Леонов А.И., Васенев В.Н. Моделирование в радиолокации (1979) (1186215), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(5.35) В моделях всегда приходится иметь дело с процессами, ограничеииымн во времени и, следовательно, с бесконечными пределами существования спектра. Такие процессы представляются рядом (5.35) с погрешностями, допустимая величина иоторых обсуждается в дальнейшем. 12о (5.33) ОО ОО ОО ОО ОО ;Ц уФ.()= ~ ~ч; хАФА()Ф И= —;5', ,'Я хлй. АФ ИХ ОΠ— -ОО А — оо а — оо А= — со Π— СО ОО О$ ХФО А(в) =-;5', ~я~', хлйо АФО(в) Для Функции 2 (1), 0 ~1~ Т,, ряд (5.35) содержит конечное чи- сло членов Ал 2 (г) = ~)~~ 2 ('лЬ) А О где М, =Т,[Ь. Дискретнам свертка (5.29) в случае представления функций рядом Котельникова для х((), ограниченной пределами 0~( Т и Л(1), 0- 1~ТА, выражается формулой вво(и .О) у (Ьл) = Ь ~)~ ~х (йЬ) Ь (лЬ вЂ” ЬЬ), (5.37) А Упав (О.
Π— ЯА) где Ь[ =т„!Ь. Ил — — ТАТЬ. В дальнейшем для удобства будем также пользоваться записью в виде у(Ьл)=Ь 'Я х(ЬЬ)й(лЬ вЂ” кЬ), полагая. что хЩ и Й(гд равны нулю вне заданных янтервалон Теперь, используя вышеизложенное и формулы (5.21), (5.22), можно составить алгоритм блока линейной фильтрации и детектироваюгя для цифровой модели: О о л У, (Ьл) = ~ Х, (Ья) Н,(Ьл — Ьй) — 1~~1 Х,(Ья)Н. (Ьл — Ьф„ А Π— Л'А "л и — .( )= — ~~~ Х.(ЬЬ)Н.( — й)— Π—;Я Х, (Ьй) Н,(Ьл — Ья), А=о — Юл (5.38у 6(Ьл)=агс(8,'( ., л= — ][[Оао — У.О+1. - " Ь[аао о(~) где для а=о, 1., Уа Х,(ЬЬ)=Ю,(ЬЙ)+Фl~(ЬЬ); Х (Ьа)=ь (Ьа)+а[А(Ьл) а для и Ув<Ь==Ь[вов. ИА=ТА[Ь; )[[вов —— (вов[Ь; Х, (М) =Ь[А (Ьй), Ь[ — ]Ул: -2~0 Л[а= Тв/ Ь1 квак=(вао/Ь Х, (оа) =-%1 (Ьв), 127 /ь +2 ~' ~2() г.(И 1.
— /ь где (5.47) К()= ('Ю(~) Н.(1 — ~)Ь. р хх р х 4р х а . в ~ а ~~ (1) ~)~~ ~~ (Ь~) О1ь а.де (5.49) при этом 129 к „вЂ” 1 — интервал, требуемый для получения выходных данных; Та. Тл — длнтелышсти сигнала и импульсной характеристики фильтра. Прн О~и(М„+6/„иа выходе алгоритма присутствуют сигнал и шум, а при и~б и Ь/~+6/а<и — только шум. Предшествующая /интервалу реализацяя входного шума на участке 1, — Т/,~1~4„ч необходима для установления шумового процесса на выходе фильтра. Шзг выборки Ь устанавливается, исходя из требуемой точности расчетов.
Рассмотрим вначале сигнал без шума Сопоставим результаты непрерывной (5.2) и дискретной (5.38) фильтрации. В непрерывном случае для одной из составляющих, опуская индексы, имеем Соответственно в дискретном случае, вводя для отличия индекс Л, получаем яви 1//з, л) Я (Ьи)=Ь ~) ~ 3(ЬИ)Н(Ьи — Ьй). (5.41) з оп /О, и — зн) Полагая в (5.39) 1=Ьи. находим СО м+~Ф .Е (Ьи)= ~3(~) Н(Ьи — ~)/Рс= 'Я ~ Я(с)Н(иЬ вЂ” ~)/(к (5.42) — сю А= — ~в Й ' Таким образом, погрешность в точках отсчета составляет 00 6(Ьи)= ~~~' 6„», . ме/Ф яде Ь„„=ЬЗ(ЬЙ)Н(Ьи — Ьй) — ~ 3() Н(иЬ вЂ” )/(т„(5.43) г.
