Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Если е, + е, ( 1, то либо х, -; — х, ( 1+ е, либо (х, -1- х,) — (е, + е,) > е. Таким образом, событие е, + + е, (1 содержится в объединении событий х, + х, < 1+ е и (х, + х,) — (е, + е,) > е. Ото|ода следует. что зза рл. ХП. Порядковые критерии СлеДовательно, как и УтвеРжДалось, Р1от + о, < 1) отличаетсЯ от П(1) не более чем на 2е. Этот же самый результат можно установить не только в случае д = 2, но и при любом д, а именно При постоянном д и Ь - о случайная величина Г асимптоти. чески распределена, как сумма д независимых случайных величин, распределенных одинаково равномерно в интервале (О, Ь). 55 зл Ж5 Л7 15 в5 тт ев Вв Р и с.

34. Критерий Вилкоксона. Тонная и асимптотическая кривые распределения У. Следовательно, среднее значение этой суммы, равное дЬ12, совпадает с точным средним значением случайной величины У. Дисперсия суммы равна 1 ,—,— дЬ, в то время как дисперсия У задается формулой г', = -, — дЬ(д + Ь + !). При д м 4 распределение суммы можно достаточно точно аппроксимировать нормальным распределением. Поэтому нормальное приближение, найденное Манном и Уитни для больших д и Ь, применимо также для умеренных д и больших Ь, коль скоро д) 3.

Числовые примеры свидетельствуют о том, что Ь не обязательно должно быть очень большим. На рис. 34 изображены отрезок 337 у Вв. Мощность критерия Виякоксони точной кривой распределения (ломаная линия) при д = Ь = 1О и отрезок соответствующей кривой нормального распределения. Согласие вполне удовлетворительное, особенно в интервале между 95 и 90~, который наиболее важен для практических приложений. В интервале между 99 и 100'~ ломаная линия расположена иад нормальной кривой, поэтому, в случае уровней значимости р*и 0,01, применение нормального приближения увеличивает надежность критерия.

Изложенные результаты можно сформулировать так: Пра д > 3 и д+ Ь ~ 20 нормальное приближениедля критерия Вилкоксона оказывается достаточно точным. Если же значения д и Ь не удовлетворяют указанным неравенствам, то следует воспользоваться точным распределением. д. тквлицы для мял ых д и Й В таблице!О, в конце книги, указаны вероятности р(и), соответствующие распределению статистики У критерия Внлкоксона, для всех д и Ь, удовлетворяющих условию д~ Ьт10; р(и) определяезся как вероятность события У т еь, когда нулевая гипотеза верна.

Если в результате эксперимента оказалось, что число инверсий равно а, и если р(и) и,В, то это означает, что, согласно критерию Вилкоксона с заданным уровнем р, нулевую гипотезу следует отвергнуть. При двустороннем критерии нужно и заменить па дЬ вЂ” ес и применить то же самое правило. В случае одностороннего критерия истинный уровепьзначимости не превосходит )3, а в случае двустороннего критерия он не превосходит 2В. Таблица 10 была вычислена с помощью таблиц Ван дер Варта, опубликованных Математическим центром в Амс7ердаме (1952, отчет, стр.

32). 3 64, Мощность критерия Вилкоксона Как и в 3 60, под мощностью критерия для проверки гипотезы Н, отнссительно альтернативной гипотезы П' мы гюнимаем вероятнссть отвергнуть Н,, когда Н' правильна. В пашем случае, согласно нулевой гипотезе Н,, все х, и у„ независимы и имеют одинаковые функции распределения Р(1). В качестве альтернативы мы воспользуемся теперь гипотезс й Н', которая утверждает, что все х, и у„независимы, причем все х, имеют функцию распределения У(1), а все у.

