Тензоры - Ершов (1188209), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. , en } â ïðîñòðàíñòâå,, à ñêàëÿðû (4) â ýòîì òåíçîðíîì áàçèñå. Òàêèì îáðàçîì, òåíçîðíûõ áàçèñîâ âñòîëüêî æå, ñêîëüêî áàçèñîâ âTpq (VTpq (V ).V(èëèTpq (V )(êîíå÷íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âñÿêèé áàçèñ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâåÿâëÿåòñÿ òåíçîðíûì).7Ïðèìåð .T02 (V )(0, 2), òî åñòü áèëèíåéíûõ ôóíêöèé íàPV . Ïóñòü ϕ : V × V → K òàêàÿ ôóíêöèÿ, òîãäà ϕ = i, j ϕij ei ⊗ ej , ïðè÷åì ϕ(v, w) =ϕij v i wjij(çäåñü v è w êîîðäèíàòû âåêòîðîâ v è w â áàçèñå {e1 , . . . , en } â V ), â ÷àñòíîñòè,Xϕ(ek , el ) =ϕij δki δlj = ϕkl .3.3Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîòåíçîðîâ òèïàPi, j{ei ⊗ ej | 1 ≤ i, j ≤ n} ñóòü ìàòðè÷íûåýëåìåíòû ìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû ϕ â áàçèñå {e1 , .
. . , en } ïðîñòðàíñòâà V . ÷àñòíîñòè, åñëè (V, ϕ) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, à {e1 , . . . , en } îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ,P iiòî ϕ =ie ⊗e .Çíà÷èò, êîîðäèíàòûÏðèìåð.ϕijòåíçîðàαâ òåíçîðíîì áàçèñåT11 (V ) òåíçîðîâ òèïà (1, 1) íà V . Ïóñòü ϕ : V × V ∗ → Ki j òàêîé òåíçîð.
Òîãäà ϕ =i,j ϕj e ⊗ ei . Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ òàêîãî ϕ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé∗ëèíåéíûé îïåðàòîð ψ : V → V òàêîé, ÷òî ϕ(v, f ) = f (ψ(v)) ∀v ∈ V, f ∈ V . ÈìååìXXϕ(el , ek ) =ϕij ej (el )ek (ei ) =ϕij δlj δik = ϕkl = ek (ψ(el )),3.4Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîPi,jïðè÷åì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå åñòüV.i,jk -ÿêîîðäèíàòà âåêòîðàÒàêèì îáðàçîì, åñëè âåðõíèé èíäåêñiψ(el )â áàçèñå{e1 , . . . , en }ïðîñòðàíñòâàðàññìàòðèâàòü êàê íîìåð ñòðîêè, à íèæíèé èíäåêñjiêàê íîìåð ñòîëáöà, òî Aψ := (ϕj ) ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ψ â áàçèñå {e1 , .
. . , en }. Èíûìè1jñëîâàìè, òåíçîðíûå êîîðäèíàòû òåíçîðà ϕ ∈ T1 (V ) â òåíçîðíîì áàçèñå {e ⊗ ei | 1 ≤ i, j ≤ n} ñóòüíå ÷òî èíîå êàê ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðàïðîñòðàíñòâàV.ψ â áàçèñå {e1 , . . . , en }Xϕkl ek =ek ϕkl , 1 ≤ l ≤ n, ÷àñòíîñòè, ëèíåéíûé îïåðàòîðψ(el ) =Xkψâ áàçèñå{e1 . . . , en }äåéñòâóåò ïî ôîðìóëåk÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå êàê ðàâåíñòâî(ψ(e1 ), . . .
