Тензоры - Ершов (1188209), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäà èç ôîðìóëû çàìåíûa) Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî åñëè íåíóëåâîé òåíçîðÄåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì çàìåíó áàçèñàêîîðäèíàò òåíçîðà0i ...ii ...iϕj11...jqp = λq−p ϕj11 ...jpq .Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òåíçîðû òèïàñòâèëè ñ ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè íàiáàçèñå {e ⊗ ej } âV,(1, 1).Ðàíåå òàêèå òåíçîðû ìû îòîæäå-ïðè÷åì òîãäà êîîðäèíàòû òåíçîðà òèïà(1, 1)â òåíçîðíîìT11 (V) òî æå ñàìîå, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ýòîãî îïåðàòîðà â áàçèñå{e1 , . .
. , en } ïðîñòðàíñòâà V . Òàêèì îáðàçîì, èíâàðèàíòíûå òåíçîðû òèïà (1, 1) îòâå÷àþò ëèíåéíûìîïåðàòîðàì, êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâûå ìàòðèöû âî âñåõ áàçèñàõ, òî åñòü ìàòðèöû A, òàêèå ÷òîCA = AC äëÿ ëþáîé îáðàòèìîé ìàòðèöû C . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òîãäà A = λE, òî åñòü èíâàðèàíòíûåòåíçîðû òèïà (1, 1) îïåðàòîðû λ idV , êðàòíûå òîæäåñòâåííîìó. Òàêèì îáðàçîì, èíâàðèàíòíûéjjòåíçîð ϕ òèïà (1, 1) èìååò êîîðäèíàòû ϕi = λ δi .b) Âûøå ìû âèäåëè, ÷òî ïðîñòðàíñòâî òåíçîðîâ òèïà (0, 2) îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ïðîñòðàíñòâîìij0áèëèíåéíûõ ôóíêöèé, ïðè ýòîì êîîðäèíàòû òàêîãî òåíçîðà â òåíçîðíîì áàçèñå {e ⊗e } â T2 (V ) òîæå, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùåé áèëèíåéíîé ôóíêöèè â áàçèñå {e1 , . .
. , en }ïðîñòðàíñòâà V . Òàêèì îáðàçîì, íóæíî íàéòè áèëèíåéíûå ôóíêöèè, èìåþùèå îäíó è òó æå ìàòðèöóâî âñåõ áàçèñàõ, ïîëó÷àåìûõ äðóã èç äðóãà îðòîãîíàëüíîé çàìåíîé.ÏîñêîëüêóV åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, íà íåì óæå çàäàí òåíçîð òèïàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿg,(0, 2) ïîëîæè-çàäàþùàÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.{e1 , . .
. , en } îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â V . Ðàññìîòðèì îðòîãîíàëüíóþ çàìåíó áàçèñà= −ei , e0j = ej ïðè j 6= i. Òîãäà ïðè i 6= j ïîëó÷àåì ϕ0ij = −ϕij , òî åñòü èçîòðîïíûé òåíçîð â ýòîì000áàçèñå äîëæåí èìåòü êîîðäèíàòû {λi δij }. Äàëåå, ïðè îðòîãîíàëüíîé çàìåíå ei = ej , ej = ei , ek = ekÏóñòüe0i11ïðèk 6= i, jèìååìϕ0ii = ϕjj , ϕ0jj = ϕii .Òàêèì îáðàçîì, èçîòðîïíûé òåíçîð{ϕij }Òî åñòü ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåé áèëèíåéíîé ôóíêöèè â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñåáèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà åâêëèäîâîé ñòðóêòóðå íà5{λ δij }.åñòü λE , èèìååò âèäV.Ñâåðòêà(p, q), ãäå p, q ≥ 1, ïî ôèêñèðîâàííîé ïàðå èíäåêñîâ (îäèí èç êîòîðûõ âåðõíèé,pp−1äðóãîé íèæíèé) íåêîòîðîå ñïåöèàëüíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå Tq (V ) → Tq−1 (V ).Îïðåäåëèì ñíà÷àëà ÷àñòíûé ñëó÷àé ñâåðòêè äëÿ òåíçîðîâ òèïà (1, 1).
