Продолжаемые и непродолжаемые решения дифур первого порядка (1187973), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

à®¨§¢®¤­ ïà¥è¥­¨ï ϕ (x) ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥© ­ ¨­â¥à¢ «¥ (a, b) ¨ ϕ (x) = f (x, ϕ(x)). ’ ª ª ª f (x, ϕ(x)) ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï ­ ®â१ª¥ [a, b], â® áãé¥áâ¢ãî⠯।¥«ë1lim y(x) = B ∃ ρ > 0, ∀ x ∈ (b − ρ, b) y(x)x→b−0∃δ > 0∀ x1 , x2δ= ε .â ª®¥, ç⮄®áâ â®ç­® ¢§ïâìâ ª¨å, çâ®®¯à¥¤¥«¥­®;∀ε > 0|x2 − x1 | < δ , |y(x2 ) − y(x1 )| < ε.M%lim ϕ (x) =x→b−0=lim f (x, ϕ(x)) = f (b, ϕ(b)),x→b−0lim f (x, ϕ(x)) = f (a, ϕ(a)).x→a+0lim ϕ (x) =x→a+0‚ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì ¯à®¨§¢®¤-a ¨ á«¥¢ ¢ â®çª¥ b.c ∈ (a, b), ⮠ᮣ« á­® «¥¬¬¥­ë¥ á¯à ¢ ¢ â®çª¥…᫨ â®çª ∈ [a, b]1 ¤«ï «î¡®£®x∈á¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢­¥­¨¥„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ˆ§ ä®à¬ã« (6), (8) á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ­ ®â१®ª [a, b], ¯à¨ç¥¬ϕ(b) = B , ϕ (b) = f (b, B).

 áᬮâਬ ­¥¯à¥à뢭ãî äã­ªæ¨îϕ(x), x ∈ [a, b),ψ(x) =(9)ϕ1 (x), x ∈ [b, b1 ),xf (t, ϕ(t)) dt.ϕ(x) = ϕ(c) +c’ ª ª ª äã­ªæ¨ïϕ(x)­¥¯à¥à뢭 ­ ®â१ª¥bϕ(b) = ϕ(c) +[a, b],â®b−hf (t, ϕ(t)) dt,ϕ(b − h) = ϕ(c) +cf (t, ϕ(t)) dt.c‚ëç¨â ï ¨§ ¯¥à¢®£® à ¢¥­á⢠¢â®à®¥, ¯®«ã稬 ᮣ« ᭮⥮६¥ ® á।­¥¬bϕ(b) − ϕ(b − h) =f (t, ϕ(t)) dt = f (ξ, ϕ(ξ))h,ξ ∈ (b − h, b).b−hŽâªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ®ϕ(b) − ϕ(b − h)= lim f (ξ, ϕ(ξ)) = f (b, ϕ(b)).h→+0ξ→b−0hϕ (b − 0) = lim(7)€­ «®£¨ç­® ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ®ϕ (a+0) = limh→+0ϕ(a + h) − ϕ(a)= lim f (ξ, ϕ(ξ)) = f (a, ϕ(a)).ξ→a+0h(8)ϕ(x), çâ® ¥ñ ¯à®¨§¢®¤­ ï á«¥¢ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ â®çª¥ b ¨ ­¥¯à¥à뢭 á«¥¢ ¢ b, â ª¦¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥ñ ¯à®¨§¢®¤­ ï á¯à ¢ ¢ â®çª¥ a ¨­¥¯à¥à뢭 á¯à ¢ ¢ â®çª¥ a (â ª ª ª ϕ (a + 0) = f (a, ϕ(a)) ¨ϕ (b − 0) = f (b, ϕ(b)), f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï ϕ(x) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï (1) ­ ®â१ª¥ [a, b]. Ž¯¨á ­­ ï ¢ëè¥ ¯à®æ¥¤ãà ¯à®¤®«¦¥­¨ï à¥è¥’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®ª § «¨ ¤«ï ä㭪樨­¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 ⥮६¥.&’¥®à¥¬ 2. ãáâì äã­ªæ¨ï f (x, y) ¢ ®¡« áâ¨ Ω ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 1, ϕ(x) | à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1), ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ­ ¯à®¬¥¦ã⪥ [a, b). …᫨ áãé¥áâ¢ã¥âª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« ξ→b−0lim ϕ(x) = B ¨ â®çª (b, B) ∈ Ω, â® à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ¢¯à ¢®.£¤¥ ϕ1 (x) ¥áâì à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1) á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ϕ1 (b) = B ((b1 , ϕ1 (b1 )) ∈ Ω). ‘®£« á­® ä®à¬ã« ¬ (7), (8) ¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 f (x, y) ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ψ(x) á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ¢ â®çª¥ x = b à ¢­ë.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,®­ | ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ¨ ï¥âáïà¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï (1). ”ã­ªæ¨ï ψ(x) ∈ C 1 ([a, b1 )) ¨ ï¥âáï ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ à¥è¥­¨ï ϕ(x) ¢¯à ¢® § ¯à®¬¥¦ã⮪ [a, b).‚ ®á­®¢¥ í⮣® ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¦¨â ý᪫¥©ª þ ¤¢ãå à¥è¥­¨© ϕ(x), x ∈ [a, b) ¨ ϕ1 (x), x ∈ [b, b1 ) ¢ â®çª¥ x = b. ’ ª®©á¯®á®¡ ¯à®¤®«¦¥­¨ï à¥è¥­¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ïï¥âáï ª®­áâàãªâ¨¢­ë¬ ¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï.„®ª ¦¥¬ ⥯¥àì ⥮६ã 2, ®á­®¢ë¢ ïáì ­ ¨­â¥£à «ì­®¬ãà ¢­¥­¨¨ (4).