, ψ(en )) = (e1 , . . . , en )Aψ(ñð. îïðåäåëåíèåìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â áàçèñå).Çàìåòèì, ÷òî òîæäåñòâåííûé îïåðàòîðâûáîðà áàçèñà{e1 , . . . , en }Çàäà÷à 3.5. [8]âidVîòâå÷àåò òåíçîðóPiei⊗ ei ∈ T11 (V )(äëÿ ëþáîãîV ).Ïóñòü ϕ : V × V × V ∗ × V ∗ → K ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, çàäàííîå ôîðìóëîé!α(u) β(u)ϕ(u, v; α, β) = det.α(v) β(v)Íàéòè ðàçëîæåíèå òåíçîðà ϕ ∈ T22(V ) ïî áàçèñó {ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el | 1 ≤ i, j, k, l ≤ dim V }.Ðåøåíèå.Ïîëèëèíåéíîñòüϕϕklijñëåäóåò èç ëèíåéíîñòè îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêàì è ñòîëáöàì. Èìååìek (ei ) el (ei )= ϕ(ei , ej ; e , e ) = det ke (ej ) el (ej )!δik δil= det k l = δik δjl − δjk δil ,δj δjkl!=îòêóäàϕ=Xi,j,k,l(δik δjl − δjk δil )ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el =Xi,j8(ei ⊗ ej ⊗ ei ⊗ ej − ei ⊗ ej ⊗ ej ⊗ ei ).4Èçìåíåíèå êîîðäèíàò òåíçîðà ïðè çàìåíå áàçèñà{e1 , .
. . , en } â ïðîñòðàíñòâå V ? Çàìåòèì,∗÷òî òàê êàê êàæäîìó áàçèñó â V îòâå÷àåò åäèíñòâåííûé äâîéñòâåííûé áàçèñ â V , òî çàìåíå áàçèñà∗â V ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò çàìåíó ñîîòâåòñòâóþùèõ äâîéñòâåííûõ áàçèñîâ â V .Êàê èçìåíÿþòñÿ êîîðäèíàòû òåíçîðà ïðè èçìåíåíèè áàçèñàÍàïîìíèì, ÷òî çàìåíà áàçèñà çàäàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà. Èòàê, ïóñòü äàíû äâà áàçèñà{e1 , .
. . , en }è{e01 , . . . , e0n }âVèC ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ïåðâîãî êî âòîðîìó, òî åñòü(e01 , . . . , e0n ) = (e1 , . . . , en )C.Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â íàøèõ íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ ïåðåïèøåòñÿ â âèäåe0i =jj ej ci (íàïîìíèì, ÷òîPâåðõíèé èíäåêñ íîìåð ñòðîêè, à íèæíèé ñòîëáöà). Ïóñòüe0i =Xdij ej ,(5)jãäåD = (dij )n. íåêîòîðàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêàÈìååì!!0iδji=e(e0j )=e0iXek ckj=Xk(ïðîèçâåäåíèåi-éñòðîêè ìàòðèöûXdil elíàj -é=klDek ckjXdil δkl ckj =Xkk,lñòîëáåö ìàòðèöûC ),dik ckjîòêóäàD = C −1 . ìàòðè÷íîìâèäå ðàâåíñòâî (5) çàïèñûâàåòñÿ òàê: e1 . ..
= D ... e0nene01(ñð. ôîðìóëó çàìåíû êîîðäèíàò âåêòîðà ïðè çàìåíå áàçèñà).Èòàê, ïóñòüϕ ∈ Tpq (V ) íåêîòîðûé òåíçîð. Èìååì0k ...kϕ l11...lqp = ϕ(e0l1 , . . . , e0lq ; e0k1 , . . . , e0kp ) = ϕ Xej1 cjl11 , . . . ,j1=XjXjejq clqq ;Xjqkcjl11 . . . clqq dki11 . . . dipp ϕ(ej1 , . . . , ejq ; ei1 , . . . , eip ) =dki11 ei1 , . .
. ,i1XXkdipp eip =ipjki ...icjl11 . . . clqq dki11 . . . dipp ϕj11 ...jpq .Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òåíçîðà:0k ...kϕ l11...lqp =Xjki ...icjl11 . . . clqq dki11 . . . dipp ϕj11 ...jpq .(6)Çàïîìíèòü åå ìîæíî òàê: ïðè óêàçàííîé çàìåíå áàçèñîâ âåðõíèå èíäåêñûiìîùüþ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ dk ìàòðèöûD=C −1 , à íèæíèå èíäåêñûjsirïðåîáðàçóþòñÿ ñ ïî- ñ ïîìîùüþ ìàòðèöûC.Ïîñëåäíþþ ôîðìóëó èíîãäà áåðóò çà îïðåäåëåíèå òåíçîðà.
