Математические методы и система поддержки принятия решений на основе неформализованных экспертных данны (1187401), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Основная идея данного подхода заключается в том,что чем более похожи (similarity) два нечетких числа (чем больше ? ' , 5 )и чем меньше расстояние между ними ( ' , 5 ), тем эти два числа считаютсяболее близкими (в общем смысле слова), более «одинаковыми» (consistencybetween fuzzy numbers).Выводы: методы с применением нечетких множеств хорошо подходятдля поставленной задачи с точки зрения выполнения расчетов, однако, мы неможем ничего сказать о том, насколько хорошим получился результат.

Взависимости от метода мы можем получать более хорошие или более плохиерезультаты, но эта оценка является лишь субъективным, логичным суждениемс точки зрения человека и не имеет никакого математического основания.Иными словами мы не можем строго сравнивать методы и объективнорассуждать о том, насколько хорошие получены результаты. Мы не можемсказать, с какой достоверностью результат агрегации будет получен вреальности. А так же остается открытым вопрос об интерпретации нечеткогочисла, полученного в результате.306. Существующее программное обеспечение На данный момент программы, предоставляющие удобные средства дляуправления проектами (Project Management) практически не используютметоды по поддержке и принятию решений для оценивания длительностиработ.Наиболеераспространенаследующаяфункциональностьпооцениванию длительности работ:• Задать длительность одной работы (число)• Задать ограничения на сроки начала и окончания работы• Задать зависимости между подзадачами• Посчитать общие сроки выполнения проекта, используя методкритического пути2Однако не уделяется должного внимания непосредственно оценкедлительности работы, а так же групповой оценке экспертов.Вышеописанныеметоды,темнеменее,являютсяширокораспространенными и общепринятыми при решении задач принятия решений.Данные алгоритмы были заложены во многие программы.

Так, например,Analytic Hierarchy Process (AHP) используется в программах Expert Choice иCriterium DecisionPlus. Многокритериальные методы принятия решенийиспользуются в D-Sight (методы группы PROMETHEE) и в CriteriumDecisionPlus(методыгруппыSMART).ТакжеразвиваетсяПО,специализирующееся на методах групповой оценки - Windows based GroupDecision Support System (WINGDSS).2См.

PMBOK [14] страницы 176-177317. Математическая модель Как уже было сказано ранее входные данные представляют собой наборэкспертных оценок по каждой задаче, а также уровень доверия, с которым мыхоти получить результирующую оценку. Она отражает мнение экспертов опродолжительности всего объема работ (последовательное выполнение всехзадач). Итак, более подробно процесс составления результирующей оценкибудет следующий:• Задать уровень доверия и описать каждую задачу, которую необходимооценить и выполнить• Собрать экспертные данные по каждой задаче, для этого каждый экспертo Указывает тип распределения СВ (выбирает один из 4хвозможных)o Указывает параметры распределенияo Повторяет действия для оставшихся задач• Для каждой задачи на основе полученных данных сделать оценкудлительности с учетом уровня доверия• Выполнить агрегацию всех оцененных интервалов для получениясуммарной оценки работТаким образом, процесс получения результирующей оценки логическираспался на 3 шага:• Инициализация задачи и сбор данных• Получение оценки по каждой задаче• Получение общей оценки длительностиПервый шаг является чисто техническим и не содержит в себе никакойматематики.

Стоит отметить только, что к выбору доверительного интерваланужно подходить ответственно. Слишком большой уровень (более 95%)может привести к слишком размытой оценке, поскольку более высокиегарантии требуют согласия большего количества экспертов, а значит, что32интервал оценки становится шире. В то же время необходимо максимальноточно формулировать задачу со всеми ее ограничениями и особенностями.Почему это так важно было упомянуто в пункте 4. Принятие решений.

Чтонеобходимо знать?.Второй и третий пункты содержат всю необходимую математику дляполучения требуемого результата. Однако подходы, которые в нихиспользуются, существенно различаются.7.1. Получение оценки длительности одной задачи Пусть . , B , … , , – распределения, которые указали эксперты, оцениваяслучайную величину (время выполнения задачи).Пусть .

, B , … , , – веса экспертов. Причем выполнено:,G ,G-. : G≥ 0,G = 1G-.Возможны 2 случая:Более простой. Все эксперты считаются одинаково опытными и их весаравны. Либо менеджер проекта может сам определить веса экспертов всоответствии с их опытом. В любом случае эти веса известны априори.Более сложный. Веса экспертов неизвестны и определяются согласноследующему правилу: более опытные эксперты дают оценки наиболее близкиек реальным срокам, поэтому их оценки друг между другом будут совпадать надостаточно большом интервале. Это значит для того, чтобы избежатьрасширения результирующего интервала из-за менее точных экспертныхоценок следует брать близкие оценки с большими коэффициентами. Сматематической точки зрения это значит следующее: подобрать весаэкспертов так, чтобы результирующий интервал, удовлетворяющий уровнюдоверия, был наиболее коротким. Т.е.

веса экспертов определяются как33решение оптимизационной задачи найти минимум длинны результирующегоинтервала.Основная идея агрегации экспертных оценок состоит в следующем: мырассматриваем время выполнения задачи как случайную величину сосмешанным распределением:, = G G(1)G-.Нам необходимо решить следующую задачу: найти такие 2 числа и ,что выполняется: ≤≤ ≥ − → (2)где – уровень доверия, – функция распределения СВ с плотностьюраспределения (1). Перепишем (2) в более удобном виде: − → œ ≥ KБудем решать эту задачу численно.

