Непараметрический метод анализа рациональности биржевой статистики (1187407), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2. существует функция такая, что справедливо где - преобразование Янга функции

3. существует рационализирующая обратные функции спроса

Таким образом, возможна постановка задачи о рациональном потребителе не только через обратные функции спроса, но и двойственная ей постановка через прямые функции спроса.

1.4 Индексы Конюса-Дивизиа

Справедливо следующее:

Предложение 2 Пусть функция полезности рационализирует обратные функции спроса . Пусть (под этим обозначением здесь понимается супердифференциал функции) и , а и . Тогда , то есть индекс Конюса--Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше.

В связи с этим фактом, будем называть рассматриваемые индексы просто индексами Конюса. Данные индексы являются хорошим средством описания потребительского поведения, т.к. при их использовании мы не сталкиваемся с явлением, подобным эффекту Гершенкрона.

Справедлив следующий факт: если функция полезности рационализирует обратные функции спроса ,то индекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.

В случае, когда - дифференцируемая функция, то условие максимума (2) в _{задаче (1) принимает вид основной формулы экономических индексов:}

Таким образом, проблема построения индексов Конюса спроса и цен ( и ) сводится к поиску интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса

Индекс Дивизиа также пользуется большой популярностью в литературе по теории экономических индексов (см. [9]):

В общем случае, индекс Дивизиа зависит от пути интегрирования. Условия при которых индекс Дивизиа не зависит от пути интегрирования изучались в нескольких работах, например, в [29] и [34]. В случае рационализируемости обратной функции спроса в классе дифференцируемых функций из справедливо следующее утверждение:

Предложение 3 (см. [22]) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа вне зависимости от пути интегрирования.

Исходя из данного предложения рассматриваемые индексы будем называть индексами Конюса-Дивизиа.

1.5 Свойства преобразования Янга

В [1] установлено, что преобразование Янга переводит функции из класса в функции из класса . Также, если рассмотреть любую функцию и функцию , связанную с ней формулой , то справедливо двойственное соотношение:

Следовательно, преобразование Янга иновлютивно на классе .

Как известно, все функции класса являются положительно-однородными _{первой степени. Любая такая функция может быть однозначно задана своей поверхностью} уровня. Т.е. функции и однозначно задаются поверхностями _{и соответственно. В следующем предложении сформулирован геометрический смысл преобразования Янга:}

_{Предложение 4} ([19]) Если функция и , то

Т.к. переход к основной формуле теории экономических индексов предполагает дифференцируемость функции полезности , был выделен отдельный класс дифференцируемых функций, на котором преобразования Янга также инволютивно.

Определение 2 Назовем классом множество функций которые непрерывны на и удовлетворяют на следующим свойствам:

1) для любого

2)

3) для любого и любого

4) для любого

5) строго квазивогнута;

6) для любого задача минимизации имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение на .

1.6 Условия рационализируемости в гладком случае

Определяя индексы Конюса-Дивизиа в разделе 1.4, мы использовали предположение о существовании функции полезности. Рассмотрим условия, при которых данная функция существует.

Следующая теорема даёт условия рационализируемости обратных функций спроса в классе . Пусть - множество

Теорема 1 ([13], [17], [33]) Пусть обратные функции спроса непрерывно дифференцируемы на Для того чтобы функции были рационализируемы в классе функций полезности необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) для любого

2) (условия отделимости) для любых произвольного и любого справедливо соотношение:

3) для произвольных таких что ни при каком выполнено неравенство:

4) (условия интегрируемости Фробениуса) для любых различных чисел и любого справедливо равенство:

5) для любого справедливо соотношение:

Условия 1 и 5 носят технический характер и связаны с выбором класса функции полезности . Условие 2 называется условием отделимости и выражает полноту номенклатуры товаров. Данное условие будет подробнее рассмотрено в разделе «Дерево экономических индексов». Условие 3 носит название усиленной однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения и выражает эффект Гершенкрона.

Условие 3 следует из закона Хикса, согласно которому для любого такого, что справедливо:

Известно (см. [17]) что условие 3 сохраняется при малых возмущениях в норме , т.е. оно является условием типа неравенства. Условие 4, наоборот, нарушается при аналогичных возмущениях и является условием типа равенства. Данное условие носит названия условия Фробениуса и выражает собой критерий существования интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса Нарушение данного условия при малых возмущениях относительно нормы носит название проблемы интегрируемости.

Данная проблема в экономической литературе впервые была сформулирована Дж.Антонелли [33] в 1886. Исследованием проблемы интегрируемости занимались многие экономисты XX века, в т.ч. Дж.Хикс, В.Парето, К.Эрроу и др. В результате их усилий была создана теория выявленного предпочтения, которая позволила переформулировать условия рационализируемости в удобной для экспериментальной проверки форме. Данная теория будет подробнее описана в главе 2.

1.7 Дерево экономических индексов

Обратимся к вопросу сегментации финансовых рынков. Полная совокупность различных товаров на международных рынках достигает размера в единиц. Безусловно, данное многообразие товаров распадается на группы взаимодополняемых-взаимозаменяемых единиц. Пропорции спроса на эти товары определяются пропорциями между ценами на них. Такие группы товаров принято называть отделимыми.

Определение 3 Будем говорить, что группа товаров отделяется от остальной номенклатуры товаров если перестановкой компонент вектор товаров можно представить в виде и функция полезности представляется в виде суперпозиции

В [4] показано следующее: если функции и непрерывно дифференцируемы, то обратные функции спроса на товары из группы удовлетворяют условию отделимости в следующей виде:

Предложение 5 Для любых выполнено:

где – обратная функция спроса на -ый товар из выделенной группы товаров .

_Доказательство. Рассмотрим задачу максимизации функции полезности при ограничениях

Тогда пропорция цен равна:

Аналогично из свойств дифференцирования:

Итого, мы показали, что если группа является отделимой, то выполнены условия отделимости Фробениуса.

Всю номенклатуру товаров можно разделить на «полные» группы, для которых построение экономических индексов обосновано. Данную процедуру можно повторять рекурсивно, выявляя полные подгруппы в найденных ранее группах. Так строится дерево экономических индексов.

2 УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛИЗИРУЕМОСТИ В НЕГЛАДКОМ И ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЯХ

В главе 1 было показано, как проблема интегрируемости привела к созданию теории выяленного предпочтения, позволяющей исследовать негладкий случай. Дальнейшее изучение теории экономических индексов привело к созданию непараметрического метода построения индексов в случае торговой статистики, состоящей из дискретного набора точек.

2.1 Теория выявленного предпочтения

В [37] П. Самуэльсоном было введено понятие выявленного предпочтения:

Определение 4 Будем говорить, что выявлено предпочтительнее если выполняется неравенство

Отношение выявленного предпочтения можно проинтерпретировать следующим образом. Если _{, то при ценах потребитель мог приобрести как набор , так и набор , но тот факт, что был приобретён именно набор , и озночает, что выявленно предпочтительнее .}

П.Самуэльсоном было сформулировано следующее свойство, дающее в двумерном случае (т.е. при ) необходимое и достаточное условие рационализируемости _{обратных функций спроса в классе .}

Слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Если и и то и

Характеристики

Список файлов ВКР