À èìåííî, òåíçîðîì íàíàçûâàþò ñîîòâåòñòâèåϕ,îòíîñÿùåå êàæäîìó áàçèñó ïðîñòðàíñòâàVVòèïà(p, q)p+q ñêàëÿðîâñèñòåìó èç ni ...iϕj11 ...jpq òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñèñòåìû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì áàçèñàì, ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè (6). Óáåäèòüñÿ â ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ äâóõ îïðåäåëåíèé ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî.9Åñëèϕ, ψ ∈ Tpq (V ), òî òåíçîðíûìè êîîðäèíàòàìè ëèíåéíîé êîìáèíàöèè λϕ + µψi ...iµψj11 ...jpq . Îïåðàöèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ òàêæå ìîæåò áûòüpp+rrÏóñòü ϕ ∈ Tq (V ), ψ ∈ Ts (V ) è χ := ϕ ⊗ ψ ∈ Tq+s (V ). Òîãäàáóäóòi ...iλϕj11 ...jpq +ëåãêî îïèñàíà â òåðìèíàõ êîîðäèíàò.i ...ii ...i k ...k...kr.χj11 ...jpq l11...lsr = ϕj11 ...jpq ψlk11...ls(7)Ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîì, òàê êàê(p+r, q +s).
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè íàáîðû òåíçîðíûõïðåîáðàçóåòñÿ ñîãëàñíî (6) êàê òåíçîð òèïàêîîðäèíàò òåíçîðîâ îäíîãî òèïà ñîâïàäàþò â íåêîòîðîì òåíçîðíîì áàçèñå, òî îíè ñîâïàäàþò è âëþáîì äðóãîì, ïîñêîëüêó ïðåîáðàçóþòñÿ ïî îäèíàêîâûì ôîðìóëàì (6).ÏðèìåðP .Èç ôîðìóëû (6) ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòû òåíçîðàÏðèìåð P .Èç ôîðìóëû (6) ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòû òåíçîðà4.1ϕ0k =k ii di ϕ , êàê è äîëæíû èçìåíÿòüñÿ êîîðäèíàòû âåêòîðà ïðè çàìåíå áàçèñà.4.2ëåϕ ∈ T10 (V ) ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëåϕ ∈ T01 (V ) ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìó-jj cl ϕj , êàê è äîëæíû èçìåíÿòüñÿ êîîðäèíàòû êîâåêòîðà (ëèíåéíîé ôîðìû) îòíîñèòåëüíîϕ0l =äâîéñòâåííîãî áàçèñà.
À èìåííî, ÷òîáû ïîëó÷èòü êîîðäèíàòíóþ ñòðîêó ëèíåéíîé ôîðìû îòíîñèòåëüíî íîâîãî áàçèñà, íóæíî êîîðäèíàòíóþ ñòðîêó â ñòàðîì áàçèñå óìíîæèòü íà ìàòðèöó ïåðåõîäà.Ïðèìåð.V , ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ0Tóáåäèòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ôîðìóëà (6) äàåò ôîðìóëó çàìåíû B = C BC ìàòðèöû áèëèíåéíîéôîðìû ïðè çàìåíå áàçèñà (íàïîìíèì, ÷òî â Ïðèìåðå 3.3 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ϕij ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû4.3 ñëó÷àå òåíçîðîâ òèïà(0, 2),òî åñòü áèëèíåéíûõ ôîðì íàìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû).Ïðèìåð.4.4Ðàññìîòðèì ñëó÷àé òåíçîðîâ òèïà(1, 1).ϕij ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðàP 0k 00Ñ îäíîé ñòîðîíû, èìååì ψ(el ) =k ϕ l ek ; ñ äðóãîé ñòîðîíû,ψ(e0l ) = ψ ϕ ∈ψ â áàçèñå {e1 , .