Поскольку () является плотностьюнекоторого распределения, то она обладает весьма важными свойствами, аименно:lim () = 0ž→ `Ÿlim () = 0ž→ _ŸОднако, исходя из специфики задачи и входных данных, мы можемсделать еще более сильные выводы.

Используем то, что эксперты задают 4числа (параметры распределения) и первое из них (назовем его временно A)означает, по сути, самый короткий срок выполнения задачи. Таким образом,плотность распределения ≈ 0 при ≤ . В случае треугольного,34трапециевидногоиравномерногораспределенийэтоутверждениепревращается в равенство строго, а в случае с нормальным распределениемзначением можно пренебречь и считать его так же практически равнымнулю.Это значит, что мы априори можем найти такое = min G ,¡-.,…,¢что = 0, ≤ . То есть мы знаем, что искомый интервал будетначинаться заведомо правее: ≥ .Несложно также найти минимально возможное (обозначим его как ),такое что выполняется:£ = ¤Основная идея поиска границ и заключается в следующем: мы будемодновременно двигать границы интеграла и начиная от и соответственно, так, чтобы значение интеграла оставалось равным .

Причемлевые конец мы будем двигать с постоянной скоростью, а скорость правогоконца будет изменяться в зависимости от значений функции. Пусть, например = = , тогда =’(K)’(œ)∗ =’ K’ œ∗ . Вывод этой формулынесложно понять, посмотрев на рис. 1 и учитывая, что изменение интеграла налевом конце должно быть равно изменению интеграла на правом конце, чтобыего значение было неизменным и оставалось равным .35Рис. 1. Нахождение правой границыТаким образом, мы можем выписать значения и в зависимости отвремени: = + сž = + сª( )( )Заметим, что функция () задана неявно, чтобы получить ее значения взависимости от продифференцируем обе части равенства:« = с( )( )Получили простое линейное дифференциальное уравнение, котороенесложно решить численно, например одним из методов Рунге-Кутты.

Будеминтегрировать это уравнение до тех пор, пока выполняется условие: ≤Как только мы нашли такое 2K9 , что выполняется 2K9 = ,останавливаем вычислительный процесс и запоминаем 2K9 . Из-за спецификипоставленных условий мы можем быть уверены, что всегда выполняется36œ(ž)K(ž) = , ∀ ∈ [0, ¬-® ]Это означает, что введя в рассмотрение функцию = − , ∈ [0, 2K9 ]мы можем решать задачу безусловной минимизации → численно на отрезке t ∈ [0, t ¬-® ].

Решив ее, мы найдем t, а значит иоптимальные параметры a и b.7.2. Получение интегрированной оценки длительности проекта Длительность каждой работы выражена случайной величиной. Намнеобходимо правильно их просуммировать и найти интервал дат, которыйтакже будет удовлетворять заранее заданному уровню доверия . Чтобывычислить сумму введем несколько предположений:• Все оцененные случайные величины являются независимыми• Количество оцененных работ достаточно большоеБольшинство проектов состоит из огромного числа небольшихподзадач, поэтому предлагаемая техника для них применима. Для оценкисуммы случайных величин мы будем пользоваться Центральной ПредельнойТеоремой (ЦПТ). Классическая формулировка нам не подходит, так как онатребуетодинаковогораспределенияслучайныхвеличин,поэтомувоспользуемся ЦПТ с наложенным условием Ляпунова (Натан, Горбачев, &Гуз, 2008):,G = G ,GB= G ,,B,GB= =G-.∃ , > 0,,G-.

G − G,B_´GG-.B_´ ,→Ÿ 0,37Данное условие, по сути, означает, что случайные величины теперьмогут иметь разные распределения, но внос дисперсии каждой случайнойвеличины в общую суммарную дисперсию должен быть мал, чтобы отдельновзятая случайная величина не могла существенно влиять на сумму. Нашслучай как раз подходит под данное условие, так как весь проект разбиваетсяна достаточно маленькие подзадачи (более маленький объем работ проще иточнее оценивается экспертом), а оценка одной задачи скомбинированная изнормального, равномерного, треугольного и трапециевидного распределенийимеет маленькую дисперсию по сравнению с суммой остальных дисперсий.Чтобы практически можно было пользоваться данной теоремой, достаточнооценивать несколько десятков задач, что так же не является проблемой длякрупных проектов.Итак, по теореме Ляпунова (Натан, Горбачев, & Гуз, 2008) мы имеем,что случайная величина:, =,'-.('− ' ) ,(3)сходится по распределению к стандартной нормально распределеннойслучайной величине 0, 1 .

Введя обозначения ª = ,'-. 'и , = ,'-. ' ,,'-. ' ,ª =перепишем (3) в следующем виде:, =, − ª ª(4), - это и есть интересующая нас величина – сумма длительностей задач.Любую функцию распределения нормально распределенной случайнойвеличины можно выразить через стандартное нормальное распределение последующей формуле: , , = Φ−(5)38где Φ – функция распределения стандартной нормальной случайнойвеличины Φ = 0, 1 .Сравнивая формулы (4) и (5) несложно видеть, что случайнаявеличина , имеет нормальное распределение (ª , ª ). Поскольку мызнаем плотности распределения всех случайных величин, то вычислить ихматематические ожидания и дисперсии не сложно:' = ‘@s@' ' = 'B − 'BУчитывая что – это смесь плотностей распределения (см. формулу (1))получаем, что математическое ожидание смеси распределений являетсясмесью математических ожиданий:' =‘@s@' =‘@s@Таким,@,@'G 'G =G-.образом,'GG-.нетнеобходимости‘@s@,@'G ='G 'G 'G-.вычислятьматематическоеожидание с помощью численного интегрирования.

Характеристики

Список файлов ВКР