Тензоры - Ершов (1188209)
Текст из файла
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ÔåäåðàöèèÌîñêîâñêèé Ôèçèêî-Òåõíè÷åñêèé Èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)ÒÅÍÇÎÐÛÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåÑîñòàâèòåëü À.Â. ÅðøîâÄîëãîïðóäíûé2017ÂâåäåíèåÒåíçîð îáùåå ïîíÿòèå ëèíåéíîé àëãåáðû, ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû, ëèíåéíûå ôîðìû, ëèíåéíûå îïåðàòîðû, áèëèíåéíûå ôîðìû è ìíîæåñòâî äðóãèõ áîëåå ñëîæíûõ îáúåêòîâ.Ïðè èçó÷åíèè ëèíåéíîé àëãåáðû ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî ñ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîìíî ìíîæåñòâî äðóãèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ: äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâîVVñâÿçà-∗ , ïðîñòðàíñòâîL(V )V , ïðîñòðàíñòâî B(V ) áèëèíåéíûõ ôîðì íà V , èëè, áîëåå îáùî, ïðîñòðàíñòâî k -ëèíåéíûõ ôîðì íà V , ìîæíî òàêæå ðàññìîòðåòü ïðîñòðàíñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèéV → L(V ) è ò.ä.
Ýëåìåíòû ýòèõ ïðîñòðàíñòâ è ÿâëÿþòñÿ òåíçîðàìè ðàçíûõ òèïîâ íà V .Ïðè÷åì êàæäîìó áàçèñó e = {e1 , . . . , en } â V åñòåñòâåííî ñîïîñòàâëÿåòñÿ íåêîòîðûé áàçèñ â∗êàæäîì èç ýòèõ ïðîñòðàíñòâ (äâîéñòâåííûé ê e áàçèñ â V , áàçèñ â L(V ), ñîñòîÿùèé èç îïåðàòîðîâψij , 1 ≤ i, j ≤ n, ïåðåâîäÿùèõ ei â ej , à îñòàëüíûå áàçèñíûå âåêòîðû â íóëü è ò.ï.). Çíà÷èò, çàìåíàêîîðäèíàò (îòâå÷àþùàÿ çàìåíå áàçèñà) â V ïðèâîäèò ê çàìåíå êîîðäèíàò òåíçîðîâ â êàæäîì èç ýòèõëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íàïðîñòðàíñòâ.Òåíçîðíàÿ (èëè ïîëèëèíåéíàÿ) àëãåáðà êëàññè÷åñêèé ðàçäåë ëèíåéíîé àëãåáðû, äàâíî âîøåäøèé â ïîäðîáíûå ó÷åáíèêè ïî ýòîìó ïðåäìåòó. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå ïîäõîäû ê åå èçëîæåíèþ.
Ñàìûéýëåìåíòàðíûé (íî íå ñàìûé ïðîçðà÷íûé íà íàø âçãëÿä) ïîäõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòóëèðîâàòü çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òåíçîðà ïðè çàìåíå áàçèñà. Íåäîñòàòêîì åãî ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîîí íå ïîçâîëÿåò ðàçâèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòóèöèþ. ×òîáû îáîñíîâàòü ýòîò òåçèñ, ïðèâåäåì îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà è ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, êàê îíè âûãëÿäåëè áû ïðè òàêîì ïîäõîäå (÷èòàòåëü ëåãêîóáåäèòñÿ â ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ îïðåäåëåíèé îáû÷íûì).n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èçn ñêàëÿðîâ (v i ), ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî áàçèñà â V , ïðè÷åì äëÿ äâóõ áàçèñîâ e è e0 ,ñâÿçàííûõ ìàòðèöåé ïåðåõîäà C , ýëåìåíòû âòîðîãî íàáîðà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïåðâûé ïîP i ji10iôîðìóëå v =j dj v , ãäå D = (dj ) ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå ïåðåõîäà C .Âåêòîðîì âËèíåéíûé îïåðàòîð íàV ýòî ìíîæåñòâî íàáîðîâ èçn2ñêàëÿðîâ(aij ),ïî îäíîìó äëÿ0êàæäîãî áàçèñà â V , ïðè÷åì äëÿ äâóõ áàçèñîâ e è e , ñâÿçàííûõ ìàòðèöåé ïåðåõîäà C ,Pi0kk i jýëåìåíòû íàáîðîâ ñâÿçàíû ôîðìóëîé al =i,j di aj cl , ãäå C = (cj ) ìàòðèöà ïåðåõîäà,i2à D = (dj ) îáðàòíàÿ ê íåé ìàòðèöà .Îáùèé òåíçîð íàVïðè òàêîì ïîäõîäå âûãëÿäèò êàê íàáîð ìàññèâîâi ...i(aj11 ...jpq )èçnp+qñêàëÿðîâ(êîòîðûå ìîæíî çàïèñûâàòü â ìíîãîìåðíûå ìàòðèöû), ïî îäíîìó ìàññèâó äëÿ êàæäîãî áàçèñà âV,êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïîñòóëèðóåìûì ôîðìóëàì ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó(ñì.
