Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

е. S имеет обратную матрицу nii k−1−1=S −1 τ=1,..., n . Напомним, что SSS=S E , (∑τ =δ ij ) . Тогда=j , i, jkσ jk =1−1 =x S=x(x in∑τ x )l =1il(18)lПреобразуем исходную систему, умножив ее слева на S −1 , учитывая (17) и(18), получим   (19)S −1 x = ( S −1 x )′ = S −1 Ax + S −1 f (t ) = S −1 ASx + f = x′ = Ax + f ,где f = S −1 f (t ) , а A = S −1 AS есть матрица преобразования A в новом базисе.Таким образом, задача свелась к задаче линейной алгебры – найти базис, вкотором заданная матрица линейного преобразования имела бы наиболеепростой вид.Пусть A матрица системы (16) есть матрица линейного преобразования     линейного пространства R n , т. е.

∀x ∈ R n Ax = y ∈ R n . Тогда A = Ae1 , Ae2 ,..., Aen ,т.е. столбцы матрицы A суть компоненты образов базисных векторов.Подпространство L ⊆ R n называется инвариантным подпространством от  носительно преобразования A , если ∀x ∈ L Ax ∈ L . Пусть e1 ,...es , es +1 ,..., en - базисs R n , а e1 ,...es - базис в L. Тогда ∀i ∈ [1, s ] Aei =∑ γ ik ek и матрица А в этом базисебудем иметь видγ 11...γ s1A2, где A1 = .......... , Ο - нулевая матрица, размеров (n − s) × s . ЕслиA3γ 1s ....γ ssпространство R n удается разложить на прямую сумму инвариантных подпространств, т. е.

R n = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Lk , где Li ∀i ∈ [1, k ] инвариантные подпространA1 0 .... 0A=A1Οk =1ства, то A =0 A2 0...0..............0......... Akв базисе, который является объединением базисов инвариантных подпространств, прямая сумма которых равна R n , т. е. имеет клеточно-диагональный вид. Ясно, что, если матрица системы (16) имеет клеточно-диагональный вид, то система распадается на к независимых друг отдруга систем меньшего числа неизвестных - а именно17l1 dx i=a1i j x j + f i ,i=1,..., l1∑j =1 dt(19).......................................................................... dx in=akji x j + f i , ∀i = n − l1 − ... − lk −1 ,..., n∑ dt j =n −l1 −...−lk −1 +1В (19) asji суть элементы матриц As , s = 1,..., k ; l1 ,..., lk - порядки этих матриц.Для приведения матрицы линейного преобразования к клеточнодиагональному виду можно найти собственные векторы линейного преобразования. Вектор x ≠ 0 называется собственным вектором линейного преобразования, матрица которого есть А, если(20)Ax = λ xЧисло λ , фигурирующее в (20), называется собственным числом преобразования А, которому соответствуетсобственный вектор x .

Пустьx1=Aaij , i, j ∈ [1, n] , а .... - компоненты собственного вектора. Тогда из (20) не-xnтрудно получить, что компоненты вектора x ≠ 0 должны удовлетворять сле дующей системе однородных линейных уравнений A − λ E x =0 . Чтобы этасистема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобыn0 , где trA = ∑ akk . Pn (λ ) называdet A − λ E = Pn (λ ) = (−1) n λ n + (−1) n −1 trA + ... + detA =k =1ется характеристическим многочленом матрицы А.Число λ тогда и только тогда является собственным числом матрицы А,когда оно является корнем характеристического уравнения Pn (λ ) =0.

Определив его, можно найти собственный вектор h , соответствующий этому собственному числу. Линейное пространство, натянутое на этот вектор, являетсяодномерным инвариантным подпространством преобразования А.Все приведенные выше рассуждения применимы как к неоднороднойсистеме линейных уравнений (16), так и к однородной системе линейныхуравнений. Ниже будем рассматривать соответствующую однородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами..x = Ax(21)В этом случае задача состоит в том, что нужно найти вектор-функцииx1 (t ),..., xn (t ) , которые будут образовывать Ф.С.

