Тензоры - Ершов (1188209), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , vq )(çäåñü äëÿ óäîáñòâà ìû ñäåëàëè çàìåíóÎïðåäåëåíèå 6.4.wi = vτ (i) ,òîãäàÎïåðàòîðîì ñèììåòðèðîâàíèÿS(q) : Tq (V ) → Tq (V ),íàwσ(j) = vτ σ(j) ).Tq (V )íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîðS=îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîéSϕ =1 Xfσ (ϕ),q!ϕ ∈ Tq (V )σ∈Sq(ñóììà ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàìσ ∈ Sq ).Òî, ÷òî ïðèâåäåííàÿ â îïðåäåëåíèè ôîðìóëà çàäàåò ëèíåéíûé îïåðàòîð, ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ. Âîçìîæíîñòü äåëåíèÿ íàq!îáåñïå÷èâàåòñÿ óñëîâèåì íà õàðàêòåðèñòèêó îñíîâíîãî ïîëÿ.Ïðèâåäåì êîîðäèíàòíóþ çàïèñü ñèììåòðèðîâàíèÿ (êîòîðóþ ëåãêî ïîëó÷èòü èç ïðåäûäóùåãî):(Sϕ)i1 ...iq =1 Xϕσ(i1 )...σ(iq ) .q!σ∈Sq ëèòåðàòóðå ÷àñòî âìåñòî(Sϕ)i1 ...iqïèøóòϕ(i1 ...iq )(ðåçóëüòàò ñèììåòðèðîâàíèÿ ïî èíäåêñàìi1 .
. . iq ).Îïåðàòîð ñèììåòðèðîâàíèÿ S : Tq (V ) → Tq (V ) èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:Im S = T+q (V );Òåîðåìà 6.5.1)2)S2 = S.Òàêèì îáðàçîì, S ïðîåêòîð íà ïîäïðîñòðàíñòâî T+q (V ) ⊂ Tq (V ).ÄîêàçàòåëüñòâîIm S ⊂ T+q (V ). Âî-ïåðâûõ,ïðè ôèêñèðîâàííîìτ ∈ Sqêîãäà. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ Ëåììó 6.3 è òîò ôàêò, ÷òîσïðîáåãàåò âñåSqïî îäíîìó ðàçó, òîτσòàêæå ïðîáåãàåò âñåSq9ïî îäíîìó ðàçó , èìååìX11 X1 X1 Xfτ (Sϕ) = fτ fσ (ϕ) =fτ (fσ (ϕ)) =fτ σ (ϕ) =fω (ϕ) = Sϕ.q!q!q!q!σ∈Sqσ∈Sqσ∈Sq(8)ω∈SqIm S ⊃ T+(V ) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ∀ ϕ ∈ T+q (V ) Sϕ = ϕ.P q2ñëåäóåòτ ∈Sq fτ (Sϕ) = q!Sϕ, îòêóäà S ϕ = Sϕ.Îáðàòíîå âêëþ÷åíèåÈç ðàâåíñòâà (8)Ñèììåòðèðîâàíèå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñèììåòðè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå ñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ,ðåçóëüòàò êîòîðîãî òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì.89Òàêèì îáðàçîì,σ 7→ fσSq âτ σ = ω.
ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ñèëó îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè â ãðóïïå óðàâíåíèÿ15ïðîñòðàíñòâåTq (V ).ñèììåòðè÷åñêèì ïðîèçâåäåíèåì ϕ ∨ ψ+ϕ ∈ T+q (V ), ψ ∈ Tr (V ). Òîãäà èõS(ϕ ⊗ ψ) ∈ T+q+r (V ) (çäåñü S = S(q + r) : Tq+r (V ) → Tq+r (V )).Îïðåäåëåíèå 6.6. Ïóñòüíàçûâàåòñÿ òåíçîðÑâîéñòâà ýòîé îïåðàöèè ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [9] èëè [10].Âïîëíå àíàëîãè÷íûå êîíñòðóêöèè è ðåçóëüòàòû âåðíû è äëÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ.Îïðåäåëåíèå 6.7.Îïåðàòîðîì àëüòåðíèðîâàíèÿA(q) : Tq (V ) → Tq (V ),íàTq (V )íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîðA=îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîéAϕ =1 Xε(σ)fσ (ϕ),q!ϕ ∈ Tq (V )σ∈Sq(ñóììà ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàìσ ∈ Sq ).Ïðèâåäåì êîîðäèíàòíóþ çàïèñü àëüòåðíèðîâàíèÿ (êîòîðóþ ëåãêî ïîëó÷èòü èç ïðåäûäóùåãî):(Aϕ)i1 ...iq =1 Xε(σ) ϕσ(i1 )...σ(iq ) .q!σ∈Sq ëèòåðàòóðå ÷àñòî âìåñòî(Aϕ)i1 ...iqïèøóòϕ[i1 ...iq ](ðåçóëüòàò àëüòåðíèðîâàíèÿ ïî èíäåêñàìi1 .
