Продолжаемые и непродолжаемые решения дифур первого порядка (1187973), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¨­â¥£à «ì­ë¥ ªà¨¢ë¥, ¢ë室ï騥 ¨§ â®ç¥ª (0, y0 ), y0 < −1,25¯à¨ x ∈ (−1, 0] ¡ã¤ãâ «¥¦ âì ­¨¦¥ £à 䨪 ä㭪樨 yΓ , ¯à®å®¤ï饣® ç¥à¥§ â®çªã (0, −1). ˆ­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï, ¢ë室ïé 﨧 â®çª¨ (0, −1), â ª¦¥ à ᯮ« £ ¥âáï ­¨¦¥ £à 䨪 ä㭪樨yΓ . ®í⮬㠨­â¥£à «ì­ë¥ ªà¨¢ë¥ ­¥ ¬®£ãâ ¯¥à¥á¥çì £à 䨪ä㭪樨 yΓ ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­¨ ­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­ë¢«¥¢® § â®çªã x = −1.‡ ¤ ç 3.

ãáâì y(x), x ∈ R ¥áâì à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ïy = sin2 x + sin2 y.(20)„®ª § âì, çâ® lim y(x) = +∞ ¨ lim y(x) = −∞.x→+∞x→−∞ ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. ¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ (20) ¢ ¢¨¤¥ y = 12 −cos(2x)−+ sin2 y ¨ ¯®«®¦¨¬ y(0) = y0 . ˆ¬¥¥¬ ®ç¥¢¨¤­ë¥ ­¥2à ¢¥­á⢠3 cos(2x)1 cos(2x)− y −,2222x ∈ R.(21)ˆ­â¥£à¨àãï ­¥à ¢¥­á⢠(21) ¯® ®â१ªã [0, x], ¯®«ã稬 x2 −sin(2x)sin(2x)+ y0 y(x) 3x+ y0 .42 −4ˆ§ ¯®á«¥¤­¨å­¥à ¢¥­á⢠¨ ⥮६ë 3 á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥­¨¥ y(x) ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¯à®¤®«¦ ¥¬® ¢¯à ¢® ¨ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥£® ¯à¥¤¥«. ’ ª ª ª x2 − 14 + y0 x2 − sin(2x)+ y0 ,4− lim x − 14 + y0x→+∞ 2= +∞, â®sin(2x)lim x −+ y04x→+∞ 2== +∞. Žâªã¤ , ¢ ᨫ㠯®«ã祭­®£® ­¥à ¢¥­á⢠lim y(x) =x→+∞= +∞. —â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¢â®à®© ¯à¥¤¥«, ¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ­¥à ¢¥­á⢠(21) ¯® ®â१ªã [x, 0], x < 0.

®«ã稬3x sin(2x)x sin(2x)−+ y0 y(x) −+ y0 , x < 0.2424’ ª ª ª lim x2 + 14 + y0 = −∞, x2 + 14 + y0 x2 −x→−∞sin(2x)−+ y0 y(x),4â® lim y(x) = −∞.x→−∞‡ ¤ ç 4. ãáâì y(x), 0 < x < +∞ ¥áâì à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ïy = −(1 + sin2 x + sin2 y)y.$(22)„®ª § âì, çâ® x→+∞lim y(x) = 0. ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. ¥à¥¯¨è¥¬ ¨á室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥d(ln |y|)cos(2x)= − 32 −+ sin2 y ¨ ¯®«®¦¨¬ y(0) = y0 , y0 = 0.2dxˆ¬¥¥¬ ®ç¥¢¨¤­ë¥­¥à ¢¥­á⢠−5 cos(2x)−22d(ln |y|)−dx3 cos(2x)−.22®â१ªã[0, x], x > 0.à®¨­â¥£à¨à㥬í⨠­¥à ¢¥­á⢠¯® y(x) sin(2x)5x®«ã稬 − 2 − 4 ln y0 −Žâªã¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì y0 exp −5x sin(2x)−243x − sin(2x)24. y(x) 3x sin(2x)− y0 exp −24(23)¯à¨ ãá«®¢¨¨ y0 > 0.

ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠(23) á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥­¨¥y(x) ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¯à®¤®«¦ ¥¬® ¢¯à ¢® ¨ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥£® ¯à¥¤¥«. ¥è¥­¨¥ y(x) ¯à¨ «î¡®¬ A­ 室¨âáï ¢ ¯àאַ㣮«ì­¨ª¥ [0, A]×[0, y0 +1], §­ ç¨â ­¥ ¨¬¥¥â¢¥à⨪ «ì­®© ᨬ¯â®âë. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 5 ®­® ¬®¦¥â ¡ëâì­¥®£à ­¨ç¥­­®¯à®¤®«¦¥­® ¢¯à ¢®.‚ १ã«ìâ ⥠­ 室¨¬ lim y0 exp −x→+∞5x sin(2x)−24 3x sin(2x) lim y(x) lim y0 exp −−= 0.x→+∞x→+∞24€­ «®£¨ç­® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © y0 < 0.âã § ¤ çã ¬®¦­® à¥è¨âì ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬. ‘®£« á­® ⥮६¥ 1 ç¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã ¯«®áª®á⨠R2 ¯à®å®¤¨â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï ãà ¢­¥­¨ï (22). ”ã­ªæ¨ï y == 0 ï¥âáï ¥£® à¥è¥­¨¥¬.

‚®§ì¬ñ¬ ¢ ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­ëå¤ ­­ëå x = 0, y = y0 (y0 > 0) ¨ à áᬮâਬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ y = −y. …£® à¥è¥­¨¥¬, 㤮¢«¥â¢®àïî騬í⨬ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¡ã¤¥â äã­ªæ¨ï ϕ(x) = y0e−x.  ¨á. 5 ¯à¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå y0 (= π2 , π, 3π2 ) ®­¨ ¨§®¡à ¦¥­ë â®­ª¨¬¨ «¨­¨ï¬¨. ’ ª ª ª y(0) = −(1 + sin2 y0)y0, %ϕ (0) = −y0 , ⮨§ â®çª¨ (0, y0 )¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï ãà ¢­¥­¨ï (22) ¢ë室¨âϕ(x) = y0 e−x .­¥ ¢ëè¥ ªà¨¢®©à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïåy0 ¨á.

5 ¯à¨®­¨ ¨§®¡à ¦¥­ë ¦¨à­ë¬¨ «¨­¨ï¬¨.‚ ª ¦¤®© â®çª¥ í⮩ ªà¨¢®© ­ ª«®­ ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå, ¥¥¯¥à¥á¥ª îé¨å, ¯à¨x > 0 ¡ã¤¥â «¨¡® à ¢­ë¬,«¨¡® ¬¥­ìè¥ ­ -ª«®­ á ¬®© ªà¨¢®©.®í⮬㠨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï ãà ¢­¥­¨ï (22), 㤮¢«¥â¢®-x = 0, y = y0 (y0 > 0), ­¥ ¬®¦¥âx ¯¥à¥á¥çì ­¨ ®áì Ox, ­¨ ªà¨¢ãî, ®¯¨áë¢ ¥−x . ‚®§ì¬ñ¬ â®çªã B ­ ¨­â¥£à «ì¬ãî ä㭪樥© ϕ(x) = y0 e­®© ªà¨¢®©, ïî饩áï à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï y = −y á y0 =3π= 2 , ¨ ®¯ãá⨬ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà BC ­ ®áì Ox (á¬. ¨á. 5).àïîé ï ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬á 㢥«¨ç¥­¨¥¬‘®£« á­® ⥮६¥ 3 ¨ ¢ëè¥áª § ­­®¬ã ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ïãà ¢­¥­¨ï (22) ¯¥à¥á¥ª ¥â ®â१®ªBC¢ ¥£® ¢­ãâ७­¥© â®çª¥.BC à¥è¥­¨¥ ¯à®¤®«¦ lim y(x) = 0. „«ï ®áâ «ì­ëå‚ á¨«ã ¯à®¨§¢®«ì­®á⨠¢ë¡®à ®â१ª ¥¬® ¢¯«®âì ¤® ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå áâ ª¦¥ ª ª ¨ ¤«ï á«ãç ïx→+∞y0 > 0y0 < 0.¤®ª § ⥫ìá⢮ ­ «®£¨ç­®, ¨á.

