Тензоры - Ершов (1188209), страница 6
Текст из файла (страница 6)
 èòîãå ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà ýòîé òðîéêå. Äàííûé òåíçîð íàçûâàåòñÿ−îäíîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà T3 (V).ôîðìîé îáúåìà. Ýòî ýëåìåíòÅãî îïðåäåëåíèå î÷åâèäíûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ ñ òðåõìåðíîãîïðîñòðàíñòâà íà ñëó÷àé îðèåíòèðîâàííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòèn. ñëó÷àå ÷åòûðåõìåðíîãî îðèåíòèðîâàííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà V îïðåäåëèòü èèçó÷èòü àíàëîã âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ÿâëÿþùèéñÿ òðèëèíåéíûì óìíîæåíèåì V ×V ×V → V.Çàìå÷àíèå .Çàäà÷à 7.2.7.3 ñâÿçè ñ ïðåäûäóùåé çàäà÷åé îòìåòèì, ÷òî íåòðèâèàëüíîå áèëèíåéíîå óìíîæåíèåV × V → V,àíàëîãè÷íîå âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ, ñóùåñòâóåò òîëüêî âïðîñòðàíñòâåV7-ìåðíîìåâêëèäîâîì[11]. çàêëþ÷åíèå äîêàæåì íåêîòîðûå òîæäåñòâà ñ ñèìâîëîì Ëåâè-×èâèòû, ïîëåçíûå â ïðèëîæåíèÿõ.Äîêàçàòü ôîðìóëû:Çàäà÷à 7.4.1) εijk εrst δir δis δit= δjr δjs δjt δkr δks δkt;2) Pk εijk εrsk = δir δjs − δisδjr ;3) Pk,j εijk εrjk = 2δir ;4) Pk,j,i εijk εijk = 6.Ðåøåíèå.1) Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâàVu, v, w, x, y, zòðåõìåðíîãî îðèåíòèðîâàííîãî åâ-âûïîëíåíî òîæäåñòâî (u, x) (u, y) (u, z) (u, v, w)(x, y, z) = (v, x) (v, y) (v, z) .
(w, x) (w, y) (w, z) Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ñëåâà è ñïðàâà ñòîÿò ïîëèëèíåéíûå ôóíêöèèíûå ïî1, 2, 3è4, 5è6(10)V ×6 → R,êîñîñèììåòðè÷-àðãóìåíòàì. Èç ïîëèëèíåéíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ýòî òîæäåñòâî äîñòàòî÷íîïðîâåðèòü íà íàáîðàõ âåêòîðîâ, êîãäàu, v, w, x, y, zïðîáåãàþò ýëåìåíòû íåêîòîðîãî îðòîíîðìèðî-{e1 , e2 , e3 } â V , à èç êîñîñèììåòðè÷íîñòè ÷òî åãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü íà íàáîðåu = x = e1 , v = y = e2 , w = z = e3 , ïîñëå ÷åãî â åãî ñïðàâåäëèâîñòè ëåãêî óáåäèòüñÿ. Ïîäñòàâëÿÿòåïåðü â (10) u = ei , v = ej , w = ek , x = er , y = es , z = et , ïîëó÷àåì 1).âàííîãî áàçèñàÂîò äðóãîé ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâà 1). Èìååì gir gis git gjr gjs gjt gkr gks gkt g1r g1s g1t = εijk g2r g2s g2t g3r g3s g3t g11 g12 g13 = εijk εrst g21 g22 g23 g31 g32 g3319 = εijk εrst det G.Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ýòî ïðîñòî èíâàðèàíòíàÿ (âåðíàÿ íå òîëüêî â îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñàõ)ôîðìà çàïèñè 1).Äîêàæåì ïóíêò 2).
