Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях (1188218), страница 2
Текст из файла (страница 2)
е. p ⋅ f = p( f ( x ) =ddf= f ′ . Имеем =p 2 ( f ) p (=p ( f )) =( f ′) f ′′ ,dxdxd n −1 fp=( n −1 ) f ( n ) . Последние формулы определяют сте( p n −1=( f ))=p n ( f ) p=dxпеньоператораПричемсправедливаформулаp.smsmsm+ s(m)( s+m)= p ( f ) . Последнее равенство опредеp ⋅ p ( f ) = p ( p ( f )) = p ( f ) = fляет формулу произведения степеней оператора и коммутативность такогопроизведения.
Другими словами p s ⋅ p m = p m+ s , p s ⋅ p m = p m ⋅ p s .Очевидно, что множество бесконечно дифференцируемых комлекснозначных функций Φ является кольцом, содержащим поле комплексных чисел С.В качестве элементов кольца А будем брать комплексные числа. Роль операторного одночлена в нашем случае будет играть ap m , где a ∈ C . Ясно, чтоap m = p m a , т. е. порядок следования числа а и оператора p m неважен.
Дейст(m)(m)f=a p m ( f )a . По определению положим ap 0 = a . Это( f ) af=вительно, ap m=определение корректно, ибо ap 0 ⋅ f = ap 0 ( f ) = af = a ⋅ f = a( f ) , т. е., если рассматривать а как оператор, действующий на Φ , поэтому элементы кольца С являются одночленами специального типа. Закон ‹‹приведения подобных членов›› операторных одночленов формулируется естественным образом ap m + bp m =(a + b) p m . Действительно, (ap m )( f ) + (bp m )( f ) =af ( m ) + bf ( m ) =( a + b) f ( m ) == ((a + b) p m )( f ) .По аналогии, выражение, состоящее из нескольких операторных одночленов, соединенных знаком + , называется операторным многочленом (полиномом) от p с коэффициентами из С.
Из свойств операции дифференцированияполучаем, что порядок следования операторных одночленов безразличен, аподобные одночлены можно соединять и вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами. Без нарушения общности можно считатьмногочлен записанным в каноническом виде - Ln ( p) = a0 + a1 p + ... + an p n (т. е. впорядке возрастания степеней оператора р) или в порядке убывания степеней- Ln ( p=) an p n + an −1 p n −1 + ...
+ a0 .Дословно повторяя пункты 1-3, с содержащимися там доказательствами,заменяя при этом х на р, построим множество операторных многочленов отбуквы р, которое будет кольцом от этой буквы над полем С. Если обратитьвнимание только на действия над коэффициентами этих операторных многочленов, которые абсолютно индентичны действиям над коэффициентамимногочленов от буквы х, то исходя из I-IV (с заменой х на р), получим(a0 , a1 ,...., an ,...) = (a0 , 0,...., 0,...) + (0, a1 , 0,...., 0,...) + ...
+ (0, 0,...., an , 0,...) = a0 + a1 p + ... + an p n .Пусть z ∈ C . Значением многочлена Pn ( x) в С (при х=z) называется число( x) Pn ( x) + Qm ( x) , то F ( z ) =Pn ( z ) = a0 + a1 z + ... + an z n ∈ C . Очевидно, что если F=6=Pn ( z ) + Qm ( z ) =Qm ( z ) + Pn ( z ) ,ивслучаеPn ( z ) ⋅ Qm ( z ) =Qm ( z ) ⋅ Pn ( z ) .( x) Pn ( x) ⋅ Qm ( x) ,F=F ( z) =Понятие значения многочлена можно обобщить на случай, когда В естьассоциативное кольцо, содержащее кольцо А, в случае, когда элементы кольца А коммутируют со всеми элементами кольца В. В этом случае можно опa∈B .ределить степень элемента кольца В.
ПустьПоложим12nn −1a ==a, a a ⋅ a,..., a =a ⋅a .Теорема 1. ∀k ∈ N и ∀m ∈ N a k ⋅ a m =a k +m .Док-воa k +1 в силу определения степени, и теорема верна.Если m = 1 , то a k ⋅ a =Предположим, что при m > 1 имеет место a k ⋅ a m =a k + m . Рассмотрим a k ⋅ a m +1 == a k ⋅ (a m ⋅ a ) = (a k ⋅ a m ) ⋅ a = a k + m ⋅ a = a k + m +1 , согласно определению степени и ассоциативности кольца В. Теорема доказана.a k +m = a m+k =Из доказанной теоремы непосредственно следует, что a k ⋅ a m == ak ⋅ am .Значение операторного многочлена Ln ( p) определим на коммутативном иассоциативном кольце Φ - бесконечно дифференцируемых комлекснозначных функций действительного переменногоf ( x ) , а именно –(n)Ln (=f ) Ln ( p )(=f ) a0 f + a1 f ′ + ... + an f ∈ Φ как действие дифференциального( p ) Ln ( p ) + M m ( p ) , тооператора Ln ( p) на множестве функций Φ .