 áᬮâਬ äã­ªæ¨î (9) ¨ äã­ªæ¨îxφ(x) = ϕ(a) + f (t, ψ(t)) dt.(10)aˆ§ (6) ¨ «¥¬¬ë 1 á«¥¤ã¥â, çâ® φ(x) = ϕ(x) = ψ(x), ª®£¤ x ∈ [a, b). à¨ x ∈ [b, b1 ) ¨¬¥¥¬bφ(x) = ϕ(a) +xf (t, ϕ(t)) dt +af (t, ϕ1 (t)) dt =bx=B+f (t, ϕ1 (t)) dt = ϕ1 (x) = ψ(x).b'‡¤¥áì ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ⥬, çâ® äã­ªæ¨ï ϕ(x) (10) ­¥¯à¥à뢭 ï ¨ ϕ(b) = B . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ (9), ¤«ï «î¡®£® x ∈ [a, b1 ) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ¨­â¥£xà «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï ψ(x) = ψ(a) + f (t, ψ(t)) dt, §­ ç¨â ¨aà¥è¥­¨¥¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï (1). ‘㦥­¨¥ à¥è¥­¨ï ψ(x), x ∈ [x, b1 ) ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ [a, b) ᮢ¯ ¤ ¥â á à¥è¥­¨¥¬ϕ(x). ‘®£« á­® ¤ ­­®¬ã ®¯à¥¤¥«¥­¨î ψ(x) ¥áâì ¯à®¤®«¦¥­¨¥à¥è¥­¨ï ϕ(x) ¢¯à ¢®.

€­ «®£¨ç­® ¬®¦­® ¯®áâநâì ¯à®¤®«¦¥­¨¥ à¥è¥­¨ï ¢«¥¢®. â® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤®áâ â®ç­® ¯à®á⮥, ­® ®­®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, áªàë¢ ¥â ý᪫¥©ªãþ à¥è¥­¨©.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ à¥è¥­¨¥ ®¯à¥¤¥«¥­® ­ ®â१ª¥ ¢ ®¡« á⨠Ω, â® ®­® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­®ª ª ¢«¥¢®, â ª ¨ ¢¯à ¢®. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ­¥¯à®¤®«¦ ¥¬®¥ à¥è¥­¨¥ ¢ ®¡« áâ¨ Ω ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­® ⮫쪮 ­ ¨­â¥à¢ «¥, ª®â®àë© ­¨¦¥ ¡ã¤¥â ®¡®§­ ç âìáï (T1, T2). …£® ­ §ë¢ îâ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ ¨­â¥à¢ «®¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï.

