Продолжаемые и непродолжаемые решения дифур первого порядка (1187973), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

‚ ¯«®áª®á⨠R2 ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢­¥­¨ï (11) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 1 áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨¥¤¨­á⢥­­®áâ¨. ‡­ ç¨â, ç¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã ¯«®áª®á⨠R2¯à®å®¤¨â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï.”ã­ªæ¨ï y = 0, x ∈ (−∞, +∞) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï (11). áᬮâਬ á­ ç « á«ãç © y > 0. “à ¢­¥­¨¥ (11) áâ ­®¢¨âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (11*). ‚ᥠ¥£® à¥è¥­¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤y1 = (α − 1)11−α(C1 − x)11−α,C1 − x > 0,1< 0,1−αy1 > 0.(14)y 1−αà¨ y0 > 0, x0 ∈ R1 ¨ §­ 祭¨¨ C1 = x0 + α0− 1 à¥è¥­¨¥ (14)㤮¢«¥â¢®àï¥â ­ ç «ì­®¬ã ãá«®¢¨î y1 (x0 ) = y0 . à¨ x → C1(x < C1 ) ®­® áâ६¨âáï ª +∞. ‚¥à⨪ «ì­ ï ¯àï¬ ï x = C1ï¥âáï ᨬ¯â®â®© à¥è¥­¨ï (14).

®á«¥¤­¥¥ ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì¯à®¤®«¦¥­® ¢¯à ¢® § â®çªã x = C1 ¨ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ ¨­â¥à¢ «®¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï ¡ã¤¥â (−∞, C1 ), £¤¥ T1 = −∞,T2 = C1 . à¨ x → C1 ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ïà¥è¥­¨î (14), ª®â®à®¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­ ç «ì­®¬ã ãá«®¢¨î (2),¯à¨ ¢®§à áâ ­¨¨ x ¢ë室¨â ¨§ «î¡®£® ¯àאַ㣮«ì­¨ª ΩL â ª®£®, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«î祭¨¥ (x0 , y0 ) ∈ ΩL (á¬.

¨á. 2).à¨ y < 0 ãà ¢­¥­¨¥ (11) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤y = (−y)α(11∗∗ )‚ᥠ¥£® à¥è¥­¨ï ®¯¨áë¢ îâáï ä㭪樥©11y2 = −(α − 1) 1−α (x − C2 ) 1−α ,x − C2 > 0,y < 0.(15)¥è¥­¨¥ (15) ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ¢«¥¢® § â®çªãx = C2 . ‚¥à⨪ «ì­ ï ¯àï¬ ï x = C2 ï¥âáï ᨬ¯â®â®©à¥è¥­¨ï (15). Œ ªá¨¬ «ì­ë¬ ¨­â¥à¢ «®¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï ¡ã¤¥â ¨­â¥à¢ « (C2 , +∞), â.¥.

T1 = C2 , T2 = +∞.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, १ã«ìâ âë ¯ã­ªâ 2) ¯®«­®áâìî ¯®¤â¢¥à¦¤ îâ ⥮६ã 5, â ª¦¥ ⥮६ë 3 ¨ 4.3) ãáâì ⥯¥àì α = 0. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® y = 0 (®¯¥à æ¨ï 00 ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ ). “à ¢­¥­¨¥ (11) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ y = 1,y = 0. …£® à¥è¥­¨ï ¯à¨ y > 0 ®¯¨áë¢ îâáï ä㭪樥© y == x + C , x + C > 0. à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ C à¥è¥­¨¥ ­¥ ¬®¦¥â¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ¢«¥¢® § â®çªã x = −C . Œ ªá¨¬ «ì­ë¬ ¨­â¥à¢ «®¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï ¡ã¤¥â ¨­â¥à¢ « (−C, +∞).€­ «®£¨ç­® ¯à¨‡¤¥áì T1 = −C , T2 = +∞, lim y(x) = 0.y < 0.x→T1Š à⨭ ¯®¢¥¤¥­¨ï ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå ª ç¥á⢥­­®¯®¤®¡­ á«ãç î 1).α = 1. â®â á«ãç © ¯®¤¯ ¤ ¥â ¯®¤ ⥮६ã 5.y = 0, x ∈ (−∞, +∞) | à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (11):y = |y|.