имеют функцию распределения 6(1), отличную ° Г(1). 22 в. л, ввв дер ввокев - ~ооо Гп Х11. Поридкоеме крио<ерии 338 А. СРЕЛНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ»< В СЛУЧЛЕ СПРЛВЕДЛИВОСТН ГИПОТЕЗЫ П' Положим снова 6 =-2;е< Где г;,, = 1, если х, ) у„, и г„, = Π— в противном случае, и опрслслнм среднее значение н лпс«ерси<О У с помоннло то<о же метс„и, которым мы <и льзовалнсь в 3 63 Б. В рсзульта<с получим" б' У=дИр <гни == дИ[(д — Р)ге + (И вЂ” !)ае + Р<11, (2) (3) ГЛС р= ~ 6«) (И«), (4) Д = ! — 1< = ~ И'(Г) <16(Г), (б) ге = ~ [И'«) — д)е (6«) 8 = 1 [6«) — р1е <<р «), (б) р = ~ Ф«) <(Ф « — (») = ~ Ф(;г -1- р) ЙФ(х) = и+и 1 — е ~ <1х ~ е - <(д ~ ~ е "- Гтх<гд, где область интегрирования определяется Нерв|:.енстпом у е: х+ + (». Для того чтобы вычислить этот интеграл, мы введем новые переменные Г и а с помощь<о ортогональном; нресбраз<,пания: т+д=![<2, — и + д = и (<'".

' О«. т оп ГЗ пп» х»я 1З., Оопеимоп< у ип<! ропе< ог ттп<охопе»ее» Ргоо. Коп. !со<!. А!<и<!., А<па»огдип< (Не<<!оп о! Ы < п«Е1, А 54, Н причем со ессх формулах интегрирование производи<си от— но+с . Предположим, например, что х, распределены нормально со средним значением (» ~ О и единичной лнсперсией и что уи распределены нормально с нулевым среди«м з<,аченнсм и единичной дисперсией. В эзсх< случае ~«) = Ф(à — ( ), 6«) = Ф(г), д 64. МощностЬ критерия Еиеле лона 339 Таким образом, получаем ! р=,,'Ц.

' вес. где ооласть интегрирования определяется неравенством а )л2 < р. Если сначала проинтегрировать по 1, а затем по н, то найдем еен( М 1 (8) Тогда гэ = ~ Ф(1 — Ф вЂ” д (е ~Ф(1), а' =. ~(Ф(1+ 1с) — р)е Иод(1). (9) (1О) Подс1ановкой Е = — д можно (9) перевести в (10). Следовательно, го == г-'. далее, если рь заменить на — р., то р псройдет в д и а' — в г'-, т. е. аа перейдет само в себя.

Поэтому ае является четной функцией от (с. Производить дальнейшие преобразования интеграла а' пе имеет смысла, так как при этом не удас~ся получить простое выражение, зависящее от известных функций. Поэтому мы удовлетворимся тем замечанием, что р, г' и а- являются ограниченными функциями от,и (ге и аа даже стремятся к нулю при а- оо или — се) и что эти функции при малых рс можно разложить в ряды по степеням рс, пачинающисся с членов р =-' — + —,= + 1 и (11) 2 2)и (12) (выписаны лишь члены, содержащие )со и рьл).

Наша цель заключается в вычислении мощности одностороннего критерия Вилкоксона, т. е. в вычислении вероятности события У > У, как функции от р,. Обозначим эту функпию Рйе). Она нам, в частности, потребуется для сравнения мощностей критерия Вплкоксо~а и критерия Стьюдента. Ведь, как цам известно из 260, если все х и у независимы и распределены нопмальп > с одинаковыми дисперсиями, то среди всех односторонних критериев с точным уровнем значимости )д, предназначенных для сравнения средних значений х и у, односторонний критерий Стьюдентп является равномерно наиболее мощным.

Так как речь идет об односторонних критериях, то, для определенности„мы снова предположим, что р,~ О. Пусть, например, д~ Ь. Рассмотрим сначала два случая. Первый слу шй: д и Ь вЂ” вслнчнпы одинакового порядка. 22* Гв. ХХД Псрндковые критерии 340 ~п и - ', дЬ (1+ — "' ) ; —,',, дЬ(д+ Ь), (13) (14) в.