 ýòîì ñëó÷àå ñâåðò-Ñâåðòêà òåíçîðà òèïààêà åäèíñòâåííà (òàê êàê èìååòñÿ òîëüêî îäèí âåðõíèé è îäèí íèæíèé èíäåêñ) è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå îòîáðàæåíèåT11 (V ) → K(òî åñòü ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâåT11 (V )), îïðåäåëÿåìûé ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ {e1 , . . . , en } â V è äëÿPPϕ : V × V ∗ → K, ϕ ∈ T11 (V ) ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ϕ 7→ ϕ,e ãäå ϕe := i ϕ(ei , ei ) = i ϕii .Ïîêàæåì, ÷òî ñâåðòêà êîððåêòíî îïðåäåëåíà, òî åñòü íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà00Ïóñòü {e1 , . .
. , en } äðóãîé áàçèñ âVè{e1 , . . . , en }.C ìàòðèöà ïåðåõîäà ê íåìó îò ñòàðîãî (íåøòðèõîâàííîãî)áàçèñà. ÈìååìnXϕ(e0k , e0k ) =nXϕ0kk =cjk dki ϕij =nX Xi, ji, j, kk=1k=1X!cjk dkik=1ϕij =Xδij ϕij =i, jXϕjj =j÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè îòîæäåñòâëåíèè òåíçîðîâ òèïànXϕ(ej , ej ),j=1(1, 1) ñ ëèíåéíûìèîïåðàòîðàìè ñâåðòêà îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñî ñëåäîì.  ÷àñòíîñòè, òîëüêî ÷òî äîêàçàííàÿ êîððåêòíîñòüîïðåäåëåíèÿ ñâåðòêè ðàâíîñèëüíà èíâàðèàíòíîñòè ñëåäà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (åãî íåçàâèñèìîñòè îò âûáîðà áàçèñà).Çàäà÷à 5.1.Ðåøåíèå.Íà ðàçëîæèìûõ òåíçîðàõ α ⊗ v ñâåðòêà ñîâïàäàåò ñ îòîáðàæåíèåì α ⊗ v 7→ α(v).Åñëè{e1 , . .
. , en }âVα = 0,ker α = {v ∈ V | α(v) = 0} ⊂ V.ker α. Òîãäàòî âñå î÷åâèäíî. Èíà÷å ïóñòüòàêîé, ÷òî{e2 , . . . , en }ϕe= áàçèñ ânXÂûáåðåì áàçèñα(ek )ek (v) = α(e1 )v 1 = α(v),k=1ãäåv=Piviei . Òàê êàê ñâåðòêà è çíà÷åíèå îáùåì ñëó÷àå ñâåðòêàp, 1 ≤ s ≤ q )trrs ϕòåíçîðàîïðåäåëÿåòñÿ êàê ëèíåéíîåϕ 7→trrs ϕα(v)íå çàâèñÿò îò âûáîðà áàçèñà, òî âñå äîêàçàíî.(p, q), ãäå p, q ≥ 1, ïî ïàðå èíäåêñîâ r, s (1 ≤ r ≤pp−1îòîáðàæåíèå Tq (V ) → Tq−1 (V ), çàäàííîå ôîðìóëîéϕ=òèïànXϕ(. . .
, ek , . . . , ek , . . .),k=1r-ìó ñîìíîæèòåëþ V ∗ . Òàêèì îáðàçîì, trrs ϕ ÿâëÿåòñÿ ïîëèëèíåéíîé ôóíêöèåé îò q − 1 âåêòîðíûõ è p − 1 êîâåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ (îáîçíà÷åííûõâûøå ìíîãîòî÷èåì), òî åñòü òåíçîðîì òèïà (p − 1, q − 1) íà V .ãäåekïðèíàäëåæèòs-ìóñîìíîæèòåëþV,àek12Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðîâåðÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü îïðåäåëåíèÿ ñâåðòêè îò âûáîðà áàçèñà{e1 , . . . , en }. ÷àñòíîñòè, â ëþáîì áàçèñå âåðíî ðàâåíñòâî(trrs ϕ)(ej1 , . .