à¨ y > 0 à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11) ®¯¨áë¢ îâáïxä㭪樥© y = Ce , C > 0, ¯à¨ y < 0 | ä㭪樥© y =−x= −Ce , C > 0. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢á¥ à¥è¥­¨ïãà ¢­¥­¨ï (11) ¯à¨ α = 1 ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­ë ­ ¨­â¥à¢ «(−∞, +∞). ‡¤¥áì á«¥¤ã¥â ®¡à â¨âì ¢­¨¬ ­¨¥ ­ á«¥¤ãîé¨©ä ªâ: äã­ªæ¨ï |y| ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï ¯à¨ y = 0. Ž¤­ ª®,4) ãáâì”ã­ªæ¨ï®­ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ . ®í⮬ã ç¥à¥§ ª ¦¤ãîâ®çªã ¯«®áª®áâ¨R2¯à®å®¤¨â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨-¢ ï.5)  áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, á«ãç ©0 < α < 1.à ¢ ï ç áâìãà ¢­¥­¨ï | ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®© â®çª¨(x0 , y0 ) ∈ R2à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ áãé¥áâ¢ã¥â á®-£« á­® ⥮६¥ ¥ ­® (®­ ¡ã¤¥â ¤®ª § ­ ­¨¦¥).¯®«®á¥|y| < ε, ε > 0äã­ªæ¨ï|y|Ꭴ­ ª®, ¢­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®-¢¨î ‹¨¯è¨æ (®­ â ª¦¥ ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¯à¨y = 0).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥â¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ á ­ ç «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨ ¢ â®çª å (x0, 0), x0 ∈∈ R. Š 祬ã íâ® ¯à¨¢®¤¨â?”ã­ªæ¨ïy = 0, x ∈ (−∞, +∞)ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥-­¨ï (11).ãáâìy > 0.‚ᥠà¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11*) ®¯¨áë¢ îâáïä㭪樥©11y1 = (1 − α) 1−α (x − C1 ) 1−α ,”ã­ªæ¨ïy1 (x)x − C1 > 0,y > 0.(16)(16) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­ ­ ¯à®¬¥¦ã-⮪ [C1 , +∞). …ñ ¯à®¨§¢®¤­ ï á¯à ¢ ¢ â®çª¥ x = C1 à ¢­ ­ã«î.…᫨ y < 0, â® ¢á¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11**) ®¯¨áë¢ îâáïä㭪樥©11y2 = −(1 − α) 1−α (C2 − x) 1−α ,C2 − x > 0,y<0(17)”ã­ªæ¨ï y2 (x) (17) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­ ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ (−∞, C2 ].

…ñ ¯à®¨§¢®¤­ ï á«¥¢ ¢ â®çª¥ x = C2 à ¢­ ­ã«î.‘®áâ ¢¨¬ ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­yæ¨à㥬ãî äã­ªæ¨î⎧⎨ y2 (x), (−∞, C2 ];x ∈ [C2 , C1 ],y(x) = 0,⎩(x),[Cyx11 , +∞).C2 0C1C2 < C1 ;Ž­ ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï (11), ª®â®à®¥ ­ §ë¢ ¥âáï á®áâ ¢­ë¬ (¨«¨ ª®¬¯®§¨æ¨®­­ë¬).Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡®¥ à¥è¥­¨¥ y2 (x) (17) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ¢¯à ¢® ­ ¢¥áì ¨­â¥à¢ « (−∞, +∞) ¡¥áª®­¥ç­ë¬ ç¨á«®¬ ᯮᮡ®¢.