ôîðìóëó (6)).Âòîðîé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà èñïîëüçóåò ïîíÿòèå ïîëèëèíåéíîé ôóíêöèè (èëè ôîðìû).Ýòîò ïîäõîä áîëåå ãåîìåòðè÷åí è ïîçâîëÿåò ëó÷øå ïîíÿòü èäåþ òåíçîðà è áîëåå ñâîáîäíî ñ íåé1 ýòîé ôîðìóëå ÷èòàòåëü ëåãêî óçíàåò çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà ïðè çàìåíå áàçèñà. Çàìåòèì, ÷òîâ ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ âåðõíèé èíäåêñiýëåìåíòàdijìàòðèöû îáîçíà÷àåò íîìåð ñòðîêè, à íèæíèé èíäåêñj íîìåðñòîëáöà.2 ýòîé ôîðìóëå ÷èòàòåëü ëåãêî óçíàåò çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ïðè çàìåíåáàçèñà.1îáðàùàòüñÿ. Îò íåãî ëåãêî ïåðåéòè ê êîîðäèíàòíîé çàïèñè òåíçîðîâ, åñëè â ýòîì âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü (êàê ïðàâèëî, ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷). Ýòîãî ïîäõîäà äîñòàòî÷íî äëÿ áîëüøèíñòâà êëàññè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé, îäíàêî îí âñå æå íå äàåò íàñòîëüêî ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ òåíçîðíîéàëãåáðû, êàêîå äàåò òðåòèé ïîäõîä ÷åðåç òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ è åãîóíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî.Äëÿ äàííîãî òåêñòà ìû âûáðàëè èçëîæåíèå ÷åðåç ïîëèëèíåéíûå ôîðìû, ïàðàëëåëüíî ïðèâîäÿè êîîðäèíàòíóþ ôîðìó êîíñòðóêöèé è ðåçóëüòàòîâ.
Èç èçâåñòíûõ àâòîðó ó÷åáíèêîâ íàèáîëåå áëèçêîå ê íàøåìó èçëîæåíèå äàåòñÿ â [9]. ×òî êàñàåòñÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ, òî îíîèçëàãàåòñÿ (â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ñëîæíîñòè) â ïîñîáèè [3] è ó÷åáíèêàõ [7], [10]. ×èòàòåëþ òàêæåïàðàëëåëüíî ñ äàííûì òåêñòîì ðåêîìåíäóåòñÿ ïðî÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ðàçäåë ó÷åáíèêà [4].Òåìà Òåíçîðû òðàäèöèîííî âûçûâàåò èíòåðåñ ó ñèëüíûõ ñòóäåíòîâ, êîòîðûå ïîñòîÿííî ñòàëêèâàþòñÿ ñ ýòèì ïîíÿòèåì ïðè èçó÷åíèè ôèçèêè.