¥¯à®¤®«¦ ¥¬®¥à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (5) ®¯à¥¤¥«¥­® ­ ¨­â¥à¢ «¥− π2 , π2.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.ãáâì M ¨ N | ¤¢ ¬­®¦¥á⢠, § ¤ ­­ë¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥âਪ®©. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨îà ááâ®ï­¨¥ ρ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨, ®¡®§­ ç ¥¬®¥ ª ª dist(M, N ), à ¢­®ρ = dist(M, N ) =inf|P Q|.P ∈M,Q∈N…᫨ ¬­®¦¥á⢠M ¨ N § ¬ª­ãâë¥ ¨ M ∩ N = ∅, â® ¢¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ­ «¨§¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ρ > 0.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1. …᫨ M ⊂ N , â® à ááâ®ï­¨¥ ρ¬¥¦¤ã ¬­®¦¥á⢮¬ M ¨ £à ­¨æ¥© ∂N ®¡« á⨠N ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­ «®£¨ç­®ρ = dist(M, ∂N ) =infP ∈M,Q∈∂N|P Q|’¥®à¥¬ 3. ãáâì ¢ ®¡« áâ¨ Ω äã­ªæ¨ï f (x, y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 1 áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2).

ãáâì â ª¦¥ Ω0 | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ®£à ­¨ç¥­­ ï ®¡« áâì â ª ï, çâ® Ω0 ⊂ Ω. ’®£¤ ¤«ï «î¡®©â®çª¨ (x0 , y0 ) ∈ Ω0 à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1) ϕ(x) á ­ ç «ì­ë¬ãá«®¢¨¥¬ ϕ(x0 ) = y0 ¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨âì ¢ ®¡¥ áâ®à®­ë ¤® ¢ë室 ­ £à ­¨æã ∂Ω0 .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ®áª®«ìªã Ω0 | § ¬ª­ãâ ï ®¡« áâì, â® à ááâ®ï­¨¥ ρ ®â ­¥ñ ¤® £à ­¨æë ∂Ω ¯®«®¦¨â¥«ì­®.ãáâì D | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ®¡« áâ¨ Ω \ Ω0 , à ááâ®ï­¨¥ª ¦¤®© ¨§ ª®â®àëå ¤® § ¬ª­ã⮩ ®¡« á⨠Ω0 ­¥ ¯à¥¢®á室¨âρ2 (¥á«¨ ρ = +∞, â® ¢ ª ç¥á⢥ à ááâ®ï­¨ï ¡¥à¥âáï 1).  áΩ1 = Ω0 ∪ D.

Žç¥¢¨¤­®, Ω1 | § ¬ª­ãâ ïΩ0 ⊂ Ω1 ⊂ Ω. ”ã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ Ω1 ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ®£à ­¨ç¥­ ¢ ­¥©: |f (x, y)| M .…᫨ (x0 , y0 ) ∈ Ω0 , ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« a ¨ b 㤮¢«¥â¢®á¬®âਬ ¬­®¦¥á⢮®£à ­¨ç¥­­ ï ®¡« áâì ¨2a2 + b2 ρ4 , â® § ¬ª­ãâë© ¯àאַ㣮«ì­¨ª|x−x0 | a, |y −y0 | b ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ®¡« á⨠Ω1 . ®«®¦¨¢ h =b ), ¯®«ã稬 § ¬ª­ãâë© ¯àאַ㣮«ì­¨ª |x − x | h,= min(a, M0|y − y0 | b, ª®â®àë© á®¤¥à¦¨âáï ¢ ®¡« á⨠Ω1 ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â¢ë¡®à â®çª¨ (x0 , y0 ) ∈ Ω0 (­ ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¢§ïâì ¯àאַãρρM£®«ì­¨ª á a = √ 2¨ b = √ 2. ’®£¤ ¤«ï «î¡®©àïîâ ­¥à ¢¥­áâ¢ã2 M +1â®çª¨(x0 , y0 ) ∈ Ω0¢¥«¨ç¨­ 2 M +1√ ρ).

ˆ§ ⥮६ë 12 M2 + 1h =x0 ,[x0 − h, x0 + h]. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ªãî ¡ë ¬ë ­¨ ¢§ï«¨ â®çªã (x0 , y0 ) ∈ Ω0 , à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«¥­® ­ ®â१ª¥ ¤«¨­ë 2h. ‚®§ì¬ñ¬ ¤ «¥¥ â®çªãá ª®®à¤¨­ â ¬¨ x1 = x0 + h, y1 = ϕ(x0 + h). …᫨ ®­ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ®¡« á⨠Ω0 , â® ¯à®¤®«¦¨¬ à¥è¥­¨¥ ¢¯à ¢® ­ ®â१®ªρ¤«¨­ë h. ’ ª ª ª Ω0 ®£à ­¨ç¥­­ ï ®¡« áâì ¨ h < , â®, ¯à®2á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ á ­ ç «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨y0áãé¥áâ¢ã¥â ­ ®â१ª¥¤®«¦ ï íâã ¯à®æ¥¤ãàã, ¬ë ­ ­¥ª®â®à®¬ è £¥ ¯®¯ ¤ñ¬ «¨¡®­ £à ­¨æã∂Ω0 ,«¨¡® ¢ ®¡« áâìΩ1 \ Ω0 .â® ®§­ ç ¥â, ç⮨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à¥è¥­¨îϕ(x),¯¥à¥-∂Ω0 .