5 ªà á­ë¬¨ «¨­¨ï¬¨ ®¡®§­ ç¥­ë ¨­â¥£à «ì­ë¥0; π2 , (0; π), 0; 3π2 .ªà¨¢ë¥ ãà ¢­¥­¨ï (22), ¢ë室ï騥 ¨§ â®ç¥ª á ª®®à¤¨­ â ¬¨y¢ë¥ ãà ¢­¥­¨ï‡ ¤ ç 5.‘¨­¨¬¨ «¨­¨ï¬¨ | ¨­â¥£à «ì­ë¥ ªà¨-= −y ,¢ë室ï騥 ¨§ â¥å ¦¥ â®ç¥ª„®ª § âì, çâ® ª ¦¤®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï2y +y −2+sin(x) = 0(−∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞),(24)¯à®¤®«¦ ¥¬® ­ ­¥ª®â®àë© ¯®«ã¡¥áª®­¥ç­ë© ¨­â¥à¢ «. ¥ è ¥ ­ ¨ ¥.  áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥(25)ˆá室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ¨§ ­¥£® ¯®­¨¦¥­¨¥¬ ¯®à浪 á ¯®¬®éìî § ¬¥­ë2 − sin(x) > 0,z = y , z = 0.z®¤­®£® ­ã«ï. …᫨ ­ã«ï ­¥â, â®&’ ª ª ªâ® ¨§ á«¥¤á⢨ï ⥮६ë áà ¢­¥­¨ï ˜âãଠª ¦¤®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (25) ¨¬¥¥â ­ y = zz¥¬® ª ª ¢¯à ¢®, â ª ¨ ¢«¥¢®. ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â x0 â ª®¥, çâ®z(x0 ) = 0.

’ ª ª ª z (x), z(x) ­¥¯à¥àë¢­ë ¯à¨ −∞ < x << +∞, ¯® ᢮©áâ¢ã ­ã«¥© «¨­¥©­®£® ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï¢â®à®£® ¯®à浪 z (x0 ) = 0, â® lim y(x) = ∞. ®í⮬ã à¥x→x0z − (2 − sin(x))z = 0.< x < +∞.¨á. 5.(−∞, +∞)­¥ ¡®«¥¥®¯à¥¤¥«¥­® ¯à¨−∞ <‚ í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥­¨¥ ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¯à®¤®«¦ -襭¨¥ ¨á室­®£® ãà ¢­¥­¨ï ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ç¥à¥§â®çªã x0 . ”ã­ªæ¨ï y = zz ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢®¡« áâïå (−∞, x0 ), (x0 , +∞) ¨ ï¥âáï ¢ ­¨å à¥è¥­¨¥¬ ¨á室­®£® ãà ¢­¥­¨ï. ®í⮬㠮­ ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥®£à ­¨ç¥­­®¯à®¤®«¦¥­ ¢«¥¢® ­ «î¡®© ¯®«ã¨­â¥à¢ « (−∞, x0 − r], r > 0¨«¨ ¢¯à ¢® ­ «î¡®© ¯®«ã¨­â¥à¢ « [x0 + r, +∞).„®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥ ­® ¬¥â®¤®¬ ’®­¥««¨29¨¦¥ ¡ã¤¥â ¯à¨¢¥¤¥­® ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥ ­® ¬¥â®¤®¬ ’®­¥««¨, ¢ ®á­®¢¥ ª®â®à®£® «¥¦¨â ¬¥å ­¨§¬ ¯à®¤®«¦¥­¨ï à¥è¥­¨ï.

â¨¬ ¬¥â®¤®¬ ’®­¥««¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¤®ª § « ⥮६ã áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ 稊®è¨ (⥮६ 1). „«ï ¯®­¨¬ ­¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᫥¤ã¥â®§­ ª®¬¨âìáï á ­¥ª®â®à묨 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï¬¨, ⥮६®© €à楫 ¨ «¥¬¬®© ƒà®­ã®«« .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 {ϕn(x)}∞n=1,®¯à¥¤¥«¥­­ëå ­ ®â१ª¥ [a, b], ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®¬¥à­® ®£à ­¨ç¥­­®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®áâ®ï­­ ï M > 0 â ª ï, çâ® ¤«ï¢á¥å n ∈ N ¨ «î¡®£® x ∈ [a, b] á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮|ϕn (x)| M.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 {ϕn(x)}∞n=1,®¯à¥¤¥«¥­­ëå ­ ®â१ª¥ [a, b], ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥à뢭®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ(ε) > 0 â ª®¥,çâ® ¤«ï ¢á¥å x1, x2 ∈ [a, b], 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î |x2 −− x1 | < δ ¨ ¢á¥å n ∈ N ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮|ϕn (x2 ) − ϕn (x1 )| ε.’¥®à¥¬ €à楫 .

