Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Если Pn (λ ) есть характеристическиймногочлен матрицы А, то Pn ( A) = 0 , т. е.0......0Pn ( A) = ......... = Ο .0......0Тогда21для матричного многочлена Рn(A) имеет место следующее разложениеPn ( A) = An + a1 An −1 + ... + a0 E = ( A − λ1 E ) k ...( A − λm E ) k где λ1 , ..., λm корни характеристическогомногочлена матрицы А , Е – единичная матрица. Подействуем гомоморфизмом ϕ на (24). Получим(25)E ≡ Q1 ( A) + ... + Qm ( A), Q=f s ( A)( A − λ1 E ) k ...( A − λs −1 E ) k −1 ( A − λs +1 E ) k +1...( A − λm E ) ks ( A)Определенные в (25) Qs ( A),s = 1,..., m суть линейные преобразования. Заметим, что порядок сомножителей в формуле (25) неважен, так как матрицывида A − λs E перестановочны между собой. Рассмотрим преобразованиеQi ( A) , матрица его определена в (25). ∀i, j ∈ [1, m] имеют место формулыm1s1Ο, i ≠ jQi ( A)Q j ( A) =  2,Qi , i = jВQi ( A) ⋅ Q j ( A) =fi ( A) ⋅ f j ( A)( A − λ1 E ) ...( A − λi −1 E )k1ki −1( A − λi +1 E )mи Qi ( A) = Qi2 ( A)самомki +1s(26)...( A − λm E ) ⋅ ( A − λ1 E ) ...( A − λ j −1 E )kmk1k j −1( A − λ ji +1 E )k j +1деле,...( A − λm E ) km =) M ( A) ⋅== M ( A) ⋅ Pn ( A=O O .

В силу (25) имеем x = Ex = Q1 ( x ) + ... + Qi ( x ) + ... + Qm ( x ) . Тогда Qi ( x ) = (Qi ⋅ Q1 )( x ) + ... + Qi2 ( x ) + ... + (Qi ⋅ Qn )( x ) = Qi2 ( x ) .Пусть( A) ∀i 1,...m -образ преобразования Q ( A) . Из (26) следует,=Ri Im Q =что Ri есть инвариантное подпространство A , ибо Qi ( A) ⋅ A = A ⋅ Qi ( A) . Тогда, A(Qi ( y )) =⋅( A Qi )( y )) =(Qi ⋅ A)( y ) =Qi ( A( y )) ∈ Riесли x ∈ Ri → ∃y ∈ A, Qi ( y ) = x , то A( x ) =есть инвариантное подпространство A . При доказательстве (26) было полу чено, что ∀x ∈ R n (27)x = Ex = Q1 ( x ) + ... + Qi ( x ) + ...

+ Qm ( x ) = x1 + ... + xi + ... + xm ,nгде xi = Qi ( x ) ∈ Ri , i = 1,..., m . Формула (27 означает, что R есть сумма подпространств Ri . Предположим, что хотя бы для одного k = 1,..., m ∃=yk Qk ( zk ) ≠ xk ,iтакой,iчтоmx=∑ Q (z ) =k =1kky1 + ... + yi + ... + ym .Тогдаm ) x=() Qi ( zi =) yi , т.е. R n = R1 ⊕ R2 ⊕ ... ⊕ Rm есть прямаяQi ( x=Q= Qi2 ( zi =ii ∑ Qk ( z k ))k =1nсумма R .Тогда, если составить базис из базисов в Ri , то в этом базисе мат-рица А будет иметь клеточно- диагональный вид -A1 0.........0A = 0 A2 0......00.........0 AmПодпространства Ri называются корневыми подпространствами преобразования А. Теорема 9.=∀s 1,..., m =Rs Ker ( A − λs E ) k , т.