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè áóäåì îïóñêàòü çíàê ñóììû ïîεijk εrsk δir δis δik= δjr δjs δjk δkr δks δkk δ is δir= δjs δjr δ is δik = δkr δjs δjk δ ir δis− δjr δjs δ ir δik − δks δjr δjk δ ir δis + 3 δjr δjsk.Èìååì δ ir δis + δkk δjr δjs δ ir δis= δjr δjs=Èñïîëüçóÿ 2), äîêàæåì 3):X(δir δjj − δij δjr ) = 3δir − δir = 2δir .jÏóíêò 4) î÷åâèäåí.Çàìå÷àíèå.7.5Çàìåòèì, ÷òî òîæäåñòâî 2) èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó òîæ-äåñòâó âåêòîðíîé àëãåáðû: (u, x) (u, y)([u, v], [x, y]) = (v, x) (v, y),èç êîòîðîãî âûòåêàåò èçâåñòíàÿ ôîðìóëà áàö ìèíóñ öàá:([u, v], [x, y]) = (x, y, [u, v]) = (x, [y, [u, v]]) = ((v, y)u − (u, y)v, x).Çàìå÷àíèå.7.6Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ëåâûõ ÷àñòÿõ òîæäåñòâ 1) 4) èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è ñòîÿòèçîòðîïíûå òåíçîðû ðàíãîâ6, 4, 2è0,ïðè÷åì ñóììèðîâàíèå îòâå÷àåò ñâåðòêå (ñð.
Çàìå÷àíèå 7.1).Ýòî, íàïðèìåð, ïîçâîëÿåò ðåøèòü ïóíêò 3) ïî÷òè áåç âû÷èñëåíèé, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îïèñàíèåìèçîòðîïíûõ òåíçîðîâ, äàííûì â Çàäà÷å 4.7. Äåéñòâèòåëüíî, èç íåå ìû çíàåì, ÷òî ëþáîé èçîòðîïíûéòåíçîð òèïà(0, 2)èìååò âèäλ δir ,îñòàåòñÿ òîëüêî îïðåäåëèòü êîíñòàíòóïóíêò 4) î÷åâèäåí íåïîñðåäñòâåííî:3λ = 6,îòêóäàP32i,j,k=1 εijk= 3! = 6,λ.òîãäà ñâîðà÷èâàÿÄëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òîλ δirïîièr,ïîëó÷àåìλ = 2.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Àëàíèÿ Ë. À. è äð.
Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå /ïîäðåäàêöèåé Þ.Ì. Ñìèðíîâà / Èçä. 2-å, ïåðåðàá. è äîï. Ì.: Ëîãîñ, 2005.376 ñ.[2] Àðíîëüä Â. È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Èçä. 5-å,ñòåðåîòèïíîå. Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2003.416 ñ.[3] Àðóòþíîâ À. À., Åðøîâ À. Â. Äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: ÌÔÒÈ,2017.210 ñ.[4] Áåêëåìèøåâ Ä. Â.
Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû: ó÷åá. äëÿ âóçîâ. 12-å èçä., èñïð. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2009. 312 ñ.20[5] Áåêëåìèøåâ Ä. Â. Ðåøåíèå çàäà÷ èç êóðñà àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2014 192 ñ.[6] Áåêëåìèøåâà Ë. À., Ïåòðîâè÷ À. Þ., ×óáàðîâ È. À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîéãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå: ó÷åáí. ïîñîáèå / ïîä ðåä. Ä. Â. Áåêëåìèøåâà 2-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2012.496 ñ.[7] Âèíáåðã Ý. Á.
Êóðñ àëãåáðû. 2-å èçä., ñòåðåîòèï. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2013.592 ñ.[8] ÃàéôóëëèíÀ.À.,ÏåíñêîéÀ.Â.,ÑìèðíîâÑ.Â.Çàäà÷è ïî ëèíåéíîé àëãåáðå èãåîìåòðèè. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2014. 152 ñ.[9] Êîñòðèêèí À. È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×. II. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Íîâîå èçäàíèå. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2009.368 ñ.[10] Êîñòðèêèí À. È., Ìàíèí Þ. È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà,1980.320 ñ.[11] Massey W.
S. Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces. The AmericanMathematical Monthly. Mathematical Association of America. 90 (10): 697701.[12] Tu L. W. An Introduction to Manifolds. Springer-Verlag New York, 2011.XVIII, 410 p.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