. , ejq−1 ; ei1 , . . . , eip−1 )=i ...i(trrs ϕ)j11 ...jp−1q−1=nXi ...iki ...irp−1ϕj11 ...jr−1.s−1 kjs ...jq−1k=1Åñëè ïîñëå ïðîèçâåäåííîé ñâåðòêè ó òåíçîðà îñòàëñÿ õîòÿ áû îäèí âåðõíèé è õîòÿ áû îäèííèæíèé èíäåêñ, òî ìîæíî âûáðàòü ïàðó òàêèõ èíäåêñîâ è ïðîèçâåñòè ñâåðòêó ïî íèì. Åñëè ïîñëåïðîèçâåäåííûõ ñâåðòîê îñòàëèñü ëèáî òîëüêî âåðõíèå, ëèáî òîëüêî íèæíèå èíäåêñû (ëèáî íå îñòàëîñü íè òåõ, íè äðóãèõ), òî òàêàÿ ñâåðòêà íàçûâàåòñÿïîëíîé.  ÷àñòíîñòè, åñëè òåíçîð èìåë òèï(p, p), òî ñâîðà÷èâàÿ åãî ïî âñåì âåðõíèì è íèæíèì èíäåêñàì, ïîëó÷èì ñêàëÿð. (Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõïîëíûõ ñâåðòîê åñòü ó òåíçîðà òèïà (p, p)?)Ìíîãèå îïåðàöèè ëèíåéíîé àëãåáðû ìîãóò áûòü îïèñàíû êàê êîìïîçèöèè òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ñâåðòêè. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû.Ïðèìåð5.2.ÏóñòüÏðèìåð5.3.ÏóñòüÏðèìåð5.4.Ïóñòüϕ òåíçîð òèïà (1, 1) (ëèíåéíûé îïåðàòîð) ñ êîìïîíåíòàìè ϕij îòíîñèòåëüíîiíåêîòîðîãî áàçèñà, à v òåíçîð òèïà (1, 0) (âåêòîð) ñ êîìïîíåíòàìè v â òîì æå áàçèñå.
Òîãäà èõiki kòåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ϕ ⊗ v ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîì òèïà (2, 1) ñ êîìïîíåíòàìè (ϕ ⊗ v)j = ϕj v (ñì.2(7)). Ñâîðà÷èâàÿ åãî ïî íèæíåìó èíäåêñó ϕ è åäèíñòâåííîìó èíäåêñó v , ïîëó÷èì òåíçîð tr1 (ϕ ⊗ v)PPi ji ji2iòèïà (1, 0) ñ êîìïîíåíòàìè (tr1 (ϕ ⊗ v)) =j ϕj v , òî ëåãêî âèäåòü, ÷òîj ϕj v .
Òàê êàê ϕ(v) =2ýòîò âåêòîð ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà ê âåêòîðó, òî åñòü tr1 (ϕ ⊗ v) = ϕ(v).ϕ ⊗ ψ òåíçîð òèïà (2, 2) ñ êîìïîíåíòàìètr21 (ϕ⊗ψ) = ϕ◦ψ , â òî âðåìÿ êàê tr12 (ϕ⊗ψ) ==ψ◦ϕ (êîìïîçèöèè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ). Äàëåå, èìååì äâå ïîëíûå ñâåðòêè tr11 (tr21 (ϕ⊗ψ)) = tr(ϕ◦ψ)11è tr1 (tr2 (ϕ ⊗ ψ)) = tr(ψ ◦ ϕ) (ñëåäû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ).ϕψè òåíçîðû òèïà(1, 1).Òîãäàϕik ψlj . ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî(ϕ⊗ψ)ijklα ∈ T02 (V ), òî åñòü α : V × V → K áèëèíåéíàÿ ôîðìà íà V . Ïóñòü u, v ∈ V.P211i jÒîãäà α ⊗ u ⊗ v ∈ T2 (V ). Èìååì äâå ïîëíûå ñâåðòêè: tr1 (tr1 (α ⊗ u ⊗ v)) = α(u, v) =i, j αij u v èPtr11 (tr21 (α ⊗ u ⊗ v)) = α(v, u) = i, j αij uj v i .
