Тензоры - Ершов (1188209), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òî åñòü ∀v ∈ V ∃ !w = ψ(v) ∈ V òàêîé,Íàïîìíèì, ÷òî ϑψ(v) (f ) = f (ψ(v)) â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ϑ. Òî åñòüôîðìîé íàVv∗ . Äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé ôîðìû íàT11 (V ) ∼=÷òîw ∈ V , ÷òîϕ(v, f ) = ϑψ(v) (f ) ∀f ∈ V ∗ .ϕ(v, f ) = f (ψ(v)) ∀ f ∈ V ∗ .Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âåêòîðîïåðàòîðîì íàV.ψ(v) ∈ Vëèíåéíî çàâèñèò îò(1)v ∈ V,òî åñòü ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûìÈñïîëüçóÿ (1), ïîëó÷àåìf (ψ(v1 + v2 )) = ϕ(v1 + v2 , f ) = ϕ(v1 , f ) + ϕ(v2 , f ) == f (ψ(v1 )) + f (ψ(v2 )) = f (ψ(v1 ) + ψ(v2 )) ∀f ∈ V ∗ ,îòêóäàψ(v1 + v2 ) = ψ(v1 ) + ψ(v2 ).Àíàëîãè÷íî,f (ψ(λv)) = ϕ(λv, f ) = λϕ(v, f ) = λf (ψ(v)) = f (λψ(v)) ∀f ∈ V ∗ ,ψ â ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì.
Åñëè ïîòðåáóåòñÿ ïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü ψ îò ϕ, ìû áóäåì åãî òàêæå îáîçíà÷àòü ψϕ .1Äîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå T1 (V ) → L(V ), ϕ 7→ ψϕ , ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Äåéñòâèòåëüíî,îòêóäàψ(λv) = λψ(v).Òàêèì îáðàçîì,f (ψϕ1 +ϕ2 (v)) = (ϕ1 + ϕ2 )(v, f ) = ϕ1 (v, f ) + ϕ2 (v, f ) == f (ψϕ1 (v)) + f (ψϕ2 (v)) = f (ψϕ1 (v) + ψϕ1 (v))îòêóäàäëÿ ëþáûõv ∈ V, f ∈ V ∗ ,ψϕ1 +ϕ2 (v) = ψϕ1 (v)+ψϕ1 (v) ∀ v ∈ V, òî åñòü ψϕ1 +ϕ2 = ψϕ1 +ψϕ2 , è àíàëîãè÷íî äëÿ óìíîæåíèÿíà ñêàëÿðû.ϕ : V × V ∗ → K, ϕ(v, f ) := f (ψ(v)) 11áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, òî åñòü ϕ ∈ T1 (V ).
Òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèëè îòîáðàæåíèå L(V ) → T1 (V ).Îáðàòíî, ïóñòü äàí ëèíåéíûé îïåðàòîðψ ∈ L(V ).ÒîãäàÈç ôîðìóëû (1) ëåãêî óâèäåòü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê ðàíåå ïîñòðîåííîìó îòîáðàæåíèþT11 (V ) → L(V ).Çàäà÷à 1.3.Ïðèìåð.1.4Êàêîìó òåíçîðó òèïà (1, 1) îòâå÷àåò òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð idV ∈ L(V )?Êîðîòêî îáñóäèì òåíçîðû òèïà(1, 2),òî åñòü òðèëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿϕ : V × V × V ∗ → K.4Âåêòîðw∈Vìû îáîçíà÷èëèψ(v)÷òîáû ïîä÷åðêíóòü åãî çàâèñèìîñòü îò4v.Åñëè â âûðàæåíèèîòf ∈Vϕ(v, w; f ) çàôèêñèðîâàòü ïåðâûå äâà àðãóìåíòà v, w ∈ V, òî ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ∀v, w ∈ V ∃ ! µ(v, w) ∈ V òàêîé, ÷òî∗ áóäåò ëèíåéíîé, è, çíà÷èò, äëÿϕ(v, w; f ) = f (µ(v, w))(µ òàêæå çàâèñèò îòµ : V ×V → Vϕ).Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî âåêòîðµ(v, w)(2)ëèíåéíî çàâèñèò îòvèw.Òî åñòüV .
