Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если в формулу (24) подставить (23), то получим асимптотичсскую формулу для функции мощности критерия Стьк>- лепта ('>5) Р'(р) Ф(Ь'р. - — с), г де (26) Г. ВТОРОЙ случАЙ: Ь ВеликО сРАВнительно с д Пусть теперь Ь Велико сравнительно с д. Если мы сначала д зафиксируем; то можно будет применить методы из 3 63 Г. Сперва предположим, что д = 2 и что х, и х, — фиксированные числа. Сравиеиие (!6) с (25) показывает, ч>о асимпт<>ти мскп ф) пкции мощности Р(р<) и Р'(р<) при бслыпих д и Ь отлггча>огся дру> от друга лишь множителем )г3/и в коэффициенте при 1А. Иными словами, если кригерий Вилкоксопа применяется к выборкам Объема д и Ь, а крпгерий Стьюдепта — к выборкам сбъема д' и Ь' и если д' - д и Ь' — Ь, 3 3 (27) л л то функции мощн<стп Р(р.) и Р'(р<) будут асимптопгчсски равны друг другу.
Указанное свойство можно еыразить и так: исимпгпоп>ическал эффективноегпь кгл<п<ери>< Вилка><сана равна 3/л. Это означает, что для критерия Ст ьк>денга, который является наиболее мощным, объемы выборок д и Ь пу>кио умепыпить в 3/>г раз, чтобы получить такую же функцию м<,щвлости, какую имеет критерий Вилкоксоца, построеппый по выборкам объема д и Ь. Так как отношение 3/и приближешю равно 21/22, то можно также сказать, что критерий Вплкоксоиа, примененный к 22 наблюдениям, приблизительно рав>юценсп по мощисст и критерию Стьюдеита, примененному к 21 иаблк>депию.
Вследствие этого потеря мощности при переходе к критерию Вилкоксопа Оказывается очень малой. Большим преимуществом критерия Вилкоксоиа является, конечно, возможиость его применения в случае распределений, отличных от нормального. К тому >ке Ои требует значительно меньших вычислений, чем критерий Стьюдеита, При больших д и Ь потеря мощности будет совсем незначительной и полностью окупается этими двумя преимуществами. 3 И. Мощность критория Виякокоона 343 Вероятность события у < х, равна С(х,), а частота этого события. как и (!2) 3 бЗ, задается отношением и, й ' Так как частота события по вероятности стремится к вероятнссти события, то величина и, близка к С(х,) и точно так м'е и, близка к С(х,), следовательно, отношение и,+и, С вЂ” =х близко к С(х,) + С(х,). !1оэтому вероятность события У < и или гу и ='<-- = ! д ь (28) аснмптотически равна вероятности события С(х,) + С(хя) < д (29) Если мы снова предположим, по х, и ин независимы и подчиняются нормальному распределению с единичной дисперсией и математическим ожиданием !и (для х) и 0 (для у), то УЯ = Ф(! — ри), С(!) = Ф(!), следовательно, К(г) = Ф ()Р(!) — р~), где )Р— функция, обратная функции нормального распределения Ф.
Согласно нулевой гипотезе, Р = С (или р, = О), поэтому К(М) = й т. е. С(х,) подчиняется равномерному распределению в интервале (0,1). При малых !о, а также и во всех тех случаях, когда о" не сильно отличается от С, отклонение К($) от функции равно. мерного распределения будет небольшим. Во всяком случае, велинша С(х,) заключена между нулем и единицей, поэтому ее распре- Таким образом, функция распределения случайной величины С!Ь асимптотичсски равна функции распределения суммы двух (в общем случае .— суммы д) независимых случайных величин, каждая из которым распределена так >ке, как С(х,), где х,— случайная величина с функцией распределения Р(!).
