Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если теперь в формулах (18) и (19) пренебречь всеми членами порядка малости 1/я или выше, то для Мл(й) н Мт(д) получим одну н ту жс функцшо М(д), а именно М(9) = Ф(- 9)(п — 1 — 9е(1 — р)~ . (20) Следовательно, в первом приближении оба критерия имеют одну н ту же функцию мощности. График этой функции изображен сплошной линией на рис. 39 н обозначен М(9). Это приближение мы теперь постараемся последовательно уточнить. Если сначала воспользоваться нормальными приближе- В этом случае мощности критериев Л и У будут являться функцнямн от о. Предположим сперва, что п настолько велико, что обе случайныс величины Л н У распределены почти нормально.
Тогда границы Ло и Ур можно будет определить с помощью нормального распределения: й 71. Дааффициенгн рангавой корреляции Т, па Кендалла 399 ниямн (18) и (19), но на этот раз в разложениях (11) н (12) учитывать и члены порядка оа, а в формуле (17) — член 5/(2п), то результат будет практически тем жс самым, что н раньше: графики функций Мя(х1) и Мт(р) получаются почти совпадающими друг с другом.
Как мы видели, нормальное приближение для распределения Т является хорошим, а для распределения Л вЂ” нет. Истинная функция распределения Л при больших положительных значениях Л быстрее стремится к единице, а прн больших отрицательных значениях Л быстрее стремится к нулю, чем соответствующая Р и с. 39. Графики функций мощности критериев лЧ и Т, Сплошная линия соответствует первому приближению лля функций мощности А и Т; улучшенное приближение лля л' указано штриховой линией, а лля Я вЂ” штрих- пунктярпой линией.
функция нормального распределения. Если учесть это обстоятельство, по границу Л оставить пока неизменной, то в качестве графика Мн(о) получается кривая, изображенная на рис. 39 штриховой линией н обозначенная Мя(р). Сперва при малых о эта кривая проходит под сплошной линней, затем она идет над кривой М(9); в точке с ординатой М = х/, кривая Мн переходит вниз, н, наконец, прн болыпнх й оня снова оказывается выше кривой М. Рисунок является лишь качественно правильным: различие между кривыми несколько преувеличено. При больших и нужно также еще учитывать и асимметрию распределений Л и Т. Влияние асимметрии приводит к уменьшению функпнй мощности Мп(о) н Мт(о), особенно при значениях о, близких по абсолютной величине к единице.
При этом Мн уменыпается несколько сильнее, чем Мт. Однако это уменьшение не очень значительно; на рисунке оно не указано. 400 Гл. ХПХ, Корреляция Но мы должны учесть еще одну последнюю поправку, которая является решающей, а именно, поправку к границе Вм Как мы видели, границы для л', вычисленные с помощью нормалыюго приближения, являются приблизительно правильными, так как случайная величина л' распределена приближенно нормально.
Однако для В соответствующие границы слишком велики, При и = 8 с помощью нормального приближения мы в качестве 0,5')е~- ной границы получили Вл — — 0,97, в то время как точная граница равнялась 0,88. В результате мы оказываемся перед выбором: либо, с целью увеличения надежности критерия, оставить границу Л неизменной (тогда, мощность критерия также не изменится, но истинный уровень значимости будет значительно меньше р), либо уменьшить Ве таким образом, чтобы истинный уровень значимости по-прежнему не превосходил р". В последнем случае штриховая линия сместится влево на значителыюе расстояние и в результате получится большая функция мощности Мй(у), график которой изображен на рисунке штрих-пунктирной линией.
Поэтому Критерий В по сравнению с критерием У имеет приблизительно равную мощность и меньший истинный уровень значимости или одинаковый истинный уровень значимости и бйльшую мощность. К этому следует добавить, что вычисление В требует меньшей вычислительной работы, чем вычисление У. Таким образом, оказывается, что старый коэффициент ранговой корреляции В, по Спирмену, теоретически и практически предпочтительнее своего более молодого конкурента Т. ТАБЛИ ЦЫ Таблица 1 с (с) — —, ~ е в*ох )'2о .
нормального распределении Ф Функция 5 о 5 с в ! о 4681!,4641 4286,4247 3897 ,3859 3520 ,3483 3156 ,3121 2810 .,2776 24831 ,245! 2177~ ',2!48 1894',1867 !635 1401 ,1379 1190 ,1170 0985 1003 0823 0681 0559 0455 0367 0838 0694 0571 0465 0375 0294 0301 0233 0239 0188! 0183 0146) 0! 131 0087 0066 0049 0037' 0143 0110 0084 0064 0048 0036 0026 0019 0014 0027 0020 00141 1 с =- — З.О , — 3,1! — 3,21 — 3,31 — 3,4~ — 3,5 — 3,6! — 3,7/ — 3,8~ Оо(с) =-,0013 !,0010',0007!,0005',,0003,00021,0002),00011,00011 — 3,9 ,ОООО 26 Н Н рд«дер и рден .
