Непараметрический метод анализа рациональности биржевой статистики (1187407), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

_1. , т.е. максимальный элемент временного показателя нерациональности не меньше показателя нерациональности .

_{2. , т.е. минимальный элемент временного показателя} нерациональности не больше показателя нерациональности .

_{3. Если множество временных точек торговой статистики разбито на конечное число непересекающихся подмножеств (назовём их подстатистиками), т.е. , где - множества временных точек, -временной показатель нерациональности исходной торговой статистики, а - вектор, полученный объединение временных показателей нерациональности подстатистик , где объединение понимается в следующем смысле: ,} то .

Доказательство.

1. Допустим противное - . Подставим в систему (6) вместо _{величины . При таком наборе параметров система тоже будет разрешима, хотя и не будет давать минимума по оптимизационному критерию. Но раз у нас все показатели нерациональности равны, то они удовлетворяют и системе (3), если положить . По} условию нахождения - минимальный параметр, который делает систему (3) разрешимой. Но, если , то это условие нарушено. Противоречие. Значит .

2. Допустим противное - . Рассмотрим ряд в котором все элементы равны . Т.к. , то и . Если все элементы ряда равны, то система (6) превращается в систему (3). Система (3) разрешима при показателе нерациональности , значит и система (6) разрешима при ряде . Но т.к. , значит . Это значит ряд не удовлетворяет критерию (6.1). Противоречие. Значит .

3. Докажем это свойство от противного, пускай . Пусть , а . получается в ходе решения системы , (3a) , а в ходе решения системы , (3b), где . Система (3a) _{содержит подсистему (3b). Если система (3a) разрешима при неком наборе параметров, то и любая её подсистема будет разрешима при том же наборе параметров.} Следовательно если в качестве параметров взять - они удовлетворяет также системе (3b). Но, раз , то , то условие не выполнено. Противоречие. Значит _.

Свойство 3 означает, что если мы разобъем торговую статистику на несколько торговых статистик по временным точкам, посчитаем для каждой полученной торговой статистики временной показатель нерациональности, соединим их в единый ряд, то любая компонента этого ряда будет не больше соответствующей компоненты временного показателя нерациональности исходной торговой статистики.

На рис.8 приведён график временного показателя нерациональности для дневной торговой статистики США за период с февраля по май 2007 года. Горизонтальной чертой отмечен показатель нерациональности торговой статистики. Видно, что свойства выполнены.

Рисунок 8.

4.3 Выявление выбросов временного показателя нерациональности

Временной показатель нерациональности неоднороден, среди его значений могут быть как отдельные выбросы, так и значения меньшие 1. Цель данного раздела – описать критерий по которому строится множество выбросов .

Пусть - исследуемая торговая статистика, рационализируемая с показателем нерациональности , - временной показатель нерациональности.

_{Разумно составлять множество} из максимальных элементов . То есть последовательный алгоритм наполнения множества выглядит следующим образом:

Алгоритм. - временной показатель нерациональности, - подмножество временного показателя нерациональности, заданное следующим образом: _.

_{1. .}

2. Выбираем максимальный элемент , где

3. Включаем данную точку в множество выбросов:

_{4. Проверка критерия остановки. Если критерий не выполнен, то переходим на пункт 2, если выполнен – завершаем алгоритм.}

_{Отдельно стоит остановиться на 4 пункте – критерии остановки. В данной работе} использовался следующий подход – заранее выбиралось число исключаемых точек. _{Точки выбирались исходя из следующего критерия: исследовалось влияние удаления} первых точек на временной показатель нерациональности. На рисунке 9 представлен _{график зависимости показателя нерациональности от текущего максимального значения} для торговой статистики бирж Nyse, Nasdaq за 2005-2010 годы, агрегированной по _{месяцам.}

Рисунок 9: Выбор порога .