(Ьи) =~ (Ьи)+6(Ьи). (5.44) Рассмотрим квадрат средиеквадратической погрешности прн атредставленнн (5.39) функцией (5.40) р'= Р'(1)-'~) ~'~=' Р'(-) — ' ( И'""= сΠ— ОО =2 1 )2()~' +2' ~ А"И' + Из формулы (5.45) следует„что погрешность ограничена снизу величиной р' ~ р', т = ( 1 ~ ~< > -/- ~ ~ ~н / ) . в4ч '/з В (1531 указано, что оценка погрешности сверху определяется характером убывания спектра Х(/з) и для 6(Ьи)=/О во многих практически интересных случаях Можно предположить (н практика моделирования это подтверждает), что прн 6(Ьи)~О формула (5.47) также пригодна для выбора Ь, если учесть значение энергии представляемой функции, приходящее на частоты вне интервала ~/зЬ~(и. Естественно, что Ь выбирается по наиболее широкополосному нз представляемых процессов. Примеры выбора содержатся в последующих параграфах.
Рассмотрим теперь погрешности прн моделировании фильтрации шума. В непрерывном случае (5.22) для одной из составляющих, опуская индексы, получаем Ш Р(1) = 1 и (т) Н (1 — %) /1 . (5А3) Соответственно в дискретном случае где Р (Ьи)=Ь ~~Ц и(Ьй)Н(Ьи — Ьй), в и(Ьй) — нормальные взаимонезавясимые случайные величины с нулевым среднвм и дисперсией. равной а'. Вычислим корреляционные функции шумов Р(1) и Р Я: Н (1, — 1,) = Р (1,) Р (1,) = и, $ Н и Н(з+ 1, — 1,) /Ь, Н,(Ьт — Ьи) =Р,(Ьи) Р,(шЬ)= =Ь* Х Х и(ЬЬ)и(Ь1)Н(Ьи-Ьй)Н(Ьт — Ь1)= з — со /=-оэ Сигнал на выходе согласованного фильтра в соответствии сфармулой (5.11) равен лае 1тда ю+т7а! тЕ Г 1 ° Г т (!) = — Ке ! ехре — 1 — ш е — — е — ш 2Т а 1-тж ! — ткн — (! — )+ ~ (г — )+9))Ь= — ) Е 1(~л)( 1 ! И Х вк72 Хс в г, ~!1~7'.
(5.59) Корреляционная функция шума иа выходе согласованного фильтра в соответствии с формулой (5.15) равна Вычисляя преобразование Фурье ат (5.60), получаем энергетический спектр выходного шума К (ш) = (п,ф'Е) т (ш), где т(е!) — спектр сигнала на выходе согласованного фильтра. Для подавления боковых лепестков часто попользуется фильтр Хэммивга, имеющий импульсную характеристику 1166) (5.61) Ь,(Г)= 1 ~В(Г)+0„425~6(г — 2 )+3(!+ ~Я (5.62) н частотную характеристику Ь, (ш) =(1Д/ 136) (1 +0.85 сов 2я а~И).
(5.63) где !оа/Я вЂ” целое число. Сигнал иа выходе фильтра Хэммннга г, (1) ==т (1)+0,425 ~т(! — — )+т ((+ — Я, (5.64) а его спектр т,(а)=т(ш)Ь,(ш). Аналогично формулам (5.60), (5.61) можно получить энергетический спектр шума на выходе фильтра Хэммиига Кн! (ш] (п,фтЕ) т (ш) ) Ь, (ш) ('=. (пД/Е) т, (в) Ь" ( ) (5.65) н корреляционную функцию Км! (7) =(П,ДтЕ) (г (Г) + 0,62Цт (! — 1/Щ+ т (Г+ 1Щ]+ + О, 133 $т (à — 2/Ят) + т (! + 21 Щ) ). (5-66) Полученные выражения для спектров позволяют выбрать шаг выборки Л па формуле (5.47), необходнмын для моделирования., процесса обработки ЛЧМ импульса в соответствии с алгоритмам (5.38). 132 Прн больших коэффициентах сжатия ИТ»! сигнал на выходе ';,!согласованного фильтра (5.59) хорошо описывается прнближекной ";.