‹î¡®¥ à¥è¥­¨¥ y1 (x) (16) â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì¯à®¤®«¦¥­® ¢«¥¢® ­ ¢¥áì ¨­â¥à¢ « (−∞, +∞) ¡¥áª®­¥ç­ë¬ç¨á«®¬ ᯮᮡ®¢.…᫨ ¢§ïâì â®çªã (x0 , y0 ), y0 < 0, â® ç¥à¥§ ­¥¥ ¯à®å®-¨á. 3¤¨â ¡¥áª®­¥ç­® ¬­®£® (ª®­â¨­ãã¬) ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå ¢ R2 . ‚ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®© ¥¥ ®ªà¥áâ­®á⨠ç¥à¥§ ­¥¥¯à®å®¤¨â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï, ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ª®â®à®© ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâì y > 0 ¡ã¤¥â ­¥¥¤¨­á⢥­­ë¬.â® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ¢ «î¡®© ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®©®ªà¥áâ­®á⨠¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨ (x0 , 0), x0 ∈ R ç¥à¥§­¥¥ ¯à®å®¤¨â ¡¥áª®­¥ç­® ¬­®£® ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâì à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ­ àãè ¥âáï.Žâ¢¥â: α ∈ (0, 1].22‡ ¤ ç 2. „®ª § âì, çâ® à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ïy = x3 − y 3 ,(x, y) ∈ R2á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬(18)(19) ) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ [x0, +∞) ¯à¨ «î¡®¬ x0;¡) ­® ­¥ ª ¦¤®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ (−∞, x0]. ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. ’ ª ª ª ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢­¥­¨ï (18) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢ «î¡®© Ω ⊂ R2 ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 1 áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨, â® ç¥à¥§ «î¡ãî â®çªã (x0, y0) ∈ R2¯à®å®¤¨â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï.

„ ­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥ ¨­â¥£à¨àã¥âáï ¢ ª®­¥ç­®¬ ¢¨¤¥. ®í⮬㠯ਠ¥£®y(x0 ) = y0¨§ã祭¨¨ ¡®«ìèãî à®«ì ¨£à îâ â¥®à¥¬ë ¯à®¤®«¦¥­¨ï¨ ª ç¥á⢥­­ë© ­ «¨§ ¯®¢¥¤¥­¨ï ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå. ) ®ª ¦¥¬ á­ ç « , çâ® «î¡®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2)¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥­® ¢¯à ¢® ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ [x0, +∞).Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ R− ®¡« áâì, ¢ ª®â®à®© x − y < 0, ç¥à¥§ R+ ®¡« áâì, £¤¥ x − y > 0.

‚ R− ¯à®¨§¢®¤­ ï à¥è¥­¨ïãà ¢­¥­¨ï (18) | y < 0, R+ y > 0. ãáâì (x0, y0) ∈ R−. áᬮâਬ ABC (á¬. ¨á. 4), ¢ ª®â®à®¬ â®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (x0, y0) ®¡®§­ 祭 A, â®çª¨ B ¨ C «¥¦ â ­ ¯àאַ©y = x, áâ®à®­ë AB Ox ¨ AC Oy .  ¨á. 4 ­ ®â१ª åAB ¨ AC ¨§®¡à ¦¥­ ­ ª«®­ ¯¥à¥á¥ª îé¨å ¨å ¨­â¥£à «ì­ëåªà¨¢ëå. ‚ ᨫã ⥮६ë 1 à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ á ­ ç «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨ (x0, y0) áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï,¢ë室ïé ï ¨§ â®çª¨ A, ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ì­ë© ­ ª«®­.

à¨¢®§à áâ ­¨¨ x ®­ ­¥ ¬®¦¥â ¯¥à¥á¥çì áâ®à®­ë âà¥ã£®«ì­¨ª AB ¨ AC , â ª ª ª §­ 祭¨ï ä㭪樨 f (x, y) ª®­¥ç­ë ¢ â®çª å âà¥ã£®«ì­¨ª¥ ABC , §­ ç¨â, ª®­¥ç­ë §­ 祭¨ï ¯à®¨§¢®¤­®© ϕ(x). ®í⮬ã ᮣ« á­® ⥮६¥ ¯à®¤®«¦¥­¨ï 3®­ ¬®¦¥â ¤®á⨣­ãâì £à ­¨æë ®¡« á⨠ABC , ⮫쪮 ¯¥à¥á¥ª ï ®â१®ª BC . ’®çªã ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ®¡®§­ 稬 M .  á!ᬮâਬ ¤ «¥¥ M N K , ¢ ª®â®à®¬ â®çª N ∈ R+ , â®çª K­ ¯àאַ© x = y , ¯à¨ç¥¬ M N Ox, N K Oy , â®çª N¢ë¡à ­ ¯à®¨§¢®«ì­® (á¬. ¨á.

