Математические методы и система поддержки принятия решений на основе неформализованных экспертных данны (1187401), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Чем больше значение этой функции, тем лучше альтернатива.Вторая функция отражает слабость данной альтернативы, то естьсколько альтернатив предпочтительнее, чем эта. Чем меньше значение этойфункции, тем лучше альтернатива.PROMETHEE I – метод5 ≻ G если _ 5 ≥ _ G и ` 5 ≤ ` (G )5 и G не различимы, если _ 5 = _ G и ` 5 = ` (G )Иначе 5 и G несравнимы.PROMETHEE II – метод22Если требуется всегда иметь сравнение альтернатив (исключить случаи,когда альтернативы несравнимы), то рассматривается следующая функция: 5 = _ 5 − ` 5Таким образом, альтернативы:5 ≻ G , если 5 > '5 и G не различимы, если 5 = (G )Теперь все альтернативы сравнимы и альтернатива с наибольшим (' )может считаться наилучшей.5.4.
Принятие решения группой экспертов Под принятием решения группой экспертов обычно подразумеваютагрегацию результатов решений каждого из экспертов, который решал задачус теми же альтернативами, ограничениями, критериями и целями. Посколькув принятии решения участвует группа экспертов, у каждого из которых естьсвой опыт и знания, то финальная альтернатива с большей достоверностьюбудет верной, чем при решении той же задачи одним человеком.Зачастую в данной группе подходов участвует руководящий процессомэксперт (Supra Decision Maker, SDM).
Этот человек устанавливает правила иприоритеты оценивающих экспертов.Рассмотрим метод, основанный на вышеописанном MAUT-подходе(Fulop). Пусть в принятии решения участвует экспертов . , … , d , альтернатив . , … , , , и критериев . , … , 2 . Обозначим оценку экспертаG альтернативы 5 по критерию G какG'5.
Также каждый участникустанавливает свои веса для критериев: 'G ≥ 0 – вес критерия ' ,присвоенный ему экспертом G , = 1, … , ; = 1, … , . Однако все экспертыобладают разным опытом и разными знаниями, поэтому руководящий эксперт(SDM) устанавливает соответствующие веса экспертов.23Обозначим G'G'– вес голосующего G при оценке веса критерия ' и– вес голосующего G при выставлении оценки альтернативе покритерию ' . Тогда метод, вычисляющий финальную оценку альтернативы 5следующий:Для каждого критерия ' индивидуальные оценки экспертов весакритерия будут агрегированы в групповой вес ' :' =G GdG-. ' 'dGG-.
', = 1, … , .Групповая оценка '5 альтернативы 5 по критерию ' тогда будетвычисляться так:'5 =G GdG-. ' '5dGG-. ', = 1, … , , = 1, … , .Финальная групповая оценка 5 альтернативы 5 будет считаться каквзвешенноесреднееарифметическоеагрегированныхоценокпоагрегированным весам:5 =2'-. ' '52'-.
', = 1, … , .5.5. Использование теории нечетких множеств(Fuzzy Sets) Под нечётким множеством (Fuzzy Set) A понимается совокупностьупорядоченных пар, составленных из элементовx универсальногомножества X и соответствующих степеней принадлежности s :=Причем s , s ∈ } , — функция принадлежности (характеристическаяфункция), указывающая в какой степени (мере) элемент принадлежитнечёткому множеству .24Длявычислительныхцелейнанечеткиечисланакладываютдополнительные ограничения нормальности и выпуклости:Нормальность: sup 9 = 1 ∀ ∈ .
Это требование означает, чтонайдется хотя бы один носитель, такой, что его степень принадлежностимножеству равняется 1Выпуклость: . + 1 − B ≥ min . , B, ∀ . , B ∈, ∈ [0, 1] . Это требование означает, что носители с наибольшимизначениями функции принадлежности сгруппированы вместе.В данной группе методов используются нечеткие числа (fuzzy numbers)для характеристики оценки, которую дает каждый эксперт. Для удобстванечеткие числа представимы в виде трапециевидных нечетких чисел.
Такиечисла задаются набором 4 чисел: (. , B , € , • ), где . ≤ B ≤ € ≤ • . ПриB = € число называет треугольным. При . = B и € = •получаемобычный замкнутый интервал, а при . = B = € = • получаем обычноедействительное число.1,210,80,60,40,20012345678Таким образом, чтобы задать свою оценку эксперту необходимоопределить 4 числа – контрольные точки, которые задают нечеткое число.Участок [3, 5] соответствующий значению функции принадлежности равной 1означает уверенность эксперта в том, что задача примет значения из интервала25[3, 5]. В то время как наклонные участки означают неуверенность эксперта,однако, не исключают возможности данного исхода.Пусть ' = (.