формулой г(1) = ф"ЕЕа" . совш,Г, (5.67) Ь, (ш) = Ь+ (1 — Ь) сов' (ншЩ. -'!Сказанное позволяет сделать вывод, что при определении А для !моделирования обработки ЛЧМ импульса в раднопрнемиом ТАвлипА а! Веа фильтра Дольфа — Чебышева Й=О, а=2 1=0. л=-3 В=0,4, л=! В = О. 16. л = 2 Ь= — 0,02, л=з а=О 03 л=-2 (Хаыманга) — 13.
3 — 40 — 32. 2 — 30,1 — 23 — 34 — 40.  — 42. В 1,35 1„62 1,В7 1,31 1,41 1.47 1,76 2,33 0,32 1,01 2,23 1,36 133 йа/2 ~, из которой нетрудно получить выражение для его спектра т (ш) = ~/Š— (гес1: — '+тес! — ') .
(5.68) !-:Таким образом, спектр сигнала на выходе согласованного фильтра 1),представляет собой четную функцию, которая в области положиательвых частот по мере увеличения коэффициента сжатия сигнала ,::.приближается к прямоугольнику с полосой частот, равной Я. То же относится к энергетическому спектру шума на выходе согласованного фильтра. Прн этом отношение сигнал/шум, определя'.'-',емое в соответствии с (5.59), (5.60), составляет Ох=та(0) 12Км(0) =Е12по (5.69) Анализ выражений (5.64) — (5.66] показывает, что фильтр Хэм:мннга подавленна боковых лепестков осуществляет снижение ам:;::,'плнтуды и расширение главного лепестка сигнала.
Прн этом спектр ' сигнала сужается. В еще большей степени сужается энергетический ": спектр шума. Величина отношения сигнал/шум уменьшается де!=те!(О) 12Км!(О)ыЕУ2.72,=де)1,36. (570) Аналогичные эффекты сопутствуют и прн нспольаовании других ,:~ типов фильтров для подавления боковых лепестков. Приведем за., Имствованную из работы 1166] табл. 5.1 характеристик оптималь',' ного нереализуемого фильтра Дольфа — Чебышева н косннусных :::.::фильтров с частотными характеристиками вида устройстве следует использовать спектр огибающей сигнала иа выходе согласованного фильтра рок(в). Квадрат средиекзадратической погрешности (5.45), отнесенный к энергии выходного сигнала, оценивается при этом неравенствами (5.47) — 14 СО 1 и г — ) ~г,(м) ~'сЬв+ — ) ~г „(е) /'Й (р*~ (5.71) ) ~ г„(е),*Ив.
При таком выборе шага можно получить на модели, с погрешностью не хуже заданной, огибающую выходного сигнала как иа выходе согласованного фильтра, так и на выходе различных фильтров подавления боковых лепестков. Если моделируются другие виды детектирования„ то следует учитывать возможное расширение спектра и соответственно уменьшать шаг выборки. Так, например, нормированная огнбающаяснгнала (5.67) имеет прямоугольный спектр с полосой частот й: к)п(П1'2) 2к гк г„„(1) = —, —, г„(в) — гес1 —.
(5,72) Квадрат огибающей имеет спектр СО и „(м)== —, ~ тес — гес1 — 02=~1 — — ~ 4з', ~ш~~й, (5.73) занимающий полосу частот 2Я. До свх пор рассматривался ЛЧМ импульс с прямоугольной огибающей. В общем случае амплитудная модуляция 3(1 может быть произвольной и комплексная огибающан имеет вид г(1)=3(г) ехр [ — рр(1)). (5.74) Отметим удобную особенность широкополосных ЛЧМ импульсов, облегчающую вычисление их спектра, а следовательно, н величины днскрета при моделировании. Запишем преобразование Фурье от сигнала (5.74) з(м)= —, ~5(1) р)[ — р(1) — 11 й. В точке стационарной фазы (1,з) ", [.~,,+у(1,Д=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