4).  ª«®­ ¨­â¥£à «ì­ëåªà¨¢ëå, ¯¥à¥á¥ª îé¨å áâ®à®­ë M N ¨ N K , ¨§®¡à ¦¥­ ­ ¨á. 4. ‚ R+ y > 0. ‚á«¥¤á⢨¥ í⮣® ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï, ¢ë室ïé ï ¨§ â®çª¨ M á ¢®§à áâ ­¨¥¬ x ¬®¦¥â ¢ë©â¨­ £à ­¨æã ®¡« á⨠M N K , ⮫쪮 ¤®á⨣­ã¢ ®â१ª N K .‘®£« á­® ⥮६¥ ¯à®¤®«¦¥­¨ï 3 ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨢롮à â®çª¨ N à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2) ¬®¦¥â ¡ëâì¯à®¤®«¦¥­® ¢¯«®âì ¤® x = +∞.‘«ãç ©, ª®£¤ (x0 , y0 ) ∈ R+ , ¤®ª §ë¢ ¥âáï ­ «®£¨ç­®.¡) ‚®§ì¬¥¬ â®çªã (x0 , y0 ) ∈ R− ¨ ¯à®¤®«¦¨¬ à¥è¥­¨¥ § ¤ 稊®è¨ ¢«¥¢®. à®¨§¢¥¤¥¬ ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (18) § ¬¥­ã x = −t ¨à áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥¢¤®«ì ®á¨ x ­ 1.

…ñ ¯à®¨§¢®¤­ ï à ¢­ yΓ =1. “£«®¢®©(x + 1)2ª®íää¨æ¨¥­â ª á ⥫ì­ëå ª ¨­â¥£à «ì­ë¬ ªà¨¢ë¬ ãà ¢­¥31­¨ï (18) ¢ â®çª å £à 䨪 ä㭪樨 yΓ à ¢¥­ y = x3 + x +1 .à¨ í⮬, ª ª ­¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, ¤«ï x ∈ (−1, 0], y > 0 ­ 㪠§ ­­®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥. „«ï x ∈ (−1, 0] ¨¬¥¥¬11 x3 +⇐⇒2(x + 1)(x + 1)31 0 ⇐⇒ x2 (x + 1)3 1,⇐⇒ x2 −(x + 1)3dt1,= 3dyt + y3á ­ ç «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨ (t0 , y0 ), y0 +t0 > 0. ‚ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨y + t > 0 ¯à®¨§¢®¤­ ï yt > 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á à®á⮬ tà áâ¥â ¨ y . ‘¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥­ª dt11= 3 3,3dyt +yt0 + y 3t t0 .Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬yt − t0 y0t30dz.+ z3’ ª ª ª ¨­â¥£à « ¯à¨ y → +∞ á室¨âáï, â® ¢¥«¨ç¨­ t −− t0 ¯à¨ «î¡®¬ ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¨­â¥£à «ì­®© ªà¨¢®© ®£à ­¨ç¥­ .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (18){(19) ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì¯à®¤®«¦¥­® ­ ¢¥áì ¯à®¬¥¦ã⮪ (−∞, x0 ].‚®§ì¬ñ¬ ⥯¥àì â®çªã (x0 , y0 ) ∈ R+ .

¨¦¥ ¬ë ¢ë¡¥à¥¬¥ñ â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1){(2) ­¥«ì§ï¡ë«® ¯à®¤®«¦¨âì ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ (−∞, x0 ].1 , x > −1, £à 䨪®¬ áᬮâਬ äã­ªæ¨î yΓ = − x +1ª®â®à®© ï¥âáï ­¨¦­ïï ¢¥â¢ì £¨¯¥à¡®«ë, ᤢ¨­ãâ ï ¢«¥¢®"¨á. 4. ®¢¥¤¥­¨¥ ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëåãà ¢­¥­¨ï y = x3 − y3 , (x, y) ∈ R2 .’ ª ª ª ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥ ®¡ ᮬ­®¦¨â¥«ï ¬¥­ì襥¤¨­¨æë, ⮠㣮« ­ ª«®­ ª á ⥫ì­ëå ª ¨­â¥£à «ì­ë¬ ªà¨¢ë¬ ¢ â®çª å £à 䨪 ä㭪樨 yΓ ¡®«ìè¥, 祬 㣮« ­ ª«®­ ª á ⥫ì­ëå ª á ¬®¬ã £à 䨪ã ä㭪樨 yΓ .

Характеристики

Список файлов книги