Удалению подлежат первые точки, которые существенно уменьшают общий показатель нерациональности _{. Как только наступает горизонтальный участок графика , это означает, что удаление одной следующей точки существенно не меняет рациональность торговой статистики. Поэтому в данной дипломной работе выбиралось} следующее число точек - минимальное число точек, которое нужно удалить до наступления горизонтального участка графика . Как правило, эти величины составляли _{1-5 точек.}

4.4 Методика прогнозирования структуры потребительского спроса

_{Путь дана торговая статистка} , рационализируемая с показателем нерациональности _{. Рассмотрим задачу продолжения торговой статистики на новую временную точку с сохранением показателя нерациональности (более подробно данная задача прогнозирования рассматривалась в [5]).}

_{Будем рассматривать задачу в следующей формулировке. Считаем, что в новой} точке нам известен вектор цен , и требуется найти множество допустимых .

Через будем обозначать множество, состоящее из векторов , для которых торговая статистика , будучи расширенной на набор удовлетворяет однородной сильной аксиоме с параметром нерациональности .

Т.к. исходная торговая статистика была рационализируема с показателем нерациональности , то по теореме Африата-Вериана выполнено:

После добавления новой точки будем искать такие векторы , которые бы не нарушали условие интегрируемости, т.е. чтобы расширенная торговая статистика была рационализируема с тем же показателем нерациональности, что и раньше. Это означает:

Обозначим через следующие константы:

Константы легко находятся с помощью алгоритма Варшалла-Флойда. Расширенная торговая статистика должна удовлетворять следующей системе неравенств:

,

Данная система и задаёт множество допустимых прогнозов векторов . Аналогичным образом можно поставить задачу прогноза цен при известных объемах продаж. В следующем разделе мы отметим некоторые свойства данного множества.

4.5 Свойства множества прогнозов векторов спроса

_Пусть , рационализируемая с показателем нерациональности _{. Рассматривается задача прогнозирования вектора объёмов продаж при известных} векторах цен в новой точке. Пусть - множество прогнозов на векторы спроса, такое, что расширенная торговая статистика - рационализируемая с прежним показателем нерациональности _.

Отметим, что множество всегда содержит вектор . Опишем важные свойства множества в следующем предложении:

_{Предложение 9} Пусть _{- множество прогнозов векторов спроса торговой} статистики на новую точку при . Тогда справедливы следующие _{свойства:}

1. - положительный конус с вершиной в точке .

2. содержит по крайней мере одну точку _.

Доказательство.

_1. Это свойство непосредственно следует из линейности неравенств , относительно вектора . Подставив вместо вектора вектор , получаем

,

Следовательно, если вектор , то и вектор . Это означает, что множество - положительный конус с вершиной в точке .

2. Для точек торговой статистики справедливо Пусть . Проверим, что . Для этого достаточно проверить неравенства и

выполнены, т.к. , а для t неравенства выполнены (т.к. исходная торговая статистика рационализируема с показателем нерациональности ₎

тоже выполнены, т.к. и _.

_{Таким образом, мы показали, что если дана торговая статистика и мы пытаемся} расширить её на новую точку с произвольными ценами , то можно подобрать такие объемы, что новая статистика будет рационализируема с исходным показателем нерациональности, а значит наше множество прогнозов при не пуст и его построение всегда осмысленно.

4.6 Поиск вектора проекции на множество прогнозов и вектора отклонений

К настоящему моменту мы определились с тем, какие точки исключать из торговой статистики и исследовать на нерациональность. Дальнейшее исследование проходит по следующей схеме.

- исследуемая торговая статистика, которая рационализируема с показателем нерациональности _.

Пусть - множество точек торговой статистики, которые не являются выбросами, т.е. не находятся в множестве _, - торговая статистика, суженная до множества , рационализируемая с показателем нерациональности - точка, которая является временным выбросом, а - вектор цен в данной точке.

_{Строится множество прогнозов} на векторы спроса для торговой статистики . Множество состоит из векторов , таких, что - _{рационализируема с показателем нерациональности для .}

_{После построения множества} ищется проекция вектора на множество . Удобнее всего решать данную задачу следующим образом.

Характеристики

Список файлов ВКР