Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда, чтобы получить вещественную Ф.(α + β i ) x iС.Р.,надовсефункции=иϕmi e=x eα x (cosβ x + i sin x) x i ,(α − β i ) x ii 0,..., l − 1, l= 1,..., k , отвечающие паре комϕmi e=x eα x (cosβ x − i sin x) xi , ==плексных корней характеристического многочлена - α ± iβ кратности l заменить на вещественные функцииRe(ϕmi ) и Im(ϕmi ) . Будем считать, чтоλ=i α i ± iβi суть все корни характеристического многочлена кратностиli , i = 1,..., k .

Если βi = 0 , то корень действительный. Тогда общее решение (7)может быть записано в видеlk −1l1 −1=y G eα1x (∑ x j ( A1j cos ( β1 x) + B1j sin( β1 x)))... + ... + eα k x (∑ x j ( Akj cos ( β k x) + Bkj sin( β k x)))(13)j 0 =j 0Рассмотрим уравнение (5) , записанное в виде Ln ( p)( y ( x)) = f ( x)mЛемма 3. Пусть неоднородность в (5) имеет вид f ( x) = ∑ f k ( x) и yks ( x) сутьk =1y ( x)) f k ( x), k ∈ [1, m] , т. е. Ln ( p )( yks ( x)) = f k ( x) .частные решения уравнений Ln ( p)(=mТогда частное решение (5) имеет вид y s ( x) = ∑ yks ( x)mИмеем Ln ( p)(∑=yks ( x))k =1Док-воmyks ( x))∑ Ln ( p)(==k 1=k 1mf k ( x) f ( x)∑==k 1Утверждение Леммы 3 остается верным и в случае переменных коэффициентов в операторе Ln ( p) .nОпределение. Пусть функция f ( x) имеет вид f ( x) = ∑ Pn ( x)eλ x , где Pn ( x) естьi =1iiмногочлен степени ni с комплексными, вообще говоря, коэффициентами, а λ-комплексное число.

Тогда f ( x) называется квазимногочленом.Рассмотрим уравнениеxy ( n ) + an −1 y ( n −1) + ... + a1 y′ + a0 y= Ln ( p )( y ( x))= (bi xl + bi −1 xl −1 + ... + b0 )eλ=Pl ( x)eλ x(14)Теорема 7. Если правая часть (5) есть квазимногочлен, то частное решение(14) может быть найдено в виде(15)y s=( x) x r (cl x l + cl −1 x l −1 + ... + c0 )eλ x ,есть корень характеристическогогде r= lm , если λ = λm , m = 1, 2,..., k ,уравнения Ln (λ ) кратности lm ; если λ ≠ λm , m = 1, 2,..., k , то r=0. Неопределен-13ные константы c0 , c1 ,..., cl находятся из системы линейных уравнений с треугольной матрицей.Док-воr . Поставим представление (15) в (14) и воспользуемся резульλ λ=Пусть =mтатами леммы 2 и теоремы 5.

ПолучимLn ( p )( y s ( x)) =an ( p − λ1 )l1 ...( p − λk )lk ( y s ( x)) =Ln −lm ( p )( p − λm )lm ( y s ( x)) =eλm x Ln −lm ( p +d lm(cl x r +i + cl −1 x r +l −1 + ... + c0 x r ) ≡ eλm x (bl xl + bl −1 xl −1 + ...b0 ) . Разделим обе части поdx lmлученного тождества на одинаковые множители eλm x и выполним дифференцирование, получим - Ln −lm ( p + λm ) ( cl A(l , r ) xl + cl −1 A(l − 1, r ) xl −1 + ... + c0 r !) =+λm )= bl xl + bl −1 xl −1 + ...b0 , где A(l , r ) = (l + r )(l + r - 1)...(l +1) .