. . , en }.Íàïîìíèì (ñì. Ïðèìåð 3.4), ÷òî åñëèT11 (V ), òîXcjl ej =jXcjl ψ(ej ) =Xcjl ϕij ei =i, jjXcjl ϕij dki e0k =dki ϕij cjl e0k =Xϕ0kl e0k ,ki, j, ki, j, kXPϕ0kl = i, j dki ϕij cjl (÷òî ñîâïàäàåò ñ (6) ïðè (p, q) = (1, 1)). Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ýêâèâàëåíòíàA0ψ = C −1 Aψ C, òî åñòü ôîðìóëå çàìåíû ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ïðè çàìåíå áàçèñà.iÍàïðèìåð, î÷åíü ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå ëþáîìó áàçèñó íàáîðà {δj } îïðåäåëÿåòòåíçîð òèïà (1, 1), êîòîðûé îòâå÷àåò òîæäåñòâåííîìó ëèíåéíîìó îïåðàòîðó.îòêóäàÏðèìåð.4.5Âûøå (ñì. Ïðèìåð 1.4) ìû óáåäèëèñü, ÷òî òåíçîðû òèïàíèÿ (ñòðóêòóðû àëãåáðû) íàV.Ïóñòüϕ(1, 2) áèëèíåéíûå óìíîæå- òàêîé òåíçîð. Òîãäà ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî åãî êîîðäèíàòûϕkij âû÷èñëÿþòñÿ èç áèëèíåéíîãî óìíîæåíèÿ ·6 íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ ei ïî ôîðìóëå ei ·ej=Pkϕkij ek .Äîêàæåì íåçàâèñèìî, ÷òî ýòè êîýôôèöèåíòû äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçóþòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òåíçîðà òèïàXk000ϕ0kij ek = ei · ej =X(1, 2).!cli el·Èìååì!Xcmj emml=X=Xcli cmj el · em =l, mrk 0cli cmj ϕlm dr ek .l, m, r, k6×òîáû óïðîñòèòü îáîçíà÷åíèÿ èç ïðèìåðà 1.4 ìû ïîëàãàåì10v · w := µ(v, w).Xl, m, rrcli cmj ϕlm er =Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïåðåäe0k ,ϕ0kij =ïîëó÷àåìl m k rl, m, r ci cj dr ϕlm , ÷òî ñîâïàäàåò ñ (6) â ñëó÷àåPòåíçîðîì ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíòÏóñòü ϕ ∈ T02(V ) íåâûðîæäåííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà íà V .
Ïîêàæèòå, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå áàçèñó {e1, . . . , en} ýëåìåíòîâ ìàòðèöû B−1, îáðàòíîé ìàòðèöå B ôîðìû ϕ â áàçèñå{e1 , . . . , en }, çàäàåò òåíçîð òèïà (2, 0) íà V . Êàêîå èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå èìååò ýòîò òåíçîð?Ðåøåíèå.CB(p, q) = (1, 2).Òåíçîðϕíàçûâàåòñÿñîîòâåòñòâóþùåé àëãåáðû.Çàäà÷à 4.6.Ïðè çàìåíå áàçèñà ñ ìàòðèöåé ïåðåõîäà0−1ôîðìóëå B=(C T BC)−1=i ...i{ϕj11 ...jpq }ìàòðèöà ìåíÿåòñÿ ñîãëàñíî(2, 0).çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òåíçîðà òèïàÒåíçîðîáðàòíàÿ êC −1 B −1 C −T .
Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ìàòðè÷íàÿ ôîðìóëà çàäàåòíàçûâàåòñÿpçîðíûõ áàçèñàõ â Tq (V ). Åñëèèíâàðèàíòíûì, åñëè îí èìååò îäèíàêîâûå êîîðäèíàòû âî âñåõ òåí-Våñëè îí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îðòîãîíàëüíûõi ...ièçîòðîïíûì{ϕj11 ...jpq } íàçûâàåòñÿïðåîáðàçîâàíèé V (ò.å. èìååò îäèíàêîâûå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, òî,êîîð-äèíàòû âî âñåõ òåíçîðíûõ áàçèñàõ, ïîëó÷àþùèõñÿ äðóã èç äðóãà ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèéÐàíãîìV ).ßñíî, ÷òî âñÿêèé èíâàðèàíòíûé òåíçîð èçîòðîïåí, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå íàîáîðîò.òåíçîðàϕ ∈ Tpq (V )íàçûâàþò ÷èñëîp + q.a) Íàéòè âñå èíâàðèàíòíûå òåíçîðû ðàíãà 2;b) Íàéòè âñå èçîòðîïíûå òåíçîðû òèïà (0, 2).Çàäà÷à 4.7.Ðåøåíèå.ϕ ∈ Tpq (V ) èíâàðèàíòåí, òî p = q.e0i = λ ei , 1 ≤ i ≤ n := dim V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
