Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Теперь нетрудно полу0−γ 1 + 2γ 2 =1γ31 1чить, что вектор h присоединяется к вектору e = , и его компоненты нахо21дятсяизуравнения1,− x1 + x3 − x 4 =решениякоторогоесть0 0   h = + C1e1 + C 2 e2 + C 3e3 . В базисе из векторов e1 , e2 , e3 , h матрица системы есть10=x 1 2 x 1 + 2 x 420022x2x 2 + x 40 2 01=. В этом базисе система перепишется в виде  3. Ее реA=0 0 21x2x 3 + x 4= x 4 = 2 x 40002C1 + 2C 4tшение есть x =C 2 + C 4t34C +C te 2t . ОкончательноC4=x10    e1 e2 e3 h=x e 2t (C1 + 2C 4t ) + e 2t10−10(C 2 + C 4t ) + e 2t0101(C 3 + C 4t ) + C 4 e 2t0000.10Матрица системы приводится к жордановой форме, если за базисные векто210 00200   ры взять, например, e , h , e1 , e2 . Тогда A =.00200002ЗаключениеВ пособии было приведено общее определение многочлена степени n отодной буквы, а также дано определение его значения над ассоциативнымкольцом.

Пользуясь тем фактом, что множество значений многочленов надполем комплексных чисел изоморфно множеству его значений над множеством бесконечно дифференцируемых комлекснозначных функций действительного переменного, удается сравнительно просто найти нули операторного многочлена, которые и будут являться решениями линейного однородногоуравнения.Множество значений многочленов над полем комплексных чисел гомоморфно множеству значений многочлена над ассоциативным кольцом квад-30ратных матриц.

Используя это, удается получить разложение линейного пространства на прямую сумму корневых подпространств матрицы системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, чтопозволяет получить в явном виде решение этой системы.Значительную часть пособия занимает проблема построения жордановабазиса. Надо отметить, что в указанной ссылке литературы, этот вопрос явноне решается. Поэтому студенты, причем сильные, часто его задают. Авторыполагают, что на этот вопрос они дали ответ.Авторы также выражают глубокую признательность И. А. Чубарову, который взял на себя труд прочитать рукопись и сделать важные замечания.Литература1. Д. К.

Фаддеев. Лекции по алгебре.2. Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.3. М. В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.4. А. Ф. Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений..

Характеристики

Список файлов лекций