. . iq ).Îïåðàòîð àëüòåðíèðîâàíèÿ A : Tq (V ) → Tq (V ) èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:Im A = T−q (V );Òåîðåìà 6.8.1)2)A2 = A.Òàêèì îáðàçîì, A ïðîåêòîð íà ïîäïðîñòðàíñòâî T−q (V ) ⊂ Tq (V ).Äîêàçàòåëüñòâîýòîé òåîðåìû ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü òîæäåñòâîε(στ ) =âíåøíèì ïðîèçâåäåíèåì ϕ ∧ ψíàçûâà-ε(σ)ε(τ )).−ϕ ∈ T−q (V ), ψ ∈ Tr (V ). Òîãäà èõA(ϕ ⊗ ψ) ∈ T−q+r (V ) (çäåñü A = A(q + r) : Tq+r (V ) → Tq+r (V )).Îïðåäåëåíèå 6.9. Ïóñòüåòñÿ òåíçîðÑâîéñòâà ýòîé îïåðàöèè ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [9] èëè [10].  ÷àñòíîñòè, àññîöèàòèâíîñòüýòîé îïåðàöèè ïîçâîëÿåò íå äóìàòü î ðàññòàíîâêå ñêîáîê â âûðàæåíèÿõ âèäàÏðèìåð.ϕ1 , .
. . , ϕq : V → K íàáîð ëèíåéíûõ ôîðì. Òîãäà ëåãêî−ïðîèçâåäåíèå ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕq ∈ Tq (V ) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé1 Xϕ1 ∧ . . . ∧ ϕq (v1 , . . . , vq ) =ε(σ)ϕ1 (vσ(1) ) . . . ϕq (vσ(q) ).q!6.10âíåøíååϕ1 ∧ . . . ∧ ϕq .Ïóñòüóáåäèòüñÿ, ÷òî èõσ∈Sq ÷àñòíîñòè, åñëè{e1 , . .
. , en } íåêîòîðûé áàçèñ âe1 ∧ . . . ∧ en (v1 , . . . , vn ) =1n!XV,òîsgn (i1 . . . in )vi11 . . . vinn =(i1 ...in )∈Sn îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç êîîðäèíàò âåêòîðîâv1 , . . . , vn1det (vji )n!â áàçèñå{e1 , . . . , en }.(9)Åñëè10 ïðàâûé îðòîíîðìèðîâàííûé , òî, ñ òî÷íîñòüþ äîV åâêëèäîâî, à áàçèñ {e1 , . . . , en }1ìíîæèòåëÿn! , ýòî ðàâíî îðèåíòèðîâàííîìó n-ìåðíîìó îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íàïðîñòðàíñòâîâåêòîðàõ10v1 , .
. . , v n .Èëè ïðîñòî òàêîé, ÷òî îðèåíòèðîâàííûé îáúåì åãî ôóíäàìåíòàëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí161.Çàìå÷àíèå.6.11Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ êíèãàõ, îñîáåííî ïî ãåîìåòðèè èëè ôèçèêå, ïðè èçëî-æåíèè òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì (ñì. [2] èëè [12]) âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå êîñîñèììåòðè÷íûõòåíçîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ íåñêîëüêî èíà÷å. À èìåííî, íà îäíîðîäíûõ êîìïîíåíòàõ ïîëàãàþòϕ∧ψ =ãäå−ϕ ∈ T−q (V ), ψ ∈ Tr (V ).(q + r)!A(ϕ ⊗ ψ),q! r!Îäíî èç ïðåèìóùåñòâ òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ôîð-ìóëàõ òèïà (9) íå ïîÿâëÿþòñÿ ôàêòîðèàëû, òî åñòü ñïðàâà ñòîèò ïðîñòî îðèåíòèðîâàííûé îáúåìϕ(u, v, α, β) = (α ∧ β)(u, v) çíà÷åíèåïðîèçâåäåíèÿ α ∧ β ëèíåéíûõ ôîðì α, β íà ïàðå âåêòîðîâ u, v (ñì. [2], ãë.
