И вPn (λ ) =−2 0 4 − λ − 2−1 1 1 − λ−1 0 1 1 − λэтом случае=R 4 Ker A − 2 E .4−1−1Rg =A − 2 E Rg−2−10 1−11 0 −1 10 1 −10 0 00= Rg = 1 . Соб0 2−20 0 0 00 1 −10 0 0 00 . И резульственные векторы получаются решением уравнения − x1 + x3 − x 4 =100−10 1тате имеем три собственных вектора - e1 = , e2 =и e3 = .010001Собственное подпространство трехмерно, поэтому присоединенное подпространство одномерно и натянуто на вектор, который находится из следующей− x1 + x 3 − x 4 = γ 1 − γ 2 1 34γ3− x + x − x =системы уравнений A − 2 E h = γ 1e1 + γ 2e2 + γ 3e3 ⇒  1. Для совме34γ1−2 x + 2 x − 2 x =− x1 + x3 − x 4 =γ2стности полученной системы коэффициенты γ 1 , γ 2 , γ 3 должны удовлетворять29γ120−γ 1 + γ 2 + γ 3 =следующей система . Откуда γ 2 = C 1 .

Характеристики

Список файлов лекций