Ê ñîæàëåíèþ, ââèäó òîãî, ÷òî ýòà òåìà ñòîèòïîñëåäíåé â ïðîãðàììå ïî ëèíåéíîé àëãåáðå, íà íåå ÷àñòî íå îñòàåòñÿ âðåìåíè íè íà ëåêöèÿõ, íè íàñåìèíàðàõ. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïîòðåáíîñòü â ýëåìåíòàðíîì òåêñòå î òåíçîðàõ, ñ êîòîðîãî ñòóäåíòûìîãëè áû íà÷àòü èõ ñàìîñòîÿòåëüíîå èçó÷åíèå. Ìû íàäååìñÿ, ÷òî äàííîå ïîñîáèå â êàêîé-òî ìåðåóäîâëåòâîðèò ýòó ïîòðåáíîñòü.
Õîòÿ â òåêñòå ðàçîáðàíî äîâîëüíî ìíîãî ïðèìåðîâ è çàäà÷, èõ, ïîâèäèìîìó, íåäîñòàòî÷íî äëÿ àêòèâíîãî îâëàäåíèÿ òåîðèåé (îñîáåííî ìàëî â òåêñòå âû÷èñëèòåëüíûõçàäà÷). Ïîýòîìó íàðÿäó ñ äàííûì òåêñòîì ìû ðåêîìåíäóåì çàäà÷íèêè [1] è [6]; â ñëó÷àå çàòðóäíåíèé÷èòàòåëü ìîæåò òàêæå îáðàòèòüñÿ ê ðåøåáíèêàì [5] è [8].ÁëàãîäàðíîñòèÀâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü Àëåêñàíäðó Þðüåâè÷ó Ïåòðîâè÷ó è Âàäèìó Âèòàëüåâè÷óÐåäêîçóáîâó, ïðî÷èòàâøèì ïðåäâàðèòåëüíûé âàðèàíò òåêñòà è ñäåëàâøèì ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé èïðåäëîæåíèé.21Îïðåäåëåíèå òåíçîðà è ïðèìåðûÏóñòüV êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìÎïðåäåëåíèå 1.1.Òåíçîðîì òèïà (p, q) íà VK.íàçûâàåòñÿ ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå∗ϕ : |V × .{z.
. × V} × V. . × V }∗ → K.| × .{zq øòóêÒåíçîðû òèïàp øòóê(p, q) ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ñêàëÿðû êàê ïîëèëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ.Òî÷íåå,(ϕ1 + ϕ2 )(v1 , . . . , vq ; f1 , . . . , fp ) := ϕ1 (v1 , . . . , vq ; f1 , . . . , fp ) + ϕ2 (v1 , . . . , vq ; f1 , . . . , fp )è(λϕ)(v1 , . . . , vq ; f1 , . . . , fp ) := λϕ(v1 , .
. . , vq ; f1 , . . . , fp )äëÿ ëþáûõvi ∈ V, fj ∈ V ∗èλ ∈ K.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòíîñèòåëüíî äàííûõ îïåðàöèé òåíçîðû òèïàpïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü Tq (V(p, q)íàVîáðàçóþò ëèíåéíîå).(p, q) äëÿ ìàëûõ p è q .Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî òåíçîð òèïà (0, 1) ëèíåéíàÿ ôîðìà íà V , òî åñòü0T1 (V ) = V ∗ . Ëèíåéíàÿ ôîðìà â òåíçîðíîé àëãåáðå ÷àñòî íàçûâàåòñÿ òàêæå∗Ïî îïðåäåëåíèþ, òåíçîð òèïà (1, 0) ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå V → K, òî åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà∗íà V . Ðàíåå â êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðå òàêèå ëèíåéíûå ôîðìû ìû îòîæäåñòâèëè ñ ýëåìåíòàìè∼=∗∗ .3ïðîñòðàíñòâà V , ïîñòðîèâ êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì ϑ : V −→ VÏîñìîòðèì, ÷òî èç ñåáÿ ïðåäñòàâëÿþò òåíçîðû òèïàêîâåêòîðîì.ϑ îñíîâàíà íà äâîéñòâåííîé ïðèðîäå çàïèñèf (v), ãäå f ∈ V v ∈ V . À èìåííî, åñëè ìû ôèêñèðóåì f è ìåíÿåì v ∈ V , òî ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ∗ôóíêöèþ íà V (òî åñòü f ), à åñëè ôèêñèðóåì v è ìåíÿåì f ∈ V , ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ ôóíêöèþ íàV ∗ , òåì ñàìûì âåêòîð v çàäàåò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ϑv ∈ V ∗∗ íà äâîéñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå V ∗ ïî∗ôîðìóëå ϑv (f ) = f (v) ∀f ∈ V .