Если F=(s)F ( p ) = (a0 + b0 ) f + (a1 + b1 ) f ′ + ... + cs f = Ln ( p )( f ) + M m ( p )( f ) = ( Ln ( p ) + M m ( p ))( f ) естьестественное определение суммы на множестве построенных дифференциальных операторов (коэффициент cs определен также как при определениидействия умножения в кольце многочленов).Очевидно, что( Ln ( p ) + M m ( p ))( f ) =( M m ( p ) + Ln ( p ))( f ) . Значение Ln ( P) ⋅ M m ( p ) в f ( x ) тогда будет(a b p + (a b + a b ) p + ... + ( ∑ a b ) p + ...
+ a b p )( =f ) a b f + (a b + a b ) f ′ + ... + ( ∑ a b ) f + ... + a b f =0 000 11 0jn+m0 00 11 0k ln mj=k +l( j)( n+m )k ln mj=k +l- т. е. обычное определение действия произведения операторов на множестве функций. Так какa0b0 f + (a0b1 + a1b0 ) f ′ + ... + ( ∑ ak bl ) f ( j ) + ... + an=bm f ( n+m ) M m ( p )(a0 f + + a1 f ′ + ... + + an f ( n ) ) == (a0 p 0 + + a1 p + ... + + an p n )(b0 f + b1 f ′ + ... + bm =f ( m ) Ln ( p )( M m ( f ))j = k +l= M m ( p )( Ln ( p )( f )) , то операторы Ln ( p ) и M m ( p ) коммутируют. Ассоциацив-ность и дистрибутивность множества значений определенных выше дифференциальных операторов очевидна. В самом деле, ( Ln ( P) ⋅ M m ( p)) ⋅ K s ( p))( f ) =( Ln ( P) ⋅ M m ( p )) ⋅ K s ( p ))( f )) == ( Ln ( P ) ⋅ ( M m ( p )( K s ( f )) =Ln ( P )( M m ( p ) ⋅ ( K s ( p )( f )) =Ln ( P) ⋅ ( M m ( p ) ⋅ K s ( p ))( f ) ;( Ln ( p ) + M m ( p )) ⋅ K s ( p )( f ) =Ln ( p)( K s ( f ) + M m ( p)( K s ( f )) =( Ln ( p) ⋅ K s ( p))( f ) + ( M m ( p) ⋅ K s ( p))( f ) .
Таким образом, множество значений операторных многочленов является кольцом, которое содержится в кольце Φ .Пусть Pn ( x=) an x n + an −1 x n −1 + ... + a0 есть многочлен, принадлежащий A( x ) , записанный в порядке убывания степеней. Если an ≠ 0 , то говорят, что Pn ( x) является многочленом степени n.Если для многочленов Pn ( x) и Qm ( x) из A( x ) существует многочлен7=Qm ( x) ⋅ Rs ( x) , то говорят, что Pn ( x) делится наRs ( x) ∈ A( x) , такой, что Pn ( x)Qm ( x) . Многочлен x − c , где c ∈ A называется линейным двучленом.
ЕслиPn ( x) = ( x − c) ⋅ Qm ( x) + r , то r ∈ A называется остатком.Теорема 2. Пусть Pn ( x=) an x n + an −1 x n −1 + ... + a0 ∈ A( x) и c ∈ A . Найдутся единственные полином Qm ( x) и элемент r ∈ C такие, что Pn ( x) = ( x − c) ⋅ Qm ( x) + r .Док-воБудем искать Qm ( x) в виде Qm ( x=) bm x m + bm−1 x m−1 + ... + b0 . Тогда, из равенстваan x n + an −1 x n −1 + ... + an = ( x − c) ⋅ bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b0 ) + r получим в силу 1 цепочкуравенств (1) (схема Хорнера)bm = 0, ∀m ≥ n, an = bn −1 , ai +1 = bi − cbi −1 , i = n − 2,...0, a0 = r − cb0 .(1)Отсюда последовательно определяются коэффициенты Qm ( x) и остаток r .Можно заметить сразу, что остаток r равен значению многочлена Pn ( x) приx = c .