7). Ìîæíî−÷òî îáà îïðåäåëåíèÿ ïðèâîäÿò ê èçîìîðôíûì ñòðóêòóðàì àëãåáðû íà ⊕q Tq (V ).ïàðàëëåëåïèïåäà. Íàïðèìåð, äëÿ òåíçîðàâíåøíåãîïîêàçàòü,7èç Çàäà÷è 3.5Òåíçîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâåÅâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ýòî ïàðàVϕ(V, g),ñîñòîÿùàÿ èç âåùåñòâåííîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâàè áèëèíåéíîé ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìûñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì òèïàgíà íåì. Òî åñòügÿâëÿåòñÿ(0, 2). Íàëè÷èå ôèêñèðîâàííîé íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìû gïðèâîäèò ê ðÿäó îòîáðàæåíèé ìåæäó òåíçîðàìè ðàçíûõ òèïîâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûåîòñóòñòâóþò â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå áåç äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðû. Ýòè îòîáðàæåíèÿ âîçíèêàþòèç ñâåðòîê ñg. ýòîì ðàçäåëå íàì áóäåò óäîáíåå âåñòè èçëîæåíèå íà êëàññè÷åñêîì, êîîðäèíàòíîì,ÿçûêå.Èòàê, ðàññìîòðèì ïðèìåðû èçîìîðôèçìîâ ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè òåíçîðîâ ðàçíûõ òèïîâ â ñëó÷àå åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü1ìåæäó ïðîñòðàíñòâîì T0 (V)∼=Vè{e1 , . .
. , en } íåêîòîðûé áàçèñ â V . Âî-ïåðâûõ, èçîìîðôèçìT10 (V ) = V ∗ çàäàåòñÿ êàê êîìïîçèöèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿg è ñâåðòêîé ïîëó÷åííîãî òåíçîðà ïî åäèíñòâåííîìó âåðõíåìó è îäíîìó èç íèæíèõ èíäåê(êàêîìó íåâàæíî, èáî òåíçîð g ñèììåòðè÷åí). Òî åñòü óêàçàííûé èçîìîðôèçì êîìïîçèöèÿXv k 7→ (g ⊗ v)kij = gij v k 7→gij v j =: αi .âåêòîðà íàñîâjÏî ïîíÿòíûì ïðè÷èíàì äàííàÿ îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé îïóñêàíèÿ èíäåêñà. Ïî-äðóãîìóv 7→ g(·, v) =: α(·) âåêòîðó v ëèíåéíîéôîðìû α, ïîëó÷åííîé èç áèëèíåéíîé ôîðìû g ïîäñòàíîâêîé v â êà÷åñòâå âòîðîãî àðãóìåíòà.P ijijÏóñòü g ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå Ãðàìà ôîðìû g â äàííîì áàçèñå,j g gjk =iδk .
Èç Çàäà÷è 4.6 ìû çíàåì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè íåêîòîðîãî òåíçîðà gb òèïà (2, 0). Ýòîò∗òåíçîð ïîçâîëÿåò çàäàòü îáðàòíûé èçîìîðôèçì V → V :Xijαk 7→ (bg ⊗ α)ij=gα→7g ij αj =: v i .kkäàííîå îòîáðàæåíèå ìîæåò áûòü çàäàíî êàê ñîïîñòàâëåíèåjÝòî ïðèìåð îïåðàöèè ïîäúåìà èíäåêñà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.Äàëåå, â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ìû ïî ëèíåéíîìó îïåðàòîðó ñòðîèëè áèëèíåéíóþ ôîðìó (ïðè÷åì äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ýòà ôîðìà îêàçûâàëàñü ñèììåòðè÷íîé). Ýòà îïåðàöèÿ åùåîäèí ïðèìåð îïåðàöèè îïóñêàíèÿ èíäåêñà:akl 7→ (g ⊗ a)kijl = gij akl 7→Xj17gij ajl =: hil ,H = GA, ãäå A = (aij ) ìàòðèöà îïåðàòîðà â äàííîì áàçèñå.
Èíà÷å, ýòà îïåðàöèÿñîïîñòàâëåíèå ëèíåéíîìó îïåðàòîðó ϕ íà V áèëèíåéíîé ôîðìû (u, v) 7→ g(u, ϕ(v)).òî åñòü äëÿ ìàòðèöâûãëÿäèò êàêÇàìå÷àíèå.7.1Çàìåòèì, ÷òî åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé, òî åñòügij = δij ,A = H.òîÊðîìåòîãî, ïðè îðòîãîíàëüíûõ çàìåíàõ áàçèñîâ ìàòðèöû îïåðàòîðîâ è áèëèíåéíûõ ôîðì ïðåîáðàçóþòñÿîäèíàêîâî. Âîîáùå, åñëè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûìèáàçèñàìè, òî ðàçíèöà ìåæäó âåðõíèìè è íèæíèìè èíäåêñàìè òåíçîðîâ èñ÷åçàåò. Ïðèìåðå 4.5 ìû îïðåäåëèëè òåíçîð ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò àëãåáðû.