с оеа — 0,0 ,',5000 ,4960 ,4920 ,4880,,4840 -0,1,,4602,,4562 ,4522 ,4483 ,4443 — 0,2 ,4207(,41681,4129 ,4090 ,4052,' — 0,3 ,3821(,3783 ,3745',3707 ,3669' — О,4 ~,34461,3409 ,ЗЗ?2',3336 ,ЗЗОО -0,5 ,',3085',3050 ,30!5,,298! ,2946 — 0,6 1,2743 ,2?09 ,2676 ,2643 ,2611 — 0,7 ,2420 ,2З89 .2358 ,2327 ,2297 — 0,8 ,2119',2090 ,2061 ,2033 ,2005 — 0,9,,184!),1814',!788 ,1762 ,1736 — 1,0 ,1567),1562,,!539',1515),1492 --1,1 ,1357 ,!ЗЗо ,1314 ,1292 ,12?1! — 1,2 ,1151 ,1131 ,11!2 ,1093 ,1075! — 1 3 0968!,09511,0934 0918 ,0901, — 1,4 ,ОВОВ,',07931,0??8,,0764, 0749 — 1,5,,0668!,0655',0643 ,0630',06181 — 1,6 ,0548 ,0537 ,0526~,05161,0505( -1,? ,О446 ,О4З6 ,042?,,04!8 ,О4091 — 1,8 1,0359 ,0351),0344 ,0336 ,0329( — 1.9 1,0288 ,0281),0274,,0268 ,0262! -2,0,,0228 ,0222 ,0217 ,0212!,0207 — 2,1 ',01?9),0174 ,0170~,0166~,0162 — 2,2,,01391,0136 ,0132 ,0129 ,0125 -2,З ,01О? ,О!04),О!02 ,ОО99 ,ОО96 †.2,4 ,0082 ,0080,,0078 ,0075 ,0073 — 2,5 ,0062! .0060',0059 ,005?!,00551 — 2,6 ,004? ,0045',0044!,0043 ,0041 — 2,7 1,00351,0034(,0033!,0032!,0031( — 2,8 ,0026),0025 ,0024),0023 ,0023 — 2,9 1,0019,,0018 ,ОО!В.,ОО!?),ОО!б! 4801',476 ! >,4? 21 4404 ,4364 ,4325 4013 ,3974 ,3936 3632 ,3594,,3357 3264 ,3228 ,3192 2912 ,2877,,2843! 2578 ,2546 ,2514, 2266 ,2236 ,2206! 1977,,1949 ,1922~ 1711~,1685 ,1660 1469 ,!446 ,1423' 1251;,1230 ,1210 1056 ,!038 ,1020 0885,0869~,0853 0735,0721',0708! 0606,0594;,0582' 0495',0485!,04?5, 04011,0392:,0384 !' 0322,,0314:,0307 0256 ,0250!,0244 0202 ,0197 ,0192 0158 ,0154!,0150) 0122 ,О!19),0116( 0094(,00911,0089) 00711,0069!,0068, 0054 Ообо' 0051/ 00401,0039,*,0038 !' 0030 ,0029 ,0028 0022(,0021 ,0021 0016 ,00151,00!ар~ 406 Таблица 3 Доверительные границы д в случае нормального распределении н довери- тельные границы д' в случае рас- пределения Хз с одной степенью свободы Уровень значимости одно- дзу- сторон- сторон.
ний ний нормальное распределе. нне распреде. ление х' ! !Оо; 59а 2% 1 о%о 0,2% 0 !о~ 1,64 2,7! 1,96 3,84 2,33 5,02 2,58 6,63 3,09 9,55 5% 2,5 еуо ! е,,', 0,5%з 0,1% 0,05% 3,29 10,83 Таблица 4 Критерий Н. П, Смирнова, Точные и аснмптотические односторонние границы для верхней грани разности истинной н эмпирической функций распределении Уроаень значнмостм 1,е Уронень значимости З"и' асимптоти- ческая граница а«нмптоти- ческая граница отно- шение точаая граница точная граница отно- юеане 0,5473 ! 1,074 0,4327 ' 1,056 0,3870 ! 1,050 0,2737 1,034 О, 1935 ! 1,023 0 !73! 1 021 0,627! 0,6786 ! 1,082 0,5065 0,5365 1,059 0,4566 0,4799 ( 1,05! 5 0,5094 8 0,4096 О, 0,3687 1 20 О, 647 40 0,1891 0,3285 ( 0,3393; 1,033 ! 0,2350 0,2399 ! 1,021 0,2107 ! 0,2146 ! 1,019 50 0,1696 !!рн и ) 50 следует применять асимптотнческую границу 1 !г — !п,б в = !! — !7з — заданный уровень значимости), 2п для которой истинный коэффициент доверия нссколько больше заданной величины 1 —,3.