ˆ§ ¢á类© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨ à ¢­®-¬¥à­® ®£à ­¨ç¥­­ëå ¨ à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権,§ ¤ ­­ëå ­ ®â१ª¥ [a, b], ¬®¦­® ¢ë¡à âì à ¢­®¬¥à­® á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.‹¥¬¬ ƒà®­ã®«« . …᫨ ­¥¯à¥à뢭 ï ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï­ ®â१ª¥ [a, b] äã­ªæ¨ï ω(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­¥à ¢¥­áâ¢ã xω(x) B + v(τ )ω(τ ) dτ ,£¤¥ B 0, v(x) 0 ν(x) ∈ C¦ 饬ã [a, b]x0∀ x ∈ [a, b],â® ¤«ï x, ¯à¨­ ¤«¥-⎫⎧ x⎬⎨ω(x) B exp v(τ ) dτ .⎩⎭x0!(26)(27)„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì B > 0, x > x0.

 §¤¥«¨¬­¥à ¢¥­á⢮ (26) ­ ¯à ¢ãî ç áâì ¨ 㬭®¦¨¬ ¥£® ¯®á«¥ í⮣®­ v(x) 0:ω(x)v(x) v(x).xB + ω(τ )v(τ ) dτˆ§ ­¥£® á«¥¤ã¥â,⎡çâ®⎛x0d ⎣ ⎝ln B +dxx⎞⎤ω(τ )v(τ ) dτ ⎠⎦ v(x).x0ˆ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¯®á«¥¤­¥£® ­¥à ¢¥­á⢠¤ ¥â⎛⎞ln ⎝B +xω(τ )v(τ ) dτ ⎠ − ln B x0v(τ ) dτ.x0Žâáî¤ ¨ ¨§ (26) ¯®«ãç ¥¬ (27)xxω(x) B +xω(τ )v(τ ) dτ Bex0v(τ ) dτ.x0 áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç © B = 0, x > x0. “¬­®¦¨¬ (26) ­ v(x) 0.

‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬xω(x)v(x) v(x)(28)ω(τ )v(τ ) dτ.x0Ž¡®§­ 稬 φ =xx0ω(τ )v(τ ) dτ .’®£¤ (28) ¯à¨¬¥â ¢¨¤(29)φ − vφ 0.−“¬­®¦¨¬ ⥯¥àì ­¥à ¢¥­á⢮ (29) ­ e¥£® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬xx0v(τ ) dτ¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬⎤⎡x− v(τ ) dτd ⎣⎦ 0.φ(x)e x0dx!ˆ­â¥£à¨àãï ¯®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ®â x0 ¤® x, ­ 室¨¬−φ(x)exx0v(τ ) dτx− hk 0.â® ­¥à ¢¥­á⢮ ¬®¦¥â ¢ë¯®«­ïâìáï ⮫쪮 ¯à¨ φ(x) ≡ 0, ¨«¨ω(x) ≡ 0.‘«ãç © x < x0 ¨áá«¥¤ã¥âáï ­ «®£¨ç­®.’¥®à¥¬ ¥ ­®. (‚ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¥ ­®).