Žá®¡® ®â¬¥â¨¬, çâ® ®­ ®áâ ñâáï ¯à¨í⮬ ¢ ®¡« á⨠Ω1.á¥çñâ £à ­¨æ㇠¬ ¥ ç ­ ¨ ¥2. à¨¬¥­¨¬ ¯à®æ¥¤ãà㠯த®«¦¥­¨ï,¨á¯®«ì§®¢ ­­ãî ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 3, ª à¥è¥­¨î § ¤ ç¨ Š®è¨ (5) ­ ®â१ª¥[−h, h].‚®§ì¬ñ¬ â®çªã á ª®®à¤¨-­ â ¬¨ (h, ϕ(h)) § ­ ç «ì­ãî. ‘®£« á­® ⥮६¥ 1 à¥è¥­¨¥¡ã¤¥â áãé¥á⢮¢ âì ¢ § ¬ª­ã⮬ ¯àאַ㣮«ì­¨ª¥Q = {(x, y) : |x − h| h1 , |y − ϕ(h)| b}.b‡¤¥áì h1 = min 1,, h1 < h. à®¤®«¦ ï2(ϕ(h) + b) + 1íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ¯®«ã稬 ­ n-®¬ è £¥, çâ® hn+1 < hn ¤«ï«î¡®£® n ∈ N ¨ hn → 0 ¯à¨ n → ∞, â ª ª ª ϕ(x) | ¬®­®â®­­®¢®§à áâ îé ï äã­ªæ¨ï.

‚ ®â«¨ç¨¥ ®â ⥮६ë 3 §¤¥áì ¤«¨­ë®â१ª®¢ ¥ ­® hn ¯à¨ n → ∞ áâ६ïâáï ª ­ã«î. à¨ í⮬nhk → π2 ¯à¨ n → ∞.ïá­®, çâ®k=1‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3. ‚®§ì¬¥¬ ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ®¡« á⨠Ω1 ,∞Ωn = ΩΩ2 , . . . , Ωn , . . . â ª¨¥, çâ® Ωn ⊂ Ωn+1 ¤«ï ∀ n ∈ N ¨n=1(ᬮâਠ¯à¨«®¦¥­¨¥). ’®£¤ ᮣ« á­® ⥮६¥ 3 ¨­â¥£à «ì­ ïªà¨¢ ï, ïîé ïáï £à 䨪®¬ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2),¢ á«ãç ¥ ρ < ∞ ¬®¦¥â ¯à¨¡«¨§¨âìáï ª £à ­¨æ¥ ∂Ω ­ «î¡®¥áª®«ì 㣮¤­® ¬ «®¥ à ááâ®ï­¨¥. ‚®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á, ª ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª £à ­¨æ¥ ∂Ω ¨ çâ®¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢ ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥.’¥®à¥¬ 4.

ãáâì ¢ ®¡« áâ¨ Ω äã­ªæ¨ï f (x, y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 1. ’®£¤ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0, y0) ∈ Ωà¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2) ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­®¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ­ ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨­â¥à¢ « áãé¥á⢮¢ ­¨ï (T1, T2). à¨ í⮬ à¥è¥­¨¥ ϕ(x) áâ६¨âáï ª £à ­¨æ¥∂Ω ®¡« áâ¨ Ω ¯à¨ x → T2 ¨ x → T1 .“⢥ত¥­¨¥ ýϕ(x) áâ६¨âáï ª £à ­¨æ¥ ∂Ω ®¡« áâ¨ Ω®§­ ç ¥â, çâ® ¯à¨ x áâ६ïé¨åáï ª T2 â®çª¨(x, ϕ(x)) ¯®ª¨¤ îâ «î¡ãî § ¬ª­ãâãî ®£à ­¨ç¥­­ãî ®¡« áâì,¯à¨­ ¤«¥¦ éãî Ω.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¢¢¥¤ñ­­ãî ¢ëè¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®£à ­¨ç¥­­ëå ®¡« á⥩ {Ωn }∞n=1 â ª¨å, ç⮯ਠx → T2 þΩn ⊂ Ωn+1 ¤«ï ∀ n ∈ N ¨∞n=1Ωn = Ω.