Асимптотическне границы, указанные в таблице, можно даже уменьшить на !/(бп) и при этом коэффициент доверия по-прежнему не будет превосходить 1 — р'. Таким образом, применение асимптотических границ лишь увеличивает надежность критерия. Таблица 4 заимствована из статьи: В1гпЬапш 7.. Чу. апй Т1пяеу 1с. Н., Опе-вЫей сопййепсе сопвопгв Гог ргоЬаЬ1!!ву й1ввт1- Ьцс1оп Тппсс1ог!в, Лпп. МасЬ. Я1аь!вФ., 22 (1959) 595. Таблица 5 Критерий А.
Н. Колмогорова. Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля размости истинной и эмпирической функций распределении Уровень значимости ВМ Уровень значимости ! и н точная ! асимпто- отиограница тнчесьзн ~ манне граница аснмнтатичесва» граница отнонген не точная гравице 0,6685 0,6074 1,0?8 0,7279 0,5! 47 0,4202 1,089 0,5633 0 4295 ! 051 0,3507 1,039 0,4864 1,058 10 0,4087 0,4042 0,3524 15 1,040 0,3375 20 0,3639 1,033 0,3255 1,028 0,2972 1,025 0,2939 0,3165 25 0,2639 30 0,2417 40 0,2101 0,2898 0,2521 0,2574 1,021 ! 1,О!8 0,2260 0,2302 1,О! 6 1,О! 5 1,014 0,2067 О,!9!7 0,1795 0,2!01 0,1945 0,1820 О,!358 ! 1,0!3 !ОО ! О,!340 При и ) 100 следует применять асимптотические границы 1,36 — 1,63 и == и о оо ем,7— о,ог— дл я которых истинные коэффициенты доверня несколько больше заданных величин 0,95 и 0,99 соответственно.
Асимптотические границы, указанные в таблице, можно даже уменьшить на 1/(бп) и прн этом коэффициенты доверия по-прежнему не будут превосходить 1 — ф. Таким образом, применение асимптотических границ лицгь увеличивает надежность критерия, Таблица 5 заимствована нз статьи: В1гпЬацт Х. 'ьтг,,Мпшег1са! $аЬц1а41оп ог $Ье г(1всг1Ьцс1оп 01' Ко1птодоготлв вса4!вы!с, Ю. Агпег. Иа(гкц Левое., 47 (1952) 431. 50 ! 0,1884 60 ~ 0,1723 70 ' 0,1597 80 ! О,! 496 90 0,1412 0,3037 1,033 О 27!6 ! 1,029 0,2480 1,026 0,2! 47 1,022 0,192! 1,019 0,1753 ~ 1,О! 8 0,1623 1,016 ! 0,15! 8 ' 1,0! 5 0,1432 ! 1,0! 4 408 ?абдича б Доеернтеаьние грнннни ддя Ге с? степенями свободы 5 ! и о.! ъ 5", о,!и !т 3,84 ! 6,63 5,99 9,21 7,81 11,3 9,49 1З,З 111 ( 151 12 6 ! 16 8 14,1 18,5 15,5 ! 20,1 16,9 21,7 18,3 23,2 10,8 13,8 !6,3 18,5 20,5 22,5 24,3 26,1 '27,9 29,6 31,3 32,9 34,5 Зб,! 37,7 39,3 40,8 42,3 43,8 46,3 46,8 48,3 49,7 51,2 52,6 38,9 45,6 40,1 47,0 41,3 48,3 54,1 55,5 56,9 58,3 59,7 61,1 62,6 2? 28 42,6 49,6 43,8 50,9 45,0 52,2 46,2, 53,5 47,4 54,8 48,6 56,1 30 31 63,9 65,2 66,6 68,0 33 34 10 49,8 51,0 52,2 53,4 54,6 55,8 56,9 58,1 59,3 60,5 61,7 57,3 58,6 59,9 61,2 62,4 63,7 65,0 66,2 19,7 69,3 !2 27,7 29,1 30,6 21,0 22,4 23,7 37 70,7 13 38 72,1 14 39 73,4 15 40 2э,0 ! 26,3 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 74,7 76,1 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 16 41 17 42 77,4 78,? 80,1 81,4 82,7 18 67,5 68,7 70,0 43 19 20 62,8 71,2 64,0 72,4 65,2 , '73,7 66 3 ~ 74 9 67,5 ! 76,2 21 46 47 23 48 85,4 49 25 Таблицы б и 7 заимствованы из сборника: 11а1с! А., Иа1!вИса1 Тайев апс! Рогпгп1ав, доЬп тт11еу апй Яопв, Хесе Уог1г,1952.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