Áîëåå òîãî, òàê êàê ϑ äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ÿâëÿåòñÿ∗ èìåþò âèä ϑ äëÿ íåêîòîðîãî v ∈ V . Òî åñòü äëÿèçîìîðôèçìîì, òî âñå ëèíåéíûå ôóíêöèè íà Vv∗ → K ñóùåñòâóåò òàêîé åäèíñòâåííûé âåêòîð v = v(ε) ∈ V , ÷òîëþáîé ëèíåéíîé ôóíêöèè ε : Vε = ϑv .Èäåÿ çàäàíèÿ ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿÍàïîìèíàíèå.∗,Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîëüíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå1ñòðàíñòâî òåíçîðîâ T0 (Vîòîæäåñòâèòü ñV.) (ïîîòîæäåñòâëåíèÿ âìåñòî çàïèñèvîòâå÷àåò âåêòîðóîïðåäåëåíèþ ñîâïàäàþùåå ñ ïðîñòðàíñòâîìÒî åñòü òåíçîðû òèïàîòîæäåñòâëÿÿ âåêòîðV∗ → Kϑv (f )(1, 0)íàVV âåêòîðû ïðîñòðàíñòâàìîæíî òàêæå ïîëüçîâàòüñÿ çàïèñüþñ òåì ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íàV ∗,v ∈ V,è ïðî-∗∗ ) ìîæíî êàíîíè÷åñêèv(f )V.Ñ ó÷åòîì ýòîãîäëÿf ∈ V ∗, v ∈ V ,êîòîðûé îí îïðåäåëÿåò.V × V → K, òî åñòü) ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì áèëèíåéíûõ ôîðì B(V ) íà V .
Àíàëîãè÷íî, ïðî∗∗òåíçîðîâ òèïà (2, 0) îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ïðîñòðàíñòâîì B(V ) áèëèíåéíûõ ôîðì íà V .Äàëåå, òåíçîðû òèïà(0, 2)ïî îïðåäåëåíèþ ñóòü áèëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ0ïðîñòðàíñòâî T2 (Vñòðàíñòâî3òåðìèí êàíîíè÷åñêèé äîñòàòî÷íî ïîíèìàòü êàê îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé ëèíåéíîé ñòðóêòóðîé è íå çàâèñÿ-ùèé îò êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ âûáîðîâ (âðîäå âûáîðà áàçèñà, ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ò.ï.), áîëåå ãëóáîêîåïîíèìàíèå ýòîãî òåðìèíà äàåò òåîðèÿ êàòåãîðèé (ñì. ïî ýòîìó ïîâîäó íàïðèìåð [3]).3Ìåíåå òðèâèàëåí âîïðîñ î òîì, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðîñòåéøèé ñìåøàííûé òåíçîð òèïà(1, 1).Ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâL(V ), ãäå L(V ) ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íà V .Äîêàçàòåëüñòâîϕ ∈ T11 (V )Ïðåäëîæåíèå1.2.. Âî-ïåðâûõ, ïîêàæåì êàê ïî òåíçîðóV.Çàìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîìôóíêöèÿïîñòðîèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð íàϕ(v, f )ëèíåéíà ïîfè, çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé∗ ñóùåñòâóåò òàêîé åäèíñòâåííûé âåêòîðV4îíà ñîâïàäàåò ñ ôîðìîé ϑw .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