ˆ§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 3 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®© ®£à ­¨ç¥­­®© ®¡« á⨠Ωn­ ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«® hn , çâ® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2) áãé¥áâ¢ã¥â ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0, y0) ∈ Ωn ­ ®â१ª¥ [x0 − h, x0 ++ hn ] ®¤­®© ¨ ⮩ ¦¥ ¤«¨­ë.‚®§ì¬¥¬ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2) ϕ(x), ®¯à¥¤¥«ñ­­®¥­ ¨­â¥à¢ «¥ (a1, b1). …᫨ ®­ ­¥ ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ ¨­â¥à¢ «®¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ (a1 = T1, b1 == T2 . C¬.

§ ¤ ç㠊®è¨ (5)), â® à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì¯à®¤®«¦¥­® ­ ®â१®ª [a1, b1] (⥮६ 2).ãáâì n1 â ª®¥ ¡®«ì讥 ç¨á«®, çâ® â®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨(b1 , ϕ(b1 )) ∈ Ωn . ’®£¤ à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨âì­ ®â१®ª [b1, b1 + hn ]. …᫨ â®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (b1 ++ hn , ϕ(b1 + hn )) ∈ Ωn , â® ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­®¤ «ìè¥ ­ ®â१®ª [a1, b2] ¤«¨­ë hn . à®¤®«¦ ï íâ®â ¯à®æ¥áá,¬ë ¯®«ã稬 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ k1 ®â१®ª [a1, b2], £¤¥ b2 = b+k1hn¨ â®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (b2, ϕ(b2)) ∈ Ωn (­® ᮣ« á­® ⥮६¥ 3(b2 , ϕ(b2 )) ∈ Ω).‚®§ì¬¥¬ ⥯¥àì â ª®¥ n2, ç⮡ë (b2, ϕ(b2)) ∈ Ωn . ’®£¤ ,®¯ïâì ¢ ᨫã ⥮६ë 3, áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ç¨á« hn ¨ k2, çâ®à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ­ ®â१®ª [a1, b3], £¤¥b3 = b2 + k2 hn ¨ â®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (b3 , ϕ(b3 )) ∈ Ωn (­®(b3 , ϕ(b3 )) ∈ Ω).®¢â®àïï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ¯®«ã稬 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì楫ëå ç¨á¥« n1 < n2 < .

. . ¨ ç¨á¥« b1 < b2 < . . . â ª¨å, çâ®à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ [a1, T2),lim bi . à¨ç¥¬ (bi , ϕ(bi )) ∈ Ωn . …᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫죤¥ T2 = i→∞­®áâì {bi}∞i=1 ¢ ®¡« áâ¨ Ω ­¥ ®£à ­¨ç¥­ , â® T2 = ∞, ¨ ¯à¨ ¯à®¤®«¦¥­¨¨ à¥è¥­¨ï ¢¯à ¢® â®çª (x, ϕ(x)) ®¡ï§ ⥫쭮 ¯®ª¨­¥â«î¡ãî § ¬ª­ãâãî ®£à ­¨ç¥­­ãî ®¡« áâì Ωn ⊂ Ω.

…᫨ ¦¥®­ ®£à ­¨ç¥­ , â® ¯à¥¤¥« ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{bi}∞i=1 áãé¥áâ¢ã¥â, â ª ª ª ®­ ï¥âáï ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ î饩. ‚ १ã«ìâ ⥠¬ë ¯®áâந«¨ à¥è¥­¨¥ ϕ(x) ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ­ ¯à®¬¥¦ã⪥[a1 , T2 ), t2 < +∞. ‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì â®ç¥ªá ª®®à¤¨­ â ¬¨ (b1, ϕ(b1)), (b2, ϕ(b2)), . . . , (bn, ϕ(bn)), . . . ¨«¨­¥ ®£à ­¨ç¥­ , ¨«¨ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«ì­ãî â®çªã (¨«¨ â®çª¨) ­ £à ­¨æ¥ ∂Ω. „¥©á⢨⥫쭮, ¯à¨ x → T2 ¨¬¥¥¬ dist(Q, ∂Ω) →→ 0, â ª ª ª ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ­¨ª ª ï ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª ¯®211111112222i!á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (b1 , ϕ(b1 )), (b2 , ϕ(b2 )), .

Характеристики

Список файлов книги