Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. ϕ ( Pn ( z=)) ϕ (an z n + an −1 z n −1 + ... + a0 z=) Ln ( p )( =f ) (an p n + an −1 p n −1 + ... + a0 p 0 )( f ) == an f ( n ) + an −1 f ( n −1) + ... + a0 f . Это отображение есть изоморфизм. Действительно:k1ϕ ( Pn ( z ) + Qm ( z ))= ϕ (a0 + a1 z + ... + an z n + b0 + b1 z + ... + bm z m=) (a0 + b0 + (a1 + b1 ) z + ....... + (as + bs ) z s ) = (a0 + b0 + (a1 + b1 ) p + .... + (as + bs ) p s )( f ) = ( Ln ( p ) + Lm ( p ))( f ) ,ϕ ( Pn ( z ) ⋅ Qm ( z )) =ϕ (a0b0 +Тогда∑ a bzjn+mk ln m0 0j=k +lиз+a b z)=(a b +(3)∑abpjn+mk ln mnj=k +l+a b p)( f ) =L ( p) ⋅ Qm ( p)( f ).следует,что= ϕ (an ( z − c1 ) ⋅ ...
⋅ ( z - ck ) =ϕ ( Pn ( x))) Ln ( p )( f=) an ( p − c1 ) ⋅ ... ⋅ ( p - ck ) ( f ) .l1lkl1lkПусть Ln ( p=) an p n + an −1 p n −1 + ... + a0 p 0 . Тогда многочлен Pn ( x=) an x n + an −1 x n −1 + ... + a0назовем характеристическим многочленом Ln ( p) . В результате имеем, чтодля любого операторного многочлена Ln ( p) имеет место разложение0Ln ( p ) = an p n + an −1 p n −1 + ... + a0 p=(4)an ( p − c1 )l ...( p − ck )l ,где c1 ,..., ck суть корни характеристического многочлена Pn ( x) кратности l1 ,....lk .Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.Применим изложенные выше сведения для построения решения дифференциального уравнения1an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ...
+=a0 y f ( x), an ≠ 0 ,k(5)9где ai= const ∈ R, i ∈ [0, n], f ( x) ∈ C[ a ,b ] . Соответствующее уравнению (5) однород-ное уравнение имеет видan y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ... + a0 y =0(6)Из общей теории линейных уравнений известно, что решением (6)будут являться образующие фундаментальную систему решений (Ф.
С. Р.) праз непрерывно дифференцируемые функции ϕ1 ( x),...,ϕn ( x) . Собственно, вопределении этих функций и будет состоять наша задача.Рассмотримопределенныйвышеоператорныймногочленnn −10) an p + an −1 p + ... + a0 p . Левая часть (6) есть значение Ln ( p ) на функцииLn ( p=y ( x) ∈ Φ . Тогда (6) перепишем в видеLn ( p )( y ) = 0(7)Откуда ясно, что решением (7) являются корни (функции из Φ ) многочленаLn ( p ) . Для решения этой задачи воспользуемся тем, что многочлен Pn (λ ) может быть представлен в виде Pn (λ ) =an (λ − λ1 )l ...(λ − λm )l ...(λ − λk )l , гдеλ1 ,..., λm ,...λk суть, вообще говоря, комплексные корни Pn (λ ) кратностиn .
Тогдаl1 ,..., lk ,..., ls соответственно. Ясно, что l1 + ... + lm ... + lk =m1Ln ( p ) =ϕ ( Pn (λ )) =a0 ( p − λ1 )l1 ...( p − λm )lm ...( p − λk )lk ,k(8)Имеет место следующая формула.Лемма.1 Для любой n раз дифференцируемой на некотором промежуткефункции f ( x) имеет место(9)Ln ( p )(=eλ x f ) eλ x Ln ( p + λ )( f )Док-воДоказательство проведем по индукции. База индукции - пусть n=1 : имеемL1 ( p )((eλ x f =) (a1 p1 + a0 p 0 )(eλ x f =) eλ x (a1 (λ f + f ′) + a0 f =) eλ x (a1 ( p + λ ) + a0 ( p + λ )0 )( f =) eλ x L1 ( p + λ )( f )Допустим, что (9) справедлива для к=n-1 : Ln −1 ( p=)(eλ x f ) eλ x Ln −1 ( p + λ )( f ) .