е. ∀x ∈ Ri ( A − λi E ) k x =0 .Доказательствоx ∈ Rs ⇒ ∃y ∈ Rsx = Qi ( y ) .Пустьтакой,чтоТогдаsi ( A − λs E ) ks x =( A − λs E ) ks f s ( A)( A − λ1 E ) k1 ...( A − λs −1 E ) ks −1 ( A − λs +1 E ) ks +1...( A − λm E ) km y =f s ( A) Pn ( A) y =0Откудаследует, что Rs ⊆ Ker ( A − λs E )k . Пусть x ∈ Ker ( A − λs E )k . Тогда ∀j ≠ s Q j ( x ) =0 , так как ( A − λs E ) k как множитель входит в представление Q j .sss22Поэтому из (27) в этом случае получим, что x = 0 + ... + Qi ( x ) + ... + 0 , т. е.

x ∈ Ri итогда Ker ( A − λs E )k ⊆ Rs . Теорема доказана.Рассмотрим структуру корневого подпространства.Размерность=Rs Ker ( A − λs E ) k равна ks . Покажем это.Лемма 4. Пусть В есть линейное преобразование L=KerB l , l < n . Тоn и Rгда, если ∃x ∈ R такое, что Bl −1 x ≠ 0 , то dimR ≥ l .Док-во Рассмотрим систему векторов x , Bx ,..., Bl −1 x . Ни один из векторов этой систему не равен нулю. Покажем, что эта система линейно независима. С этойцелью рассмотрим равную нулю линейную комбинацию этих векторов (28)0a0 x + a1 ( Bx ) + ... + an −1 ( B l −1 x ) =Подействуем последовательно l − 1 раз преобразованием B на равенство (28).ss a0 ( Bx ) + a1 ( B 2 x ) + ...

+ an − 2 ( B l −1 x ) =0............................... . Откуда следует,Получим соответственно l −2 l −1 0a0 ( B x ) + a1 ( B x ) + 0... + 0 =a ( B l −1 x ) = 0 0что a0= a1= ...= al −1= 0 , что доказывает линейную независимость введеннойвыше системы векторов. Само же утверждение леммы следует из того, чтобазис в R не может содержать число векторов, меньшее, чем l .Подпространства Ri , i = 1,..., s , образуют прямую сумму, равную Ln , поэтому размерность Ln есть сумма размерностей подпространств, которые соn , то ∀i dim Ri =ki , ибо, есставляют эту прямую сумму. Так как k1 + k2 + ...

+ ks =ли ∃j такое, что dim R j > k j , то тогда должно существовать Ri , у которого размерность меньше, чем ki . В силу Леммы 4 этого быть не может.Пусть {e1( λ ) ,..., ek( λ ) }, l = 1,..., m есть базис в корневом подпространстве=Ri Ker ( A − λi E ) k . Тогда в базисе, образованным из объединения базисов корневых подпространств система (21) будет иметь следующий вид:lliidx s=dtklγ x ,s∑=j =1sjj=kl ; l 1,..., m ,1,...,(29)klгде γ sj определяется из соотношения Ae j( λ ) = ∑ γ sj es( λ ) . Дальнейшее рассмотреls =1lние будет связано с выбором базиса (жорданового)в корневом подпространстве Ri так, чтобы упростить систему (29).Рассмотрим сужение преобразования А на подпространство Rl .

Обозна B . Согласно определению, имеем ∀x ∈ Ri B l ( x ) =0 .чим=kl l ,=λi λ , а A − λ E =Ясно, что 0 ⊆ KerB ⊆ KerB 2 ⊆ ... ⊆ KerBi −1 ⊆ KerB i ⊆ ... ⊆ KerB l . В самом деле ∀x  Ti = KerB i длятакого, что Bi −1 ( x ) =0 → Bi ( x ) =B( B i −1 ( x )) =B(0) =0 . Обозначим  i −1  i = 1,..., l , и определим множества ν i - ν i ={x ∈ν i , B i ( x ) =0, B ( x ) ≠ 0} . Для=i 1, 2,..., m ≤ l . Неравенство m ≤ l в последней формуле связаны с тем, что мо-23жет случиться, что Rl таково, что уже ∀x ∈ Rl B m ( x ) =0 и m < l.