, B , € , • ) – положительное трапециевидное нечеткоечисло, отражающее оценку i-го эксперта по данной проблеме. Задача состоитв нахождении агрегационной функции , для получения итоговой оценки: =(. , B , … , , ).Основная проблема подхода с использованием нечетких чисел состоит ввопросе правильной агрегации оценок предоставленной группой экспертов.Как правильно сравнивать и выявлять похожие мнения экспертов и какнаходить различия?В данной группе есть 3 подхода:• Агрегация на основе подобия (похожести) нечетких чисел• Агрегация на основе расстояния между нечеткими числами• Агрегация с учетом похожести и расстояния между нечеткими числамиВ первом подходе, предложенном Hsu и Chen (Similarity AggregationMethod, SAM) (Hsu & Chen, 1996), предполагается, что нечеткие числаобязаны иметь ненулевое пересечение, т.е.
принадлежать некоторому срезунечеткого множества. В этом состоит первый минус данного подхода.Рассмотрим для примера нечеткие числа (для упрощения указываем толькоконцевые точки, предполагая, что промежуточные равны концевым, задаваятем самым прямоугольную область): A=[2, 3], B=[3, 4], C=[5,6]. С точки зренияподхода, описанного Hsu и Chen степень похожести между A и B равно 0, также как и степень похожести B и C равна нулю. Однако, это очевидно не так,поскольку A и B расположены ближе друг к другу и больше похоже друг надруга, чем B и C. Второй минус описанного подхода заключается в том, чтостепень похожести чисел определяется отношением пересекающихсяобластей к области определения в целом и не учитывается отношение области26носителей нечетких чисел к области определения.
Таким образом, теряетсячасть информация о входных нечетких числах.В SAM подсчитывался средний уровень согласия каждого эксперта' ( = 1, 2, … , ) путем усреднения схожести оценок разных экспертов:1 ' = −1, ' , 5 ,5-.,5†'Где ' , 5 =9min ‡@ , ‡L 9max ‡@ , ‡L Это функция похожести построена на отношении участков пересеченияк общей области. Далее рассчитывается агрегационный вес мнения каждогоэксперта:' = ',5-. 5Без учета авторитетности каждого эксперта (считая мнения экспертоводинаково важными), получаем результирующую функцию:, = .
, B , … , , =' ⊙ ' ,'-.где ⊙ - оператор умножения нечетких чисел.Работа Hsu и Chen основаны на идее, что вес мнения эксперта тембольше, чем более похоже его мнение на мнения других экспертов. Но у такогоподхода есть недостатки, которые были описаны ранее. Чтобы решить этипроблемы Lee предложил Optimal Aggregation Method (OAM), которыйбазируется на идее, что вес мнения эксперта должен быть тем больше, чемменьше расстояние между его мнением и мнением других экспертов. Однако27оба эти подхода не могут быть достаточно эффективными, поскольку каждыйиз подходов теряет часть информации либо о расположении нечетких чиселна оси (первый подход), либо структуру самих нечетких чисел (второйподход).
По факту эти два подхода являются взаимодополняющими друг другаи их нужно использовать вместе. Данную идею воплотили Chengguo LU, JibinLAN, Zhongxing WANG предложив новый метод агрегации ConsistencyAggregation Method (CAD) основывающийся на сравнении нечетких чиселмежду собой на похожесть и учитывая расстояния между ними. (Lu, Lan, &Wang, 2006)Рассмотрим следующий пример:1,210,8A0,6BC0,40,200Здесьвзяты12нечеткие34числа5678 = 1, 3, 5, 7 , = 2, 3, 5, 6 , =1, 4, 4, 7 .
Используя Hsu и Chen меру измерения похожести этих чисел€получим, что , = , = . Однако из графика видно, что нечеткие•числа и имеют большую пересекающуюся область носителя и значитбольше похожи друг на друга чем и . Исправить это можно, если братьвзвешенные носители. В качестве веса ' можно брать значение функциипринадлежности в этой точке, таким образом, получим:28? ' , 5 =min ‡@ , ‡L 99max ‡@ , ‡L BB Пересчитывая наш пример по новой формуле получим:? , =43≥ ? , =55Этот результат лучше отражает зависимости между нечеткими числами.Введем теперь функции расстояния между нечеткими числами. Дляэтого будем использовать расстояние Хэмминга • , :• , =9|s − ‘ ()|И расстояние между множествами ',’ , :',’ , = inf { , , ∈ , ∈ }Где – это обычная метрика.
Для трапециевидных нечетких чисел =. , B , € , • и = (. , B , € , • ) имеем:',’ , = inf { , , ∈ . , • , ∈ [. , • ]}Таким образом, вводим расстояние между нечеткими числами (почемуименно так можно посмотреть в (Lu, Lan, & Wang, 2006)): , =1 , + ',’ , 2 •=129s − ‘ + ',’ , После этого нормализуем расстояния: ' , 5 = ' , 5max ' , 5',529Пусть . , B , … , , – n нечетких чисел, представляющих мненияэкспертов. Имея выше описанные функции похожести нечетких чисел ирасстояния между ними, можно ввести функцию, показывающую на сколькодействительно два нечетких числа близки и похожи друг на друга (consistencymeasure): ' , 5 = (? ' , 5 + 1 − 1 − ' , 5 ,где ∈ [0, 1] вес функции похожести ? ' , 5 , который показываетотносительную важность параметра похожести к параметру расстояния междудвумя нечеткими числами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