Р. системы (21), т. е. такиефункции, каждая из которых была бы решением системы (21), и система изэтих функций была бы линейно независимой.Пусть корни характеристического многочлена λ1 ,..., λn - простые и действительные. Им соответствуют собственные векторы h1 ,..., hn ( Ahi = λi hi ) . Известно,что собственные векторы, соответствующие разным собственным числам линейно независимы, поэтому существует базис из собственных векторов18=h1h11hn1...,..., hn=......n1h. В этом случае R n = L1 ⊕ ...Ls ⊕ ... ⊕ Ln , где Ls , s = 2,..., n суть соб-...hnnственные подпространства, натянутые на собственные векторы.

В базисе изсобственных векторов матрица А имеет следующий вид A =λ1 0..........00 λ2 0.......0...................0.............λn. То-гда система (21) в этой системе координат распадется, т. е. будет иметь сле dx 11 dt = λ10.............дующий вид . Вектор-функции .. eλ1t ,...,............... dx n0= λn dt0..eλnt образуют Ф.С.Р. этой..1h11 h21 ,......hn1...................................системы. Матрица перехода в этом случаеесть S = h1.....hn .

Со=h1n h2n ......hnnλtгласно (18), получим,=что x1 h=hn eλ t есть Ф. С. Р. (21), т. е. любое1e ,..., xnрешение (21) дается в виде(22)=x C1h1eλ t + ... + Cn hn eλ t ,где C1 ,..., Cn суть произвольные постоянные. Линейная независимость вектор λt  λtфункцийочевидна.=x1 h=exh,...,nne1Пусть среди разных простых действительных собственных чисел имеетсяпростое комплексное собственное число λk= rk + iωk и ему соответствующий  комплексный собственный вектор hk + id k , hk , d k суть действительные вектора.Тогда λk= rk − iωk также корень характеристического уравнения.

Взяв комплексное сопряжение над равенством A(hk + id k ) = (rk + iωk )(hk + id k ) , получим111nnnA(hk + id k ) =A(hk − id k ) =(rk + iωk )(hk + id k ) = =(rk − iωk )(hk − id k ) , откуда следует, чтоhk − id k есть собственный вектор, соответствующих собственному числуλk= rk − iωk .19Ф.Р.С.системы dx′1 dt = λ1............. ′k dx = rk + iωk dt k +1 dx′ = r − iωkk dt....................... dx′n= λn dt0..естьλ1te ,..., 1 e rst (cosωs t + isinωt ),..00....1e rst (cosωs t − isinωt ),...,..0....eλnt .Таккакматрицаперехода10   S = h1...hk + id k hk − id k ....hn является комплексной, то и Ф.

С. Р. системы (21) h1eλ1t ,..., (hk + id k )e rk t (cosωk t + isinωk t ), (hk − id k )e rk t (cosωk t + isinωk t ),..., hn eλnt } будет ком-плексной. Рассмотрим систему функций, у которой первые к-1 функций сутьфункции построенной выше системы. В качестве функции с номером к 1 возьмемqk=((hk + id k )e r t (cosωk t + isinωk t ) + (hk − id k )e r t (cosωk t −k2kасномером(к+1)isinωk t ) e rk t (hk cosωk t − d k sinωk t ) ,=1((hk + id k )e rk t (cosωk t + isinωk t ) − (hk − id k )e rk t (cosωk t − isinωk t ) =qk=+12i= e r t (hk sinωk t + d k cosωk t ) , остальные вектор-функции будут прежние.

Так построkенная система будет линейно независима и каждая ее функция будет решением (21), т. е. это система будет Ф. С. Р. ( 21) и она содержит только действительные функции. Отсюда любое действительное решение системы (21) имеет следующийвид  λtx C1h1e + ...Ck e r t (hk cosωk t − d k sinωk t ) + Ck +1e r t (hk sinωk t + d k cosωk t ) + ... + Cn hn eλ t (23)=В общем случае характеристический многочлен представим в виде Pn (λ ) = (−1) n λ n + (−1) n −1 trA + ...