Ясно, что=ν i T=2,3,..., m и их структура определяется следующей теомножестваi \ Ti −1 , iремой.Теорема 10. Пусть j < i ≤ m , тогда ∀hi ∈ν i ∃ h j ∈ν j такой, что(30)h j = B i − j (hi )Док-во Всамомделе,иB j (h j ) =B j ( B i − j (hi )) =B j ⋅ B i − j (hi ) =B i (hi ) =0,B j −1 (h j ) =B j −1 ( B i − j (hi )) =B j −1 ⋅ B i − j (hi ) =B i −1 (hi ) ≠ 0 . Теорема доказана.Определение. Система векторов {hiα } ∈ν i , α =1,..., r называется линейно не1rзависимой относительно Ti −1 , если α1hi + ... + α r hi ∈ Ti −1 тогда и только тогда, когда α1= ...= α r= 0 .Изтеоремы 10 непосредственно следует, что, если система векторовα{hi } ∈ν i , α =1,..., r линейно независима относительно Ti −1 , то система вектоαров {h=, α 1,..., r будет линейно независимой относительно T j −1 .B i − j (hiα )} ∈ν j =jДействительно,пустьвекторα1h 1j + ...

+ α r h jr ∈ T j −1 .ТогдаB j −1 (α1h 1j + ... + α r h jr ) = 0 = B j −1 ( B i − j (α1hi1 + ... + α r hir )) = B i −1 (α1hi1 + ... + α r hir ) , откуда следует, что α1hi1 + ... + α r hir ∈ Ti −1 и тогда α1= ...= α r= 0 .Непосредственно жордановбазис строится следующим образом. Положим ν 1 KerB= T1 есть собственное пров (30)=i 1,=j 0 . Получим Bh1 = 0 . Тогда=αстранство преобразования A и векторы h1 , α = 1,...r суть линейно независимыесобственные векторы преобразования А, соответствующие собственномучислу λ .

Если ранг В(сужения A − λ E на Ker ( A − λ E )l ) есть m ≤ l − 1 , тоr =l − m ≥ 1 , и векторы h11 ,..., h1r образуют базис в T1 .Пусть rangB = l − 1 . Тогда существует только один собственный вектор h11 , иT1 есть одномерное собственное пространство. Дальнейшее построение будемвести по индукции. При i = 1 базис в ν 1 = T1 состоит из одного вектора h11 .Предположим,что при k = i − 1 < l базис в ν i −1 также состоит из одного вектора1- hi −1 . В силу теоремы 10 уравнение Bhi = hi1−1 имеет решение.

Общий вид этого решения следующий h=i hi1 + C1h11 , где Bhi1 = hi1−1 , а C1 – произвольная постоянная. Покажем, что в нашем случае множество ν i может быть представлено ввиде(31)ν1 ={hi ∈ν 1 , hi =α1hi1 + C1h11 , α1 ∈ R, α1 ≠ 0}11 1 i −1 1i1 1i −1i −11 1Действительно B (α1hi =+ C h1 ) B ( B(α=B =(α1hi −1 ) 0 , B (α1hi + C h1 ) =1hi ) + 011i −2i −2B (α1hi −1 ) ≠ 0 .

Для любого вектора y ∈ν i существует такое α1 ,B ( B(α1h=i ) + +0что y удовлетворяет уравнению By = α1hi1−1 . Откуда y как решение этого уравнения имеет представление (31).24Система линейно независимых векторов в ν i относительно Ti −1 будет со1стоять из одного вектора hi1 , так как ∀y ∈ν i y − α1h=C1h11 ∈ T1 ⊆ Ti −1 .iПродолжая описанный выше процесс, построим векторы h11 ,..., hi1 ,..., hl1 . Этивекторы линейно независимы и образуют базис в Ti , так как нетрудно видеть,что Ri = ν 1 ⊕ ... ⊕ν i ⊕ ...

Характеристики

Список файлов лекций