Îíè ñîâïàäàþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà áèëèíåéíàÿôîðìà α ñèììåòðè÷íà.Çàäà÷à 5.5. [8]Íàéòè ïîëíóþ ñâåðòêó òåíçîðà ϕ ∈ T22(V ) èç Çàäà÷è 3.5 ïðè óñëîâèè dim V = n.Ðåøåíèå.Òàê êàê ó òåíçîðà äâà âåðõíèõ è äâà íèæíèõ èíäåêñà, èìåþòñÿ äâå ïîëíûå ñâåðòêè:tr11 (tr11 (ϕ))=ÎòêóäàPi, jϕijijtr11 (tr11 (ϕ)) =èiji ji jϕijji . Ñîãëàñíî Çàäà÷å 3.5, ϕkl = δk δl − δl δk . Òàêèì îáðàçîì,(1, åñëè i 6= j;ijjjϕij = δii δj − δji δi =0, åñëè i = j.tr11 (tr12 (ϕ)) =Piji, j tijPi, j= n2 − n.Àíàëîãè÷íî,(i ji jϕijji = δj δi − δi δj =Òàêèì îáðàçîì,tr11 (tr12 (ϕ)) =Pi, j−1,åñëèi 6= j;0,åñëèi = j.2ϕijji = n − n .Îïåðàöèÿ ñâåðòêè îñîáåííî ïîëåçíà â ñëó÷àå åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ãäå îíà ïðèâîäèò ê îïåðàöèÿì îïóñêàíèÿ è ïîäúåìà èíäåêñà. Ñ íèìè ìû ïîçíàêîìèìñÿ â îäíîì èç ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôîâ.136Ñèììåòðè÷íûå è êîñîñèììåòðè÷íûå òåíçîðûT0q (V ) òåíçîðîâ òèïà (0, q) (òî åñòü q -ëèíåéíûõ ôîðì) íà V îáîçíà÷èì ïðîñòî Tq (V ).Ïóñòü Sq ãðóïïà ïåðåñòàíîâîê íà q ýëåìåíòàõ.
Äëÿ âñÿêîé ïåðåñòàíîâêè σ ∈ Sq è q -ëèíåéíîéôîðìû ϕ : V × . . . × V → K îïðåäåëèì íîâóþ q -ëèíåéíóþ ôîðìó fσ (ϕ)Ïðîñòðàíñòâîfσ (ϕ)(v1 , . . . , vq ) = ϕ(vσ(1) , . . . , vσ(q) ) ∀ v1 , . . . , vq ∈ V.Âîîáùå, ëåãêî âèäåòü, ÷òîÎïðåäåëåíèå 6.1. Òåíçîðϕ ∈ Tq (V )íàçûâàåòñÿïåðåñòàíîâêèσ∀ σ ∈ Sq fσÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì íàϕ ∈ Tq (V ) íàçûâàåòñÿêîñîñèììåòðè÷íûì, åñëè(îáîçíà÷àåìûé èíîãäàñèììåòðè÷íûìfσ (ϕ) = ϕ ∀ σ ∈ Sq .