Действительно, переходя в равенстве Pn ( x) = ( x − c) ⋅ Qm ( x) + r к значениюпри x = c , получим Pn (c) = (c − c) ⋅ Qm (c) + r = (c − c) ⋅ Qm (c) + r = 0 ⋅ Qm (c) + r = 0 + r = r .Элемент кольца A c такой, что Pn (c) = 0 , называется корнем Pn ( x) . Отсюдасразу вытекает очевидное утверждение.Теорема 3.
(Безу) Для того, чтобы многочлен Pn ( x) делился на x − c , необходимо и достаточно , чтобы Pn (c) = 0 .Выше приведенными свойствами обладают многочлены над произвольными коммутативными ассоциативными кольцами с единицей.Теорема 4. Если кольцо А есть область целостности, то число корней) an x n + an −1 x n −1 + ... + a0 ∈ A( x) не превосходит его степени n.Pn ( x=Док-воПрименим метод математической индукции.
База для индукции многочлен0нулевой степени - a0 x=a0 ≠ 0 не имеет корней. Допустим, что n ≥ 1 и что теорема доказана для многочленов степени n − 1 . В этом предположении докажем ее для многочлена Pn ( x) степени n. Если Pn ( x) не имеет корней, то теорема доказана. Пусть корни есть и c1 - -один из них.
Тогда Pn ( x) = ( x − c1 ) ⋅ Qm ( x) ,где Qm=( x) bm −1 x n −1 + bm −1 x n − 2 + ... + b0 ∈ A( x) . Если c2 корень Pn ( x) , отличный от c1 ,то0 = Pn (c2 ) = (c2 − c1 ) ⋅ Qm (c2 ) , но c2 − c1 ≠ 0 . Так как кольцо А есть область целостности, то из последнего равенства следует, что Qm (c2 ) = 0 . Таким образом, любойкорень Pn ( x) , кроме быть может c1 , является корнем Qm ( x) .
В силу индуктивного предположения он имеет не более n − 1 корней, следовательно Pn ( x) имеет не более n корней, что и требовалось доказать.Имеет место Основная теорема алгебры – любой многочлен Pn ( x) положительной степени над полем комплексных чисел C ( x) имеет хотя бы одинкорень. Из основной теоремы и теоремы Безу нетрудно получить, что ∀Pn ( x)имеет место формула разложения этого многочлена на множители –8Pn ( x) = an ( x − c1 ).( x − c2 ) ⋅ ( x - cn ), an ≠ 0 , где c1 , c2 ,..., cn суть корни Pn ( x) . Так каккольцо комплексных чисел есть область целостности, то вышеприведенноеразложениеединственно.СредисомножителейвразложенииPn ( x) = an ( x − c1 ).( x − c2 ) ⋅ ( x - cn ) могут быть равные.
Соединив их в виде степеней,получим разложение в виде(2)Pn ( x=) an ( x − c1 )l ⋅ ... ⋅ ( x - ck )l ,где c1 ,..., ck уже разные. Показатели l1 ,..., lk называются кратностями соответствующих корней. Корни кратности 1 называются простыми корнями, корникратности 2 - двукратными, и. т. д.Взаимно однозначное отображение ϕ кольца К на кольцо K ′ называетсяизоморфизмом, если ∀a ∈ K и ∀b ∈ Kϕ (a + b)= ϕ (a) + ϕ (b) ; ϕ (a ⋅ b)= ϕ (a) ⋅ ϕ (b)(3)Из (3) следует, что при изоморфизме образом нуля кольца К будет нулькольца K ′ .
В самом деле, пусть ϕ (a)= a′ ∈ K ′ и ϕ (0) = c′ . Имеемϕ (a) = a′ = ϕ (a + 0) = ϕ (a) + ϕ (0) = a′ + c′ ∀a′ ∈ K ′ . Отсюда c′ = 0′ . Если кольцо К имеет единицу, то ϕ (1) будет единица кольца K ′ . Действительно,ϕ (a)= a′= ϕ (1⋅ a)= ϕ (1) ⋅ ϕ (a)= ϕ (1) ⋅ a′ . Откуда ϕ (1) есть единица кольца K ′ . Очевидно, что обратное отображение - ϕ -1 кольца K ′ на кольцо К существует ибудет изоморфизмом.Рассмотрим отображение ϕ , которое множеству значений Pn ( x) над полем комплексных чисел С ставит в соответствие множество значений Ln ( p) намножестве бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций Φ ,0т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