Îáðàòíî, èìåÿ òàêîå óìíîæåíèå, ïî ôîðìóëå (2) ìîæíî îïðåäåëèòü òåíçîð ϕ òèïà (1, 2). Òî åñòü òåíçîðû òèïà (1, 2) áèëèíåéíûå óìíîæåíèÿ íà V . Ñïðèìåðàìè òàêèõ óìíîæåíèé ìû óæå âñòðå÷àëèñü: åñëè V òðåõìåðíîå åâêëèäîâî îðèåíòèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî, òî òàêîé îïåðàöèåé ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ, à åñëè V ïðîñòðàí áèëèíåéíîå óìíîæåíèå íàñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà, òî òàêîé îïåðàöèåé ÿâëÿåòñÿ óìíîæåíèå ìàòðèö(èëè âçÿòèÿ èõ êîììóòàòîðàX, Y 7→ [X, Y ] := XY − Y X ).Ïîñòðîéòå èçîìîðôèçì ìåæäó ïðîñòðàíñòâîì L(V, V ; V ) áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèéè ïðîñòðàíñòâîì L(V ; L(V )) ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé V → L(V ).Çàäà÷à 1.5.V ×V →VÊðîìå òîãî, ïî îïðåäåëåíèþ, òåíçîðû òèïàT00 (V(0, 0)îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñî ñêàëÿðàìè, òî åñòü) = K.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî òåíçîðû âûñîêèõ ðàíãîâ åñòåñòâåííî âîçíèêàþò íå òîëüêî â ÷èñòîé ìàòåìàòèêå, íî è â åå ïðèëîæåíèÿõ.
Íàïðèìåð, òåíçîð êðèâèçíû Ðèìàíà, îïèñûâàþùèé êðèâèçíó ïðîñòðàíñòâà (èëè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè), âàæíûé â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, èìååò òèï2(1, 3).Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðîâÅñëè áû ïðîñòðàíñòâàTpq (V )ïðè ðàçíûõ(p, q)áûëè áû íèêàê ìåæäó ñîáîé íå ñâÿçàíû, ïîíÿòèåòåíçîðà íå ïðåäñòàâëÿëî áû áîëüøîãî èíòåðåñà: îíî ïðîñòî äàâàëî áû äðóãèå íàçâàíèÿ èçâåñòíûìîáúåêòàì ëèíåéíîé àëãåáðû (âåêòîðàì, áèëèíåéíûì ôîðìàì, ëèíåéíûì îïåðàòîðàì, ...). Îäíàêî íàñàìîì äåëå ïðîñòðàíñòâàTpq (V ) ïðè ðàçíûõ (p, q) ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ìíîæåñòâîì îòîáðàæåíèé,è òåíçîðíàÿ àëãåáðà ñèñòåìàòè÷åñêè èçó÷àåò ñâÿçè ìåæäó òåíçîðàìè ðàçíûõ òèïîâ. Ïðèìåðàìèòàêèõ ñâÿçåé ÿâëÿþòñÿ èçó÷åííûå íàìè ðàíåå â êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû èçîìîðôèçìû ìåæäó åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì è åãî äâîéñòâåííûì, à òàêæå ìåæäó ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâè áèëèíåéíûõ ôîðì íà åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.Îñíîâíûìè îïåðàöèÿìè íàä òåíçîðàìè ÿâëÿþòñÿ èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå è ñâåðòêà (â ÷àñòíîñòè, ïîäúåì è îïóñêàíèå èíäåêñîâ).
Íà ñàìîì äåëå, íà ýòîì ÿçûêå îïèñûâàþòñÿ âñå îïåðàöèèëèíåéíîé àëãåáðû (âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîé ôîðìû èëè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íà âåêòîðå,êîìïîçèöèÿ îïåðàòîðîâ è ò.ä.).Îïðåäåëåíèå 2.1.ϕ⊗ψ ∈Òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåìòåíçîðîâϕ ∈ Tpq (V )èψ ∈ Trs (V )íàçûâàåòñÿ òåíçîðTp+rq+s (V ), îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé(ϕ ⊗ ψ)(v1 , . . . , vq+s ; f1 , . . .
, fp+r ) = ϕ(v1 , . . . , vq ; f1 , . . . , fp )ψ(vq+1 , . . . , vq+s ; fp+1 , . . . , fp+r ),ãäåvi ∈ V, fj ∈ V ∗ .5Òîò ôàêò, ÷òî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äåéñòâèòåëüíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåíçîð óêàçàííîãî òèïà (ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå), î÷åâèäåí. Òàêæå ïðîñòî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèåîïðåäåëÿåò áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèåTpq (V ) × Trs (V ) → Tp+rq+s (V ),òî åñòü(ϕ1 + ϕ2 ) ⊗ ψ = ϕ1 ⊗ ψ + ϕ2 ⊗ ψ, (λϕ) ⊗ ψ = λ(ϕ ⊗ ψ)è ò.ä.(ϕ ⊗ ψ) ⊗ χ =ϕ ⊗ (ψ ⊗ χ). Îäíàêî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå êîììóòàòèâíî, òî åñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ϕ ⊗ ψ 6= ψ ⊗ ϕ.0∗×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, âîçüìåì äâå ëèíåéíûå ôîðìû ϕ, ψ ∈ T1 (V ) = V , ãäå dim V ≥ 2 èðàññìîòðèì äâå áèëèíåéíûå ôîðìû íà V , ϕ ⊗ ψ è ψ ⊗ ϕ. Òîãäà èõ çíà÷åíèÿ íà ïàðå (v, w) ∈ V × Vñóòü ϕ(v)ψ(w) è ψ(v)ϕ(w).