Òåíçîðfσ (ϕ) = ε(σ)ϕ ∀ σ ∈ Sq , ãäå ε(σ) ∈ {±1} çíàê, åñëèsgn σ ).Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñèììåòðè÷íûå (êîñîñèììåòðè÷íûå) òåíçîðû â+ñòðàíñòâî. Îáîçíà÷èì åãî Tq (VÇàäà÷à 6.2.)Tq (V ).Tq (V )îáðàçóþò ïîäïðî-−(ñîîòâåòñòâåííî Tq (V )).Äîêàçàòü, ÷òî dim T+q (V ) =n+q−1nnqdim T−q (V ) =,.×èòàòåëü çíàêîì ñ ïîíÿòèÿìè ñèììåòðè÷íûõ è êîñîñèììåòðè÷íûõ áèëèíåéíûõ ôîðì; ïðèìåðîìòðèëèíåéíîé êîñîñèììåòðè÷íîé ôîðìû ÿâëÿåòñÿ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íà òðåõìåðíîì îðèåíòèðîâàííîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Âîîáùå, îðèåíòèðîâàííûé îáúåì âåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîén-ëèíåéíîén-ìåðíîì îðèåíòèðîâàííîìôîðìîé.Ïîëó÷èì óñëîâèå ñèììåòðè÷íîñòè (êîñîñèììåòðè÷íîñòè) òåíçîðà â êîîðäèíàòàõ.
Ïóñòüϕ=Xϕi1 ...iq ei1 ⊗ . . . ⊗ eiq ,ãäåϕi1 ...iq = ϕ(ei1 , . . . , eiq ).Òîãäàfσ (ϕ)i1 ...iq = fσ (ϕ)(ei1 , . . . , eiq ) = ϕ(eσ(i1 ) , . . . , eσ(iq ) ) = ϕσ(i1 )...σ(iq )è, çíà÷èò,fσ (ϕ) =Xϕσ(i1 )...σ(iq ) ei1 ⊗ . . . ⊗ eiq .Òîãäà èç åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óñëîâèå ñèììåòðè÷íîñòè(êîñîñèììåòðè÷íîñòè) â êîîðäèíàòàõ:ϕσ(i1 )...σ(iq ) = ϕi1 ...iq ∀ σ ∈ Sq(ñîîòâåòñòâåííîϕσ(i1 )...σ(iq ) = ε(σ)ϕi1 ...iq ∀ σ ∈ Sq ).Î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíåíèå ýòèõ óñëîâèé íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà.Ïóñòü îñíîâíîå ïîëåùèåQKèìååò õàðàêòåðèñòèêóâ êà÷åñòâå ïîäïîëÿ, â ÷àñòíîñòè,+ñòðàíñòâà Tq (V)RèC).0(ýòîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò ïîëÿ, ñîäåðæà- ýòîì ñëó÷àå ìû ïîñòðîèì ïðîåêòîðû íà ïîäïðî-−è Tq (V ), îáîáùàþùèå ïðîåêòîðûB 7→B+B T2ñèììåòðè÷íûõ è êîñîñèììåòðè÷íûõ áèëèíåéíûõ ôîðì ïðèïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ7Çàìåòèì, ÷òî−T2 (V ) = T+2 (V ) ⊕ T2 (V ),íî ïðèq 6= 2ýòî íåâåðíî.14T, B 7→ B−Bíà ïîäïðîñòðàíñòâà27q = 2 . Ïðè ïðîâåðêå èõ ñâîéñòâ íàìσ, τ ∈ SqËåììà 6.3.
Ïóñòü äâå ïåðåñòàíîâêè. Òîãäà∀ϕ ∈ Tq (V )fτ (fσ (ϕ)) = fτ σ (ϕ),ãäåτσ8 ïðîèçâåäåíèå (êîìïîçèöèÿ) ïåðåñòàíîâîê .Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî,fτ (fσ (ϕ))(v1 , . . . , vq ) = fσ (ϕ)(vτ (1) , . . . , vτ (q) ) = fσ (ϕ)(w1 , . . . , wq ) == ϕ(wσ(1) , . . . , wσ(q) ) = ϕ(vτ σ(1) , . . . , vτ σ(q) ) = fτ σ (ϕ)(v1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