 áàçèñå îí îïðåäåëÿåòñÿèç òîæäåñòâàei · ej =Pkϕkij ek .ÏóñòüV òðåõìåðíîå îðèåíòèðîâàííîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.Ðàññìîòðèì åãî êàê àëãåáðó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Òàê êàêXXXv i ei ,wj ej =ϕkij v i wj ek ,iji,j,kòî[v, w]k =Xϕkij v i wj .i,jÅñëè óϕ îïóñòèòü åãî åäèíñòâåííûé âåðõíèé èíäåêñ, òî ïîëó÷èòñÿ òåíçîð, îòâå÷àþùèé ñìåøàííîìóïðîèçâåäåíèþ. Äåéñòâèòåëüíî,Xgil ϕljk ui v j wk = (u, [v, w]) = (u, v, w).i,j,k,lÎáðàòíî, çàäàíèå òðèëèíåéíîé ôîðìûîòîáðàæåíèÿVV ×V → VV ×V ×V → Rýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ áèëèíåéíîãî∗ , êîòîðîå ïîñëå âçÿòèÿ êîìïîçèöèè ñ îïåðàöèåé ïîäúåìà èíäåêñàîïðåäåëÿåò áèëèíåéíîå óìíîæåíèåV × V → V.V∗ →Ïðèìåíåíèå ýòîé êîíñòðóêöèè ê ñìåøàííîìóïðîèçâåäåíèþ äàåò âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå.Ïóñòüψ òåíçîð, çàäàþùèé ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (â êîîðäèíàòàõψijk :=ll gil ϕjk ).  ïðà-P{e1 , e2 , e3 } åãî êîîðäèíàòû ñóòü1,åñëè ïåðåñòàíîâêà (ijk) ÷åòíàÿ;= (ei , ej , ek ) = εijk := −1, åñëè ïåðåñòàíîâêà (ijk) íå÷åòíàÿ;0,åñëè ñðåäè èíäåêñîâ ijk åñòü ñîâïàäàþùèå.âîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñåψijkÒðåõìåðíûé ìàññèâεijkíàçûâàåòñÿÏîñ÷èòàåì êîîðäèíàòûïåðåõîäàC=.000â íîâîì áàçèñå {e1 , e2 , e3 }, ñâÿçàííûì ñ èñõîäíûì{e1 , e2 , e3 }ìàòðèöåé(cij ).
Èìååì0ψlmnÒî åñòüψñèìâîëîì Ëåâè-×èâèòûdet C,X=εijk cil cjm ckn = −det C,i,j,k0,åñëè ïåðåñòàíîâêà(lmn)÷åòíàÿ;åñëè ïåðåñòàíîâêà(lmn)íå÷åòíàÿ;åñëè ñðåäè èíäåêñîâlmnåñòü ñîâïàäàþùèå.0ψijk= (det C) εijk . Íåäîñòàòîê äàííîé çàïèñè â òîì, ÷òî ìàòðèöà ïåðåõîäà çàâèñèò íå òîëüêîîò íîâîãî, íî è îò ñòàðîãî áàçèñà. Îäíàêî çàìåòèì, ÷òî åñëè èñõîäíûé áàçèñ áûë îðòîíîðìèðîâàí-√C T C, òî åñòü |det C| = det G0 . Çíàê æå det C îïðåäåëÿåòñÿ òàê: åñëè èñõîäíûé áàçèñ áûë ïðàâûì, òî îí +, åñëè íîâûé áàçèñ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì èíûì, òî ìàòðèöà ÃðàìàG0íîâîãî áàçèñà åñòü18√0ψijk= or(e0 ) det G0 εijk , ãäå or(e0 ) ÷èñëî,0îïðåäåëÿåìîå áàçèñîì e è ðàâíîå 1, åñëè îí ïðàâûé è −1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå ïðîèçâîëüíîìó áàçèñó e òðåõìåðíîãî îðèåíòèðîâàííîãî åâpdet G(e)εijk (i, j, k ∈ {1, 2, 3}) îïðåäåëÿåò òåíçîð òèïà (0, 3),êëèäîâà ïðîñòðàíñòâà íàáîðà or(e)çíà÷åíèå êîòîðîãî íà óïîðÿäî÷åííîé òðîéêå âåêòîðîâ èç V ðàâíî îðèåíòèðîâàííîìó îáúåìó ïàðàë − â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