Операторный многочленимеетследующийвидLn −l ( p + λm )Ln −l ( p + λm ) =n −ln −l −1n −ln −l −1=+ d n −l −1 p+ ... + d 0 , где коэффиd n −l pd n −l ( p + λm )d0+ d n −l −1 ( p + λm )+ ... +циенты=d s , s 0,1,..., n − lm известны. Тогда получим - (d n −l p n −l + d n −l −1 p n −l −1 + ...... + d 0 ) ( cl A(l , r ) x l + cl −1 A(l − 1, r ) x l −1 + ... + c0 r !)= bl x l + bl −1 x l −1 + ...b0 . Откуда d 0 cl A(l , r ) x l ++ (d1cn A(l , r ) + d 0 cl −1 A(l − 1, r )) x l −1 + ...= bl x l + bl −1 x l −1 + ...b0 . Приравнивая коэффициентыпри одинаковых степенях, получим систему для определения - d 0cl A(l , r ) = bl ,d1cn A(l , r ) + d 0 cl −1 A(l − 1, r ) =bl −1 ,... , и других коэффициентов cl − 2 ,..., c0 .Ясно, что матрица так полученной системы треугольная.

Случай λ ≠ λmрассматривается аналогично.Pn ( x ) ⋅ Q(cosα x, sinα x ) ,Следуетотметить,чтовыражениегдеmmmmmmmmmmmmsmmmQ(cosα x, sinα x ) = ∑∑ akl cos k (α x )sinl (α x ) есть многочлен от cosα x и sinα x , являk 0=l 0=ется квазимногочленом. Действительно, из формулы Эйлера имеемeα i + e −α xeα i − e −α xicosα x =, sinα x ==− (eα i − e −α x )22i2Поэтому, если выразить тригонометрические функции по формулам Эйлера,то выше приведенное выражение превратится в квазимногочлен.На примере нахождения решения уравнения y′′ + 4=y 2cos 2 x − 8 xsin 2 x дадимв общих чертах метод решения любого линейного дифференциального уравнения такого типа.Как известно, структура общего решения любого линейного уравнения естьсумма общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного.

Поэтому первым делом ищется общее решение однородного уравнения. В нашем случае это y′′ + 4 y =0 - уравнение с постоянными коэффициентами, поэтому, применяя описанную выше процедуру, получим характеристическое уравнение - λ 2 + 4 =0 . Его корни сутьgλ1 = 2i , λ2 = −2i . Тогда общее решение есть=yC1cos 2 x + C2 sin 2 x .

При решениизадачи определения частного решения неоднородного уравнения замечаем,что правая часть с помощью формул (15) может быть приведена к квазимно-14гочлену.Применение (15) дает y′′ + 4 y= ( 4ix + 1)e2ix + (1 − 4ix )e−2ix= f1 ( x ) + f 2 ( x ) .Применяя лемму 3, получим, что надо найти решения следующих уравнений( y1s )′′ + 4 y1s = ( 4ix + 1)e 2ix и ( y2s )′′ + 4 y2s =(1 − 4ix )e −2ix . Согласно теореме 7, частное решение ищется в виде=y1s x( Ax + B )e 2ix .

Подстановка его в уравнение (при этомудобно для вычисления производных высших порядков пользоваться формулой Лейбница) приводит к равенству 8 Aix + 2 A + 4 Bi = 4 xi + 1 . Откуда8 Ai = 4i11⇒ A=, b= 0 . Тогда y1s = x 2 e 2ix . Проделав аналогичную процедуру2122 A + 4 Bi =1со вторым уравнением, получим, что y2s = x 2e−2ix . Нетрудно видеть, что про2делыватьвсевыкладки для получения решенияуравнениянет необходимости, так как, взяв комплексное сопряже( y )′′ + 4 y =(1 − 4ix )eние от левой и правой части первого уравнения,получим( y1s )′′ + 4 y1s =( 4ix + 1)e 2ix =( y1s ) + 4 y1s =( y1s ) + 4 y1s =(1 − 4ix )e −2ix . Откуда y1s = y2s - решению второго уравнения, т. е., чтобы получить решение второго уравнениядостаточно взять комплексное сопряжение от первого. Этот факт являетсяобщим, ибо при переходе от тригонометрических выражений к показательным по формулам Эйлера всегда будут получаться слагаемые, связанные соотношением комплексного сопряжения (в нашем случае f1 ( x ) = f 2 ( x ) ).