+ detA =(λ − λ1 ) k ...(λ − λm ) k , где λ1 ,..., λm суть собст1, 2,..., m , т. е. собственные числа могутвенные числа матрицы A , а ki ≥ 1, i =быть кратными. В этом случае количество собственных векторов можетбыть меньше размерности пространства, поэтому не существует базис, в котором матрица системы имела бы диагональный вид. Тогда матрица системыбудет приводиться к жордановой форме. Рассмотрим алгоритм построениясоответствующего базиса.1kk11Pn (λ )Известно,что=Выполнимсложениеnmm kiAli1, где Ali суть числа.≡∑∑kmk1l(λ − λ1 ) ...(λ − λm )=i 1 =l 1 (λ − λi )дробейвовнутреннейсумме,получим20f s (λ )f m (λ )f (λ )11,=≡ 1+ ...

++ ... +kmksk1k1Pn (λ ) (λ − λ1 ) ...(λ − λm )(λ − λ1 )(λ − λs )(λ − λm ) kmгде f s (λ )сутьмногочлены степени не выше ks − 1 s=1,2 …,m. Из выше приведенного тождестваможнополучить,чтоP (λ )(24)= f (λ )(λ − λ ) ...(λ − λ ) (λ − λ ) ...(λ − λ )1 ≡ Q (λ ) + ... + Q (λ ), Q=(λ ) f (λ )1mssn(λ − λs ) kss1k1s −1ks −1s +1ks +1mkmРассмотрим множество квадратных матриц одного размера.

Это множество является ассоциативным кольцом с единицей (единичная матрица), поэтому An ⋅ Am = An + m = Am ⋅ An . По определению положим A0 = E . Так как все матрицы из этого множества имеют один размер, то на этом множестве определено обычное действие сложения матриц, которое ,как известно, коммутативно и ассоциативно. Нулевую квадратную матрицу примем за ноль этогомножества. Согласно свойствам умножения матриц на числа будем иметьAk α = α Ak и α Ak + β Ak =(α + β ) Ak . Откуда следует, что правила приведения подобных членов, такие же, каку многочленов.Ясно, чтоkkkkA + (−1 ⋅ A )= A + (− A )= 0 . Поэтому в качестве символа x в определении многочлена можно взять квадратную матрицу A и получить множество матричных многочленов {Pn ( A)} , где Pn ( A)= a0 E + a1 A + ... + an An есть многочлен от квадратной матрицы А.

На множестве многочленов {Рn ( A)} сложение и умножениеопределяются как обычные матричные действия, поэтому множество многочленов {Рn ( A)} есть кольцо. В самом деле, нетрудно видеть, что1. Pn ( A) + Pm ( A) = Pm ( A) + Pn ( A)2. ( Pn ( A) + Pm ( A)) + Ps ( A) = Pn ( A) + ( Pm ( A)) + Ps ( A))3. Pn ( A) ⋅ Pm ( A) = Pm ( A) ⋅ Pn ( A)4. ( Pn ( A) ⋅ Pm ( A)) ⋅ Ps ( A) = Pn ( A) ⋅ ( Pm ( A) ⋅ Ps ( A))5. Pn ( A) ⋅ ( Pm ( A) + Ps ( A)) = Pn ( A) ⋅ Pm ( A) + Pn ( A) ⋅ Ps ( A)За ноль в этом множестве принимается нулевая матрица - Ο .Отображение ϕ кольца К на кольцо K ′ называется гомоморфизмом,если ∀a ∈ K и ∀b ∈ Kϕ (a + b)= ϕ (a) + ϕ (b) ; ϕ (a ⋅ b)= ϕ (a) ⋅ ϕ (b)В отличии от изоморфизма гомоморфизм является не обязательно взаимноотображением, т.

е. не предполагается, что образы кольца К заполняют всекольцо K ′ , и различным элементам из кольца К соответствуют обязательноразличные элементы из кольца K ′ .Кольцо многочленов {Рn ( A)} гомоморфно кольц у многочленов {Рn (λ )} (гомоморфизм ϕ : ϕ ( Pn (λ )) → Pn ( A) ). Неоднозначность отображения ϕ возникаетиз-за того, что существуют такие квадратные матрицы - A ≠ Ο , для которых∃n ∈ N такое, что Am = Ο ∀m ≥ n .Известна теорема Гамильтона-Кэли.

Характеристики

Список файлов лекций