Функция распределения случайной величины С(х,) равна вероятности события С(х,) < ! нлн собьпия х, < С-'(!), где С-' — функция, обратная функции С, Таким образом, функция распределения для С(х,) задастся форму:кгй К(!) = К(С- (!)), (80) Гл. ХХД Г1орядкоеые критерии 344 деление ограниченно и, значит, существуют моменты всех порядков. РассмотРим тепеРь РаспРеДеление сУммы 6(х,) + сл(хе) или— в общем случае — распределение суммы а(х1) + + а(х,).
Согласно центральной предельной теореме (~ 24 Г), при больших д эта сумма распределена приближенно нормально. При этом д не обязательно должно быть очень бслыпнм: уже при умеренных значениях д приближение оказывается очень хорошим. В том случае, когда се(х!) подчиняются равномерному распределению, аппроксимация стансви1ся отличной для всех д, начиная с д = 4. Если К(!) несколько отклоняе!Ся от функции равномерного распределения, то качество приближения будет лишь немного хумсе. Таким сбразсм, гслн д ~ 4, то распределение отношения и, + ...
+ ие с! А Ь мало отличается от нормального распределения. Для того чтобы утверждение об аснмнтотическом распределении было теорстическн правильным, нужно д устремить к бесконечности. При этом безразлично, сстается ли отношение Ь/д ограниченным или оно стреми~ся к бесконечности, так как в обоих случаях 11 распределено асимптотическн нормально. Если р, не слишком велико, то для практических целей нормалыюе приближение оказывается вполне удовлепюрительным уже при дн Ь~4 н д+ Ь~20. Д. ДРУ! ИЕ СЛУЧАИ При малых д (напрнмер, д = 2) н больших Ь можно применять этот же метод; нельзя только распределение суммы с'(х1) + + 0(х,) заменять нормальным распределением, а нужно воспользоваться точным распределением, для вычисления которого следует применить теорему 111, ~ 4 Г. Если все х, и д„независимы и нормально распределены с единичной дисперсией н средниМИ значениями сс (для х) и 0 (для у) и если д = 2 н Ь-, то прм !З = 0,05, р.
= 1,5 функции мощпсстн критериев Внлкоксона и Стьюдента имеют значения' ссотаеЧственно Р(р) = 0,64, Р'(р) = 0,68. (31) Прн больших д и Ь функции Р(р) и Р'(р) можно вычислять па формулам (!6) и (25), где Ь и Ь' определяк>тся формулами ((7) и Мои д от 11!ко ге! оп В. 1, 1'1оо. Кого Код. Аеас!. Ашигитдапь Яопеи А, бб (!962), 4бЬ. 343 д В4. Мои>несть кринмрин Винники>на (26), а с определяется равенством (18).
Если положим снова ф = 0,05 и выберем Ь рс = 2,03, то получим, что Ь' рс = 2,08 и Р(р) = 0,64, Р'(р) = 0,67, (32) т. е. поч ги тот же самый рез)>льтат, что н (31). Другим случаем, в котором легко осуществляются числовые гнтенкиз, является д = Ь = 3 н ф = 0,05. В этом случае по критерию Вилкоксона нулевую гипотезу Но отвергают лишь ~огда, когда х„х„х, н у,, у,. у, образуют последовательность Уровень значимости прн этом точно равен Р = 1/20. При 1ь = 2 функции мощности критериев Вилкоксона и Стьюдента принимают значения Р(р.) = 0,62, Р'(р,) = 0,65, (ЗЗ) следовательно, разность этих значений столь же мала, как н в предыдущих случаях.
Однако при малых д н Ь критерий Вилкоксона обладает одним недостатком, вследствие которого мощность э~ого критерия в отдельных случаях существенно снижается. А именно, тогда, когда несколько перестановок имеют одинаковое число инверсий. Об этом говорилось в й 63 А н там же был указан соответству>ощий пример. Кол»чгство таких примеров можно увели швать безгранично. Пусть, например, д = 4, Ь = 6 н Р = 0,05.