Линейный дифференциальный оператор в левой части имеет только действительные коэффициенты, поэтому, как и в случае предложения 3Частное решение исходного уравнения естьLn ( p )( y( x ) = Ln ( p )( y( x )) .y s = y1s + y2s =1 2 2ix 1 2 −2ixx e + x e = x 2 cos 2 x - надо вернуться к действительным три22s2s2−2 ixгонометрическим выражениям (ответ не должен содержать комлекснозначные функции).Представленный выше метод является оптимальным, ибо, если не избавляться от тригонометрических выражений, а сразу писать вид частного решения, то могут возникнуть трудности с определением этого вида частногорешения. В данном случае - y s = x(( A1 x + B1 )cos 2 x + ( A2 x + B2 )sin2 x ) .

Около половины студентов не могли правильно этот вид написать. На первый взглядколичество неопределенных констант одно и тоже, но система уравнений,откуда эти константы определяются, не будет треугольной, да и дифференцировать экспоненту удобнее, чем что либо еще. Если же учитывать, что вслучае применения формул Эйлера нужно находить только одно частное решение, а второе будет равно комплексно сопряженному от него, то предложенный выше метод является по меньшей мере вдвое менее трудозатратным.В случае же решений уравнений типа Ln ( p )( y ) x ) = cos 4 ( x ) сомнения в эффективности предложенного метода сразу отпадут, так как в противном случаеcos 4 ( x ) придется выражать конечным отрезком ряда Фурье.Подводя итог, следует заметить, что задача получения решения линейногодифференциального уравнения в случае , когда правая часть его есть ква-15зимногочлен, была решена применением исключительно алгебраических методов, описание которых приводится в начале работы.

Именно так и проводится изложение этого вопроса в [2], которое отличается от представленногоздесь, тем, что формула (8) принималась как хорошо известный факт. Вучебнике по дифференциальным уравнениям [3] приводится ряд соображений для обоснования формулы (8). В [4] основная формула0, r ≤ lm − 1, на которой базируются теорема 6 и теорема 7, вывоLn ( p )( x r eλm x ) =  r −lm d 0 x + ...дится без использования алгебраических свойств операторного многочленаLn ( p ) . Это сразу разбивает процедуру нахождения решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами на две слабо между собой связанные методики, что приводит к недостаточно глубокому усвоениюстудентами этого материала.

Методика, представленная в [2] и в предлагаемом пособии, свободна от этого.Системы линейных дифференциаальных уравнений с постоянными коэффициентами.Основные положения.Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами – это системавида (16)=x Ax + f (t ) ,iгде1, 2,..., n есть матрица системы, причем все a ij суть числа,A a==j , i, jf 1 (t ).........f (t ) = .........

есть вектор –столбец правой части (неоднородность системы),.........f n (t )x1 (t ).........соответственно x (t ) = ......... - вектор- столбец искомых функций..........x n (t )Наряду с приведенной выше записью будет также использоваться слеdxidtдующая =n∑a xj =1ijj(t ) + f i , i ∈ [1, n] .Основная идея решения систем ДУ (16) состоит в следующем: будемрассматривать матрицу системы как матрицу линейного преобразования линейного пространства R n (присоединенного к аффинному пространству R n ) ,iзаданную в исходном базисе. Пусть матрица=S σ=1,..., n есть матрицаj , i, j16перехода от исходного базиса e1 ,..., en к базису e1 ,..., en . Из курса аналитичеnской геометрии известно, что e1 ,..., en = e1 ,..., en S или ei = ∑ σ ik ekk , а координаты векторов в новом и старом базисе связаны формулой i=x Sx=(xnσ x∑=ill =1lk =1(17)σ li x l )Как известно, матрица перехода обратима, т.

Характеристики

Список файлов лекций