Обо( p ) an ( p −значим L1 ( p)= p − λ1 . Тогда, согласно (8) будем иметь Ln=−λ1 )( p − λ1 )l1 −1...( p − λm )lm ...( p − λk )lk = L1 ( p ) ⋅ Ln−1 ( p ) . Получим Ln ( p )(eλ x f ) ==L1 ( p ) ⋅ Ln −1 ( p )(eλ x f ( x)) =L1 ( p )(eλ x Ln −1 ( p + λ )( f )) =eλ x L1 ( p + λ )( Ln −1 ( p + λ )( f )) =f ) eλ x Ln ( p + λ )( f )) . Теорема доказана.= eλ x L1 ( p + λ ) ⋅ Ln −1 ( p + λ )(=Формулу (9) называют формулой сдвига.
С помощью этой формулы легконаходятся решения (7).Теорема 5. Если λm корень Ln (λ ) кратности lm , то функции x s eλ x для всех=s 0,1,..., lm − 1 являются решениями уравнения (6)Док-воДействительно, исходя из коммутативности и ассоциативности кольца операторных многочленов и формулы сдвига, имеем Ln ( p)( x s eλ x ) = eλ x ( p − λ1 + λm )l ...mmm1d lm slmlmλm xλm xssxeLppxeLp...( p − λk + λm )lk ( p − λm + λ=)()(+λ=)()(+λ)=( x ) 0 ∀s ≤ lm − 1.mn −lmmn −lmmdxlmТеорема доказана.10Из теоремы 5 следует, что если характеристический многочлен имеет видLn (λ ) = =a0 (λ − λ1 )l ...(λ − λk )l , то все функции{(eλ x ,..., xl −1eλ x ),..., (eλ x ,..., xl −1eλ x ),..., (eλ x ,..., xl −1eλ x )}(10)будут решениями уравнения (7).
Их будет n штук. Докажем линейную независимость системы функций (10).Лемма 2. Система функций 1, x,..., x n линейно независима.Док-воРассмотрим линейную комбинацию выше определенных функций(11)C0 + C1 x + ... + Cn x n =0Предположим, что существуют не все равные нулю числа C0 ,..., C j , j ≤ n такие,что (11) выполнено для любого x . Это предположение противоречит теореме4, так как многочлен степени j , будет в этом случае иметь более чем j корней.Теорема 6. Система функций Pn ( x)eλ x ,..., Pn ( x)eλ x , где Pn ( x) - суть многочленыстепени ni , а все λi ∈ C разные, линейно независима.Док-воλxλxРассмотрим ( Pn ( x)e )=′ e (( Pn ( x)′ + λ Pn ( x))= Pn ( x)eλ x , где Pn ( x) - многочлен тойже степени, что и Pn ( x) .
Доказательство проведем по индукции. При s=1 теорема верна. Это следует из леммы 2. Пусть теорема верна для s-1. т. е. функции Pn ( x)eλ x ,..., Pn ( x)eλ x линейно независимы. Предположим, что системафункций Pn ( x)eλ x ,..., Pn ( x)eλ x , Pn ( x)eλ x линейно зависима. Тогда существуютC1 ,.., Cl .,..., Cs такие, что(12)0C1 Pn ( x)eλ x + ... + Cl Pn ( x)eλ x + ... + Cs Pn ( x)eλ x =Cl ≠ 0 .Из (12) получими хотя бы одна константа ω xωC1 Pn ( x)e + ...
+ Cs Pn ( x)e =− Pn ( x) , где Ci = Ci / Cl , ω=i λi − λ=1,..., l − 1, , l + 1,..., s.l , iПродифференцируем nl + 1 раз последнее тождество. Перенумеровав s-1 слагаемое в левой части, получим C P ( x)eω + ... + C P ( x)eω =0 . По предположениюиндукции последнее равенство возможно только, если все Ci =0. Откуда следует, что Ci = 0 для =i 1,..., l − 1, l + 1,..., s .
Тогда из (12) следует, что Cl = 0 . А этопротиворечие – система линейно независима.В итоге получено, что Ф. С. Р. дифференциального уравнения (6) будет состоять из функций {(eλ x ,..., xl −1eλ x ),..., (eλ x ,..., xl −1eλ x ),..., (eλ x ,..., xl −1eλ x )} , гдеλ1 ,..., λm ,...λk корни характеристического многочлена Pn (λ ) кратностиl1 ,..., lm ,..., lk соответственно.Если корни характеристического многочлена будут комплексными, тосоответствующие им решения (6) будут комплекснозначными.