Критерий Вилкоксона отвергает нулевую гипотезу в следующих случаях, имеющих 21 инверсию нлн больше: 1. ууууууа ххх 2. ууууухуххх 3, уууухууххх 4. уууууз хухх 5. ууухуууххх 6. уууухухухх 7. ууууухххух, Так как заданный уровень значимости равен 0,05, то следовало бы отвергнуть 0,05 210 сочетаний, т. е. 1О сочетаний. Однако если к выписанным семи сочетаниям добавить все сочетания с 20 инверсиями, то полу >нм 12 сочетаний; это количество слишком велико. Таким образом, критерий Внлкоксона с Р = 1/20 не мощ- > См. стр.
432 только что нвтнрованной заметки. ! л. ХХ1. 1!опядкояие критерии нее зого же критерия с ф = ',~„, в 1о время как критерий Стьюдента с уровнем значимости '~„, конечна, значительно мощнее того же кРитеРиЯ с УРовнем значимости '/,я. Точно так жс можно показать, что в данном случае (д = 4, Л = 6) критерий Вилкоксона с )т =- 0,025 не мощнее того же критерия с ф =- 0,02 или двусторонний критерий Вилкоксона с заданным уровнем значимости 0,05 не мощнее двустороннего критерия с заданным уровнем значимости 0,04 и т.
д. Мощность критерия можно было бы увеличить, если в сомнительных случаях вытаскивать карту нз специально по добранной колоды н отвергать гипотезу Н, в тсм случае, когда извлеченная КаРта ОКажстСЯ ЧЕРНОЙ МаСтИ, ОлнаКО ЛУЧШЕ В~СПРЛЬЗОВатЬСЯ более мокиным критерисм, а именно, критерием Л. к изложению которого мы теперь и переходим.
$ 65. Критерий Х А. ЭВРистичсскпп Вывод Количество 1швсрснй равно 0'.=В,.( ня (2) Согласно ьрн1ерпю Вплксксс на, пулевая гипотеза отвергается тогда, когда а, -, 'и„) Ьг, нли и,+вя> Ь, где Ь= — „к. ба Вероятность этого события асимпто|нчески равна вероятности события 0(а;) + С(ля) ) Ь (4) (см. ~ 64 Г), Сначала мы предположим, по у подчиняется нормальному распределению с нулевым средним значением и единичной дисперсией, т. е. (5) ()(0 = гр(г).
Тогда вместо (4) можно написать .Р(х,) + бз(м.,) ~ Ь. (6) Рьссмо|рнм сноса случай д = 2 н Л - и . Таким образом, пусть ло х,, д„.. „уя — результаты наблюдений и пус|ь и,— КОЛИЧССтво ВЕЛНЧНП Уи. МСНЬШИХ 1ЕМ Хн а, — КСЛНЧССтРО ВЕЛИЧИН у„, мсныппх чем х,„г, - — частота ссбы1ня у < я, н еи — частота собьпия у с т. е. 34т д аа. Критерий Х Если х, и х, распределены нормально со средним значением ре и 0 и единичной дисперсией, то равномерно наиболее мощный критерий для прсверки пулевгй гипотезы ре = 0 отвергает эту гшютезу тогда, когда (7) х,+хе> с. где постоянная й выбирасзся таким образом, чтобы вероятность события (7) в случае, если гипотеза р.
= 0 верна, точно равнялась ,б. Это приводит к условию (8) или с = )Г2!!г (! — ф) !9) Критерий (7) имеет асимп1отпчески ту же самую мощность, ч1о и критерий Стьюдепта. В этом можно убедиться непосредственно, вычислив мощвсс|ь крп ~ерик (7) и сравнив ее с асимптотической сцепкой мощнгсти критерия Стьюдента, вгячислеппой в ~ч 64 В. Таким образом, различие асимптотических мощпостей критериев Вилкоксона и Стьюдепта возникает вследствие того, что в леной части (6) стоит Ф(х,) -; Ф(х,), тогда как левая часть (7) равна х, -,'— х,. Статистика х, -'- хе позволяет получить несколько лучший критерий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