пенный сличлсь д н Ь вЂ” Вг.н1чнны ОДННЛКОВОГО 1ЮРЯДКЛ Для опрсделепносги мы предполигким, '1то д н Ь стрсмя1ся к бесконечности таким образом, что отнсшсние д/Ьостается псстоянным, В этом случае Леманн~ доказал, что случайная величина сг распределена асимптотическн нормально со средним значением дйр и квадратичным отклонением сгп. Следовательно, вероятность Р(1и) события У ) 7/р асимптотически равна вероятнссти события ю)Ув, где и — случайная величина, распределенная нормально со средним значением дЬр и квадратичным отклонением оггт ,( ) (дйр Пв) (15) ' В обоих саунанх д- н Л ~, поагоиу, согласно теореме,сфориу. лнроаанной в $ БЗ В, Рдр = 0 (ап) = С(Ь~)д). — Прим.

перев. а Ск1. сноску на стр. 332, Второй случай: Ь велико сравнительно с д, и д безгранично возрастает. В обоих случаях мы будем рассматривать лишь такие значения р., которые являются величинами порядка !/(/д. Так как если ри велико сравнительно с 1/)1д, то искомая функция мощности критерия Вилкоксона и функция мощности критерия Стьюдента будут очень близки к единице, поэтому полное сравнение этих функций (при всех )л ) 0) не интересно. Доказывается это так. Положим à — дЬ/2 = к' и Ур — дЬ/2 = !'. Среднее значение Р равно (р — 1/2)дЬ, следоват льно, оно является величиной порядка (лдЬ. Таким образом, если (л велико сравнительно с !/)Гд, то среднее значение Г велико сравннтелыю с Ь )гд.

Согласно (3), квадратичное отклонение Р являешься величиной порядка Ь )/д и граница Р также является' велнчннсй порядка Ь (гд. Следовательно, вероязнссть события Р > Р'р близка к единице. Так как при любом )л критерий Вилкокссна пе мощнее критериг, Стьюдента, то мощность критерия Стыодента в обоих указанных случаях также будет близка к единице. Итак. мы теперь предположим, что рс является величиной порядка 1/)Гд.

В этом случае в формулах (11) и (12) можно пренебречь членами порядка (ла или 1/д и ограничиться выписанными членами. Если (11) н (12) подстаппть в (2) н (3), то получим д ВЕ. Мои!нагель крол~ерин Вилкокоона Если (11) и (14) подставить в правую часть (!5), го получим Е'(р) Ф (ЬЕЛ вЂ” с), (16) где (17) В. сРАВнение с КРН Герием стьюдентА В критерии Стьюдента для сравнения двух средних (9 29) использусзся статистика ЕЗ и — д Я В ! Дс значений (19) х= (л,-! ...+те), 1 1 у=в(ул ! ... Ргун), (20) (21) 1 + 1) 2: (* — *) е+ Х'!и:и!'- 'е+ + д +ь!' д+ь — а (22) В формуле (19) среднее значение числнтеля Е) равно М, в то время как среднее значение 8е задается выра>конном оил = ( — + „)к-'.

(23) Числи тель ЕЕ представляет собой нормально распределенную сауна!сную величину, у коз арой квадрат ичнсе отклонение является велнчинон того же порядка, что и 1л. Так как квадратичное отклонение знаменателя 8 является величиной более высокого порядка малости, чем квадратичное отклонение чисшгтеля, то отсюда следуем0 что отношение !имеет асимптотически эу же самую функцию распределения, что и отношение Е)/ело. Таким образом, функция распределения ! аспмптотичсски равна функции распределения отношении к — д яо Но случайная иеличина Г распределена нормально со средним н постоЯннаЯ с зависит от ЕЕЕР Напомним, что гРаница ЕЕл была определена таким образом, чтобы вероязпссть события У) Гл при !о = 0 нс превышала Р и при д — и Ь вЂ” о стремилась к ф.

Поэтому вероятность (!6) при )л .= 0 должна равняться лл: сп! — о) = д (18) Асимптотическая формула для функции мощнссти определяется формулами (16), (17) и (! 8). Гя. Л11. Порядковые критерии 342 значением ГА/<гр и едш>ичпой дисперсией. Следовательно, вероятность события д.- с равна ф( — — с), (24) При р< = О снова рслицю иметь место равенство ф( — с) = (3, следовательно, постсяпная с принимает то же самое зпачеяне, что и раньше.

Характеристики

Список файлов книги