Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Чтобы слабая аксиома оставалсь выполнимой на системе лучей необходимо и достаточно выполнение однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения ([19]):

Однородная слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Для любых и справедливо неравенство

Следует отметить, что однородная слабая аксиома теории выявленного предпочтения эквивалентна эффекту Гершенкрона.

Хаутеккером было предложено более сильное требование, необходимое и достаточное для рационализируемости обратных функций спроса при в классе, вообще говоря, не положительно однородных функций полезности из

Сильная аксиома теории выявленного предпочтения. Если и то

При из сильной аксиомы теории выявленного предпочтения следует слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Вплоть до работы Д.Гейла [26] неоднократно предпринимались попытки установить эквивалентность этих двух аксиом. Д.Гейл построил пример обратных функций спроса, удовлетворяющих слабой аксиоме теории выявленного предпочтения, но не рационализируемых.

Выполнение сильной аксиомы теории выявленного предпочтения на системе лучей эквивалентно однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА).

Определение 5 Будем говорить, что обратные функции спроса удовлетворяют однородной сильной аксиоме (ОСА), если для любого набора векторов из справедливо неравенство

Теперь сформулируем следующий критерий рационализируемости.

Теорема 2 [18] Пусть - неотрицательная , непрерывная на вектор-функция, такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. Обратные функции спроса рационализируемы в классе функций полезности

2. Система линейных неравенств

где , , имеет решение , положительное и непрерывное на

1. Обратные функции спроса удовлетворяют ОСА.

2. Существуют такие индексы цены и спроса из класса , чт . В случае же когжа будет достигаться равенство

Следствие. Индексы цены и спроса можно выразить следующим образом через решение системы:

2.2 Непараметрический метод анализа торговой статистики

До сих пор мы рассматривали случай, когда вся информация задана обратными функциями спроса . На практике исходной информацией для вычисления индексов цен и спроса служит торговая статистика , представляющая набор значений обратной функции спроса в конечном числе точек . Под рационализируемостью торговой статистики мы будем понимать возможность продолжить её до обратных функций спроса, рационализируемых в классе . Теория выявленного предпочтения _{позволяет эффективно проверять рационализируемость торговой статистики и вычислять} индексы Конюса. В основе алгоритма проверки лежит следующая теорема, которая является дискретным аналогом теоремы 2.

Теорема 3 (Африата-Вериана [21], [39]) Следующие свойства торговой статистики эквивалентны:

1. существует функция полезности , рационализирующая торговую статистику, то есть

1. торговая статистика удовлетворяет однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения (ОСА), то есть для любого упорядоченного набора моментов времени выполняются неравенства

1. существует решение у системы неравенств:

(1)

1. существует функция полезности, рационализирующая торговую статистику, вида

где удовлетворяют (1).

Теорема Африата-Вериана позволяет эмпирически проверять условия рационализируемости и сторить индексы Конюса-Дивизиа.

Предложение 6 Пусть где являются решениями системы линейных неравенств согласно условию 3 теоремы 3, а

Тогда

Данный метод построения экономических индексов называется непараметрическим методом.

Непараметрический метод в отличие от традиционных методов вычисления индексов Ласпейреса и Пааше позволяет на основе проверки отделимости изучать сегментацию рынков.

Опишем способ решения системы неравенств Африата-Вериана, носящий название алгоритма Варшалла-Флойда. Обозначим коэффициенты матрицы индексов цен Пааше через

В новых обозначениях система (1) имеет вид

(2)

Определим как максимум по всем возможным упорядоченным подмножествам множества произведений вида считая при этом, что пустому множеству соответствует то есть

Следствие из теоремы Африата - Вериана гласит, что система (2) разрешима, тогда и только тогда, когда Отметим, что если система (2) имеет положительное решение, то она эквивалентна следующей системе