Íî ëåãêî ïîäîáðàòü òàêóþ ïàðó ëèíåéíûõ ôîðì è òàêóþ ïàðó âåêòîðîâ,÷òî ïåðâûé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ñêàëÿðîâ ðàâåí 1, à âòîðîé 0 (äåòàëè ïðåäîñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ).Èç îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíà òàêæå àññîöèàòèâíîñòü òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, òî åñòüÏðèìåð.w ∈ T10 (V ), α ∈ T01 (V ); òîãäà α ⊗ w ∈ T11 (V ). Ïî îïðåäåëåíèþ,(α ⊗ w)(v, f ) = α(v)f (w) = f (α(v)w) (ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç ëèíåéíîñòè f ). Ïîäñòàâëÿÿ âôîðìóëó (1) ϕ = α ⊗ w , ïîëó÷àåì (α ⊗ w)(v, f ) = f (ψ(v)) äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî α ⊗ w ëèíåéíîãîîïåðàòîðà ψ .
Ñðàâíèâàÿ äâå ïîñëåäíèå ôîðìóëû ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàòîð ψ : V → V , îòâå÷àþùèé11òåíçîðó ϕ = α ⊗ w ∈ T1 (V ) ïðè êàíîíè÷åñêîì èçîìîðôèçìå T1 (V ) → L(V ), ïîñòðîåííîì â Ïðåäëîæåíèè 1.2, äåéñòâóåò íà âåêòîð v ∈ V ïî ôîðìóëå ψ(v) = α(v)w .Íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ëþáîé îïåðàòîð íà V ïðè dim V > 1 ïîëó÷àåòñÿ ïðèâåäåííûì âûøåñïîñîáîì: ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàíã îïåðàòîðà v 7→ α(v)w íå ïðåâîñõîäèò 1.  òî æå âðåìÿ ëþáîéîïåðàòîð ðàíãà 1 ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì òàêîãî âèäà (äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîâåêòîðà α è âåêòîðàw) è, çíà÷èò, ëþáîé ëèíåéíûé îïåðàòîð íà V ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé òàêèõ.2.2Ïóñòü, íàïðèìåð,Ïóñòü α, β ∈ V ∗, w ∈ V.
Êàêîå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå µ : V × V → V (ñì. Ïðèìåð) îòâå÷àåò òåíçîðó α ⊗ β ⊗ w òèïà (1, 2)?Âñÿêèé ëèíåéíûé îïåðàòîð ψ : V → V ðàíãà 1 èìååò âèä v 7→ α(v)w ∀ v ∈ V , ãäå ïàðà∗α ∈ V , w ∈ V îïðåäåëåíà îïåðàòîðîì ψ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû α 7→ λ α, w 7→ λ−1 wäëÿ λ ∈ K∗.Çàäà÷à 2.3.1.4Çàäà÷à 2.4.rk ψ = dim Im ψ = 1 ⇔ Im ψ = hwi äëÿ íåêîòîðîãî w ∈ V, w 6= 0. Òîãäà ψ(v) = α(v)w,α : V → K íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì èç ëèíåéíîñòè ψ ñëåäóåò, ÷òî α(v) ëèíåéíî çàâèñèò îòÐåøåíèå.ãäåv,òî åñòü ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôîðìîé.ßñíî, ÷òî âåêòîðwIm ψ = hwi, îïðåäåëåí îïåðàòîðîì ψ îäíîçíà÷íî5∗ òàêæåÿñíî, ÷òî hαi = Ann(ker ψ) , ïîýòîìó α ∈ Vòàêîé, ÷òîäî íåíóëåâîãî ìíîæèòåëÿ.