à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® äã­ªæ¨ï f (x, y) ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (1) ­¥¯à¥à뢭 ¢a§ ¬ª­ã⮬ ¯àאַ㣮«ì­¨ª¥ R á 業â஬ ¢ â®çª¥ x0 + 2 ; y0 ,®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ­¥à ¢¥­á⢠¬¨x0 x x0 + a,−b y − y0 b,a > 0,¨ ¯ãáâì ¢ R á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥­ª |f (x, y)| M .Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ h ­ ¨¬¥­ì襥 ¨§ ç¨á¥« a ¨b>0bM.’®£¤ (2).„®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥ ­® ¬¥â®¤®¬ ’®­¥««¨.¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ãà ¢­¥­¨¥(1)¨­â¥£à «ì­ë¬ãà ¢­¥­¨¥¬ (4):xy(x) = y0 +f (τ, y(τ )) dτ.(4)x0®ª ¦¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ å®âï ¡ë ®¤­®£® ¥£® à¥è¥­¨ïx ∈ [x0 , x0 + h],∈ [x0 , x0 + h]k äã­ªæ¨î yk (x), x ∈¯® á«¥¤ãîé¥¬ã ¯à ¢¨«ã.yk (x) = y0¯à¨hx ∈ x0 , x0 +,kx− hkyk (x) = y0 +f (τ, yk (τ )) dτx0!y(x),㤮¢«¥â¢®àïî饣® ­ ç «ì­®¬ã ãá«®¢¨î (2).Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡®£® ­ âãà «ì­®£®¯à¨®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«ïï äã­ªæ¨î yk (x) ­ íâ¨å ¯à®¬¥¦ã⪠å ᮣ« á­® ᮮ⭮襭¨ï¬ (30), ¬ë ®¯à¥¤¥«¨¬ ¥¥, ¢ ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥, ­ ¢á¥¬ ®â१ª¥ [x0 , x0 + h].

 ¤ ­­®¬ ®â१ª¥¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì à ¢¥­áâ¢ãf (x, y) ¤®áâ â®ç­® ¤«ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï å®âï ¡ë ®¤­®£® à¥è¥­¨ï y(x) ãà ¢­¥­¨ï (1), ®¯à¥¤¥«¥­­®£® ­ ®â१ª¥ [x0 , x0 + h] ¨ 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ­ ç «ì­®¬ã‡ ¬¥­¨¬x0x− hk­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨ãá«®¢¨î2h3hyk (x) = y0 +f (τ, yk (τ )) dτ ¯à¨ x ∈ x0 +, x0 +,kkx0.........x− hk(k − 1)hf (τ, yk (τ )) dτ ¯à¨ x ∈ x0 +, x0 + h .yk (x) = y0 +k(30)h2hx ∈ x0 + , x0 +,kkyk (x) = y0 +f (τ, yk (τ )) dτ.(31)x0‚ ᨫã ⥮६ë 2 ¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 f (x, y), äã­ªæ¨ï yk (x) ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ­ ®â१ª¥ [x0 , x0 + h].®ª ¦¥¬, çâ® §­ 祭¨ï ä㭪権 yk (x) ¯à¨ «î¡®¬ n ∈ N ­¥¢ë室ïâ ¨§ ®¡« áâ¨, ¢ ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥­ äã­ªæ¨ï f (x, y). ‚á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ à ¢¥­á⢠(31) ¢ë⥪ ¥â ®æ¥­ª (32)|yk (x) − y0 | M h b.ˆ§ ä®à¬ã«ë (32) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {yk (x)},x ∈ [x0 , x0 + h] à ¢­®¬¥à­® ®£à ­¨ç¥­ .‚ ᨫã ä®à¬ã« (30) ä㭪樨 yk (x) â ª¦¥ à ¢­®á⥯¥­­®­¥¯à¥à뢭ë.

„¥©á⢨⥫쭮, x2 − h kf (τ, yk (τ )) dτ M |x2 − x1 |.|yk (x2 ) − yk (x1 )| = hx1 − k(33)…᫨ ⥯¥àì ¢ ­¥à ¢¥­á⢥ (33) ¢§ïâì |x2 − x1 | < δ , δ == εM , â® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì|yk (x2 ) − yk (x1 )| < ε.ˆ§ â¥®à¥¬ë €à楫 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨{yk (x)}∞k=1 , x ∈ [x0 , x0 + h] ¬®¦­® ¢ë¡à âì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì!!­®áâì yσk (x), à ¢­®¬¥à­® á室ïéãîáï ª ä㭪樨 ϕ(x) ­ ®â१ª¥ [x0 , x0 + h] ¯à¨ k → ∞. ‡¤¥áì σ1 < σ2 < . . . < σk < . . .x+ |f (τ, yk (τ ))−f (τ, ym (τ ))| dτ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® â ª ¯®áâ஥­­ ï äã­ªæ¨ï ϕ(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î (1). ˆ¬¥¥¬xxf (τ, yσk (τ )) dτ −yσk (x) = y0 +f (τ, yσk (τ )) dτ.(34)x− σhx0„®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1 (áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨) ¬¥â®¤®¬ ’®­¥««¨.à¥¤¯®«®¦¨¬ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®, çâ® äã­ªæ¨ï f (x, y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢ § ¬ª­ã⮬ ¯àאַ㣮«ì­¨ª¥ R ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ (3).

‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {yk (x)}, k ∈ Ná室¨âáï ­ ®â१ª¥ [x0 , x0 + h] à ¢­®¬¥à­®. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ä®à¬ã«ë (34) ¨¬¥¥¬ hhx− m x− kf (τ, yk (τ )) dτ −f (τ, ym (τ )) dτ =|yk (x) − ym (x)| = x0x0⎡ h⎤ x−x k⎥⎢f (τ, yk (τ )) dτ − f (τ, yk (τ )) dτ ⎦ −=⎣ x0x0⎡ h⎤x− mx⎢⎥− ⎣ f (τ, ym (τ )) dτ − f (τ, ym (τ )) dτ ⎦+!"x0x|f (τ, yk (τ ))| dτ +x− hkxk‚® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(34) ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ k → ∞ ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « . ’à¥â¨© ç«¥­h¢ (34) ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­¥ §­ 祭¨¥ Mσk .®í⮬㠮­ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ k → ∞. ¥à¥å®¤ï ¢ (34)ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ k → ∞, ¯®«ã稬, çâ® äã­ªæ¨ï ϕ(x) ï¥âáïà¥è¥­¨¥¬ ¨­â¥£à «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï (4), §­ ç¨â, ¨ à¥è¥­¨¥¬§ ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2).x0x0x+Lx0|f (τ, ym (τ ))| dτ +hx− mMh Mh++L|yk (τ ) − ym (τ )| dτ kmx|yk (τ ) − ym (τ )| dτ.x0Ž¡®§­ 稬 z(x) = yk (x) − ym(x).

’®£¤ ¯à¨ x ∈ [x0, x0 + h]¡ã¤¥¬ ¨¬¥âìMh Mh++L|z(x)| kmx|z(τ )| dτ.x0‘®£« á­® «¥¬¬¥ ƒà®­ã®«« ¨ ®æ¥­ª¨ |x− x0| h ­ 室¨¬M h M h Lh+e .km‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ­ ©¤¥âáï Nz â ª®¥,¢á¥å k > Nz ¨ m > Nz á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮|yk (x) − ym (x)| < ε, ∀ x ∈ [x0 , x0 + h].|z(x)| çâ® ¤«ïŽâáî¤ á«¥¤ã¥â à ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨ä㭪権 {yk (x)} ª ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ϕ(x) ¯à¨ k → ∞,x ∈ [x0 , x0 + h].ˆ§ ä®à¬ã«ë (34), ¢ ª®â®à®© ¢ âà¥â쥬 á« £ ¥¬®¬ ¢¬¥áâ® σká⮨â k, ¢ë⥪ ¥â çâ® ¯à¥¤¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï ϕ(x) ¯à¨ k → ∞¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨­â¥£à «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (4). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­ ¡ã¤¥â à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2).„®ª ¦¥¬ ¥¤¨­á⢥­­®áâì ­ ©¤¥­­®£® à¥è¥­¨ï. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ä㭪樨 ϕ(x) ¨ ψ(x) ïîâáï à¥è¥­¨ï¬¨ § ¤ ç¨ (1){(2) ¯à¨ x ∈ [x0, x0 + h]. ‘®£« á­® «¥¬¬¥ 1 ¨¬¥¥¬xϕ(x) = y0 +f (τ, ϕ(τ )) dτx0¨xψ(x) = y0 +f (τ, ψ(τ )) dτ.x0!#Ž¡®§­ 稬ç¥à¥§ ω(x) = ϕ(x) − ψ(x) . ’®£¤ x|ω(x)| = f (τ, ϕ(τ )) dτ − f (τ, ψ(τ )) dτ x0xx |f (τ, ϕ(τ )) dτ − f (τ, ψ(τ ))| dτ L |ω(τ )| dτ.x0x0’ ª ª ª B = 0, â® ¨§ ¢â®à®© ç á⨠«¥¬¬ë ƒà®­ã®«« á«¥¤ã¥â, çâ® ω(x) ≡ 0 ⇒ ϕ(x) ≡ ψ(x).

Характеристики

Список файлов книги