Рассмотрим идемпотентное полукольцо с двумя операциями и Тогда

Здесь означает возведение матрицы в степень в идемпотентном смысле (т.е. вместо всех операций суммирования происходит операция взятия максимума). Когда на каком-то шаге вычисления идемпотентных степеней выясняется, что диагональный элемент больше 1, это означает, что все элементы матрицы равны и система неразрешима. В противном случае для вычисления ряда можно ограничиться первыми слагаемыми, и, таким образом, алгоритм вычисления имеет сложность порядка Решение системы (1) можно выбрать так:

3 ОБОБЩЕННЫЙ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

В главе 2 были установлены важные теоремы и свойства торговой статистики, удовлетворяющей ОСА. Текущая глава посвящена анализу торговой статистики в случае нарушения ОСА.

3.1 Показатель нерациональности

Не всякая торговая статистика удовлетворяет ОСА. Значит, теорема Африата-Вериана об эквивалентных условиях не может быть применима, а, следовательно, система не будет иметь решения и непараметрический метод построения индексов также не может быть применим.

В ([21], [15], [28]) было разработано обобщение непараметрического метода, которое применимо при нарушении гипотезы о рациональном поведении. Вводится параметр , с помощью которого модифицируется система линейных неравенств (2):

(3)

Очевидно, что существует положительное , при котором система разрешима и _{имеет положительное решение.} Обозначим через минимальное допустимое значение Величина является мерой нарушения торговой статистики гипотезы о рациональности поведения.

В предыдущей главе мы рассматривали алгоритм Варшалла-Флойда и строили идемпотентное полукольцо. Сформулируем следующее предложение:

Предложение 7 Пусть элементы матрицы индексов Пааше положительны. Тогда система уравнений

имеет решение только при .

Т.к. матрица положительно-однородна, значит она неразрешима в идемпотентном смысле. В [6] было показано, что система (4) имеет решение, притом при единственном значении . Из теоремы о сходимости алгоритма Варшалла-Флойда следует (см [7]), что система линейных неравенств (3) имеет положительное решение если и только если для любого упорядоченного набора справедливо неравенство

Для величины справедливо выражение

_,

которое совпадает с выражением [6] для значения , при котором система имеет положительное решение. Таким образом, предложение доказано.

Величина является идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона матрицы индексов цен Пааше . Условие , которое означает существование положительного решения системы, интерпретируется как идемпотентный аналог соответствующего утверждения из теоремы Фробениуса-Перрона [14]. Легко заметить, что увеличивая , мы расширяем множество решений системы. При имеется единственное положительное решение системы, которое и соответствует идемпотентному аналогу вектора Фробениуса-Перрона.

3.2 Арбитражные цепочки на валютных рынках

На мировых биржах торги ведутся в разных валютах. Чтобы изучать биржи в совокупности необходимо выработать механизм приведения цен к единой валюте. Обратимся к алгоритму, сформулированному и описанному в [11].

Пускай на рынке осуществяются попарные обмены типов валют. Через будем обозначать количество валюты -го вида, которое можно получить при обмене одной единицы валюты -го вида. Матрица , составленная из чисел называется матрицей кросс-курсов и описывает состояние валютного рынка.

Рассмотрим цепочку обменов при которой одна единица валюты обменивается на валюту затем все деньги обмениваются на валюту и так далее, в конце концов все деньги полученные при обмене в валюты в обмениваются в валюту В итоге получаем в валюте

Определение 6 Будем говорить, что матрица кросс-курсов допускает арбитражную цепочку если

При относительно небольшом количестве валют на рынке (даже несколько десятков) проверка отсутствия арбитражных цепочек прямым перебором – сложная вычислительная задача. Общее число цепочек равно

При реализации арбитражных цепочек, консолидированная банковская система несёт финансовые потери. Устранение потерь от арбитражных цепочек может быть достигнуто за счёт взимание пропорциональных комиссионных сборов. Задача о вычислении минимальной ставки комиссионных сборов, которые приводят к отсутствию арбитражных цепочек выглядит следующим образом: найти минимальное число такое, что для любой цепочки обменов любой длины будет выполнено:

Характеристики

Список файлов ВКР