Òàêæåñ òî÷íîñòüþîïðåäåëåíψîäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî íåíóëåâîãî ìíîæèòåëÿ. Äàëüíåéøåå î÷åâèäíî.3Êîîðäèíàòû òåíçîðàÏóñòüV êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìíàòóðàëüíûõ5Ann Up, qîáîçíà÷àåòTpq (V)K. Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáûõÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä òåì æå ïîëåì.àííóëÿòîðïîäïðîñòðàíñòâàU ⊂ V , Ann(U ) := {f ∈ V ∗ | f (u) = 0 ∀u ∈ U } ⊂ V ∗ .6ϕ ∈ Tpq (V ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè∗íà íàáîðàõ, ñîñòîÿùèõ èç q áàçèñíûõ âåêòîðîâ èç V è p áàçèñíûõ âåêòîðîâ èç V .  ýòîì ðàçäåëåpìû ïîñòðîèì âàæíûé êëàññ áàçèñîâ â Tq (V ).1n∗Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé áàçèñ {e1 , .
. . , en } â V . Ïóñòü {e , . . . , e } äâîéñòâåííûé áàçèñ â V ,1, åñëè i = j ;jjòî åñòü òàêîé, ÷òî e (ei ) = δi =0, åñëè i 6= j .pp+q ýëåìåíòîâ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq ⊗ e ⊗ . . . ⊗ e , ãäå i è j íåçàâèñèìîÒîãäà â Tq (V ) îïðåäåëåí íàáîð nipi1klïðîáåãàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, . . . , n. Ïî îïðåäåëåíèþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ⊗,Äåéñòâèòåëüíî, ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå(ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq ⊗ ei1 ⊗ . . . ⊗ eip )(v1 , . .
. , vq ; f1 , . . . , fp ) = ej1 (v1 ) . . . ejq (vq )f1 (ei1 ) . . . fp (eip ). ÷àñòíîñòè,jk(ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq ⊗ ei1 ⊗ . . . ⊗ eip )(el1 , . . . , elq ; ek1 , . . . , ekp ) = δlj11 . . . δlqq δik11 . . . δipp .Íàáîð np+q ýëåìåíòîâ {ejTpq (V ) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â Tpq (V ).Äîêàçàòåëüñòâî1Òåîðåìà 3.1.⊗ . . . ⊗ ejq ⊗ ei1 ⊗ . . . ⊗ eip | 1 ≤ ik , jl ≤ n}(3)ïðîñòðàíñòâà.
Íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî óêàçàííûå òåíçîðû ëèíåéíî íåçàâèñèìû è ÷òî ëþáîé òåíçîðòèïà(p, q)ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè.Ïóñòü ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿXðàâíà0.i ...iλj11 ...jpq ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq ⊗ ei1 ⊗ . . . ⊗ eipÒîãäà, âû÷èñëÿÿ åå çíà÷åíèÿ íà íàáîðåk1 ...kp÷òî λl ...lq1= 0.(el1 , . . .
, elq ; ek1 , . . . , ekp )ñ ïîìîùüþ (3), ïîëó÷àåì,Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ íàáîðà äîêàçàíà.Äëÿ ëþáîãî òåíçîðàϕ ∈ Tpq (V )îïðåäåëåí íàáîðnp+qñêàëÿðîâi ...iϕj11 ...jpq := ϕ(ej1 , . . . , ejq ; ei1 , . . . , eip ) ∈ K(íàáîð çíà÷åíèé ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿϕ(4)íà âñåâîçìîæíûõ íàáîðàõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ èêîâåêòîðîâ). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà-(ej1 , .
. . , ejq ; ei1 , . . . , eip ), òî åñòü åñëè çíà÷åíèÿ äâóõ ïîëèëèíåéíûõ îòîá(ej1 , . . . , ejq ; ei1 , . . . , eip ) ñîâïàäàþò, òî è ïîëèëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ ñîâ-÷åíèÿìè íà òàêèõ íàáîðàõðàæåíèé íà âñåõ íàáîðàõïàäàþò. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèåφ :=ñîâïàäàåò ñϕ,Xi ...iϕj11 ...jpq ej1 ⊗ . .
. ⊗ ejq ⊗ ei1 ⊗ . . . ⊗ eipà çíà÷èò óêàçàííûé â óñëîâèè òåîðåìû íàáîð òåíçîðîâ ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì âÑëåäñòâèå 3.2.Åñëè dim V = n, òî dim Tpq(V ) = np+q .Áàçèñ â óñëîâèè ïðåäûäóùåé òåîðåìû íàçûâàåòñÿîòâå÷àþùèì âûáðàííîìó áàçèñóêîìïîíåíòàìè òåíçîðà ϕ))òåíçîðíûì áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Tpq(V )Vêîîðäèíàòàìè{e1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