Если изначально ставится задача - найти решение дифференциального уравнения вомножестве действительных функций действительного переменного, то вслучае комплексных корней характеристического многочлена возникает задача выделить из множества комплексных решений действительные. Решеk+111m1mkkks1is1s −11s −11s −11ss −11sl1sl1ss11msl1 n11111xs −1xs −1 ns −1mmmkkk11ние этой задачи осуществимо, так как коэффициенты характеристическогомногочлена (коэффициенты дифференциального уравнения) суть действительные числа.
Имеет место следующее утверждение.Предложение 3. Если λ =α + i β , β ≠ 0 - корень многочлена с действительнымикоэффициентами Pn ( x) кратности l , то λ= α − iβ тоже корень Pn ( x) той жекратности.Док-воИзвестно, что операция перехода к комплексно сопряженной величинекоммутирует со сложением и умножением, т. е. для ∀z1 ∈ C и ∀z2 ∈ Ciinz1 z2 z=z n .
Известно также, что z ∈ C является действиz1 + z2 = z1 + z2 , =1 z2 , zтельным тогда и только тогда, когда z = z . Если λ= α + iβ - корень многочленас действительными коэффициентами Pn ( x) , то Pn (λ=) an λ n + an−1λ n−1 + ... + a=0 0. Отiкуда an λ + an −1λ + ... + a0 = 0 = 0 = an λ + an −1λ n −1 + ...
+ a0 ⇒ Pn (λ ) = 0 , т. е. λ= α − iβтожекорень.СогласнотеоремеБезу222Pn (λ ) = (λ − α − β i )(λ − α + β i ) Pn−2 (λ ) = ( x − 2α + α + β ) Pn−2 (λ ) , откуда Pn−2 (λ ) естьмногочлен с действительными коэффициентами. Пусть λ= α + iβ - кореньмногочлена с действительными коэффициентами Pn ( x) кратности l , аλ= α − iβ кратности mи l ≠ m . Предположим, что l < m . ТогдаPn (λ ) = (λ − α − β i )l (λ − α + β i )l Pn−2l (λ ) = ( x 2 − 2α + α 2 + β 2 )l Pn−2l (λ ) . Откуда следует,что только α − β i является корнем многочлена с действительными коэффициентами Pn−2l (λ ) кратности m − l , что противоречит ранее доказанному. Тогдаl > m . Но в этом случае только α + β i является корнем многочлена с действительными коэффициентами Pn−2 m (λ ) кратности l − m .
Тогда l = m .Пусть λm= α + iβ и λm= α − iβ корни характеристического многочлена крат(α + β i ) x iности l . В Ф. С. Р. им соответствуют функцииx eα x (cosβ x + i sin x) x i=ϕmi e=(α − β i ) x ii, i 0,..., l − 1 . Эти функции линейно независии ϕmi e=x eα x (cosβ x − i sin x) x==мы.Предложение 4. Пусть функция ϕ1 ( x) и функция ϕ2 ( x) линейно независимы.ψ 1 ( x) a1ϕ1 ( x) + a2ϕ2 ( x) и =ψ 1 ( x) b1ϕ1 ( x) + b2ϕ2 ( x) линейно независимыФункции =nn −1niтогда и только тогда, когдаa1a2b1≠ 0.b2Док-воРассмотрим тождество C1ψ 1 ( x) + C2 ( x)ψ 2 ( x) ≡ 0 . Воспользовавшись условиямипредложения, приведем это тождество к виду (C1a1 + b1C2 )ϕ1 ( x) + (C1a2 + b2C2 )ϕ2 ( x) ≡ 0Функции ϕ1 ( x) и ϕ2 ( x) линейно независимы, поэтому из выше приведенноготождества имеем следующую систему линейных однородных уравнений от0C1a1 + C2b1 =.
Эта система имеет единственное решение 0C1a2 + C2b2 =носительно C1 , C2 - 12C=C=0 тогда и только тогда, когда определитель системы 12рема доказана.Рассмотримфункции=ψ miϕmi − ϕmia1a2b1≠ 0 . Теоb2ϕmi + ϕmiиi= eα x x=cosβ x Re(ϕmi )2xsinβ x Im(ϕmi ) . Так как любая суперпозиция решений уравне= eα x=2iния (7) является его решением, то функции ψ mi и χ mi суть линейно независи-=χ miмые и вещественные решения (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
