4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 40
Текст из файла (страница 40)
о. п. для большим выборок. Будем далее предползгать, что выполняются условия регулярности, обеспечивающие существование, единственность и асимптотическую нормальность оценки максимального правдоподобия 0 = (Вьы ..., В,л) параметра 0 = = — (Оь ...„ 9,) (см п. 4 2 2.4). Рассмотрим случай простой нулевой гипотезы. Теорема 4.6. Пусть требуется провгрить простую гипопггзу Н;. 6=0р, гдг Вр (бъъ ", О,р) — фиксированная внутренняя точка множества 6.
7'огда для больших выборок (и-ьоо) при выполнении указанных условий регулярности к. о. п. задается агимптотичггки критичгской областью Хр„=(х: — 21пЛ„(х; Вр)~21 а,,), (4,57) т. г. при п-з.оо Рр (Х Ов.2 ья) =Ррр( 2 (и Лл(Х) Вр) ~Хз( — а, г) "» ср П Покажем, что в условиях теоремы Хр, ( — 2 1и Лл (Х; Вр)) -р.
)(Р (г), (4. 58) отсюда следует (4.57). Если справедлива гипотеза Нр, то в силу состоятельности о, м. п, при больших и точка Вл близка к Вга поэтому для (п7.„(6р) = !пав„(Х1 Вр) можно записать разложение Тейлора относительно точки 6„: ! 1 'Ю дз 1п 1.л(6"1 1п 5л (Вр) =1п 7-л (Вл) + -рл 7, — у-,р — (Озл — 9гр) (бгл — бур)г г где !ВР— Ва,'()„— Вр,'. Отсюда следует, что — 2 1п Лл лл 2 (1 п Ел (6,) — 1п Е.„(0р)1 = г ! д 1п(,л(6 ) — "— У' (Врл — 96,) ) (б,л — 9„).
(4.59) я рдбг г.г ! Так как 9».— состоятельная оценка для 0р, а вторые производные функции правдоподобии, по предположению, непрерывны по 6, 168 то, по теореме 1.5, д 1и!.„(6*) нр.д Ы.„(6,) дб; дб; дб, дбг На основании закона больших чисел при и- со величина л 1 дз1п!.л(бр! ! Хт дз(п)(Хр; 6,1 л дбгдбг л а;л дб;дбг р=! сходится по вероятности (по распределению Рь) к среднему ('дз!п)(хз; бр) ' Еь ' ~. Таким образом, матрица предельных значений дбг дбг коэффициентов квадратичной формы з (4.59) совпадает с информационной матрицей! (О,) )см. (2.34)). Далее, из соотношения (2.58) следует, что случайный вектор т)„=1 п (6,— 0,) имеет в пределе такое же распределение, что и нормальный нФ" (6, 1-'(Вр)) случайный вектор т).
Таким образом, правая часть(4.59) имеет в пределе такое же распределение, как и квадратичная форма 9 = =- т)'1(0)т). Но, по теореме 1.9, ЖЯ)=)(а(г), откуда и следует соотношение (4.58). И 3 а меч а н не 1. Првдельные распределения статистик — 2 1п Лл н 1)'„' =- = з1„'1(бл) з)л прн нулевой гяпатазе совпадают, поэтому к. а. и. аснмптотнчсскн эквявалрнтеа критерию вида 14.60) Если здесь матрицу 1(6„) залзеннть на 1(бр), то получим сше один критерий, аснмптотнчсскн эквивалентный к. о. и.
3 а ма ч а я н е 2. Из доказательства аснмптотнчсскоя нармальностн о. м. и. следует [см соотношение (2.62)1. чта в случае одномерного параметра прэдрльныс РаспРедсленна Чл н с1л(бр),'))'л1(бр)1 совпадают. В слУчае вектаРного параметра этот вывод остается в силе, всяк ьгл (бр) г()' л ! (Вр)1 заменить на 11-т(6,)13„(6,)]Дги, где Вл(В! — 1(Гш(б), ..., У„(О)) н Ц (В)= д 1и !.л (6) з'=1, ..., г. Отсюда н нз прсдыдушега замечания следует, чта статистики Я'„" н Р):„"=(1!и) 1!' (6 ) 1-з (бр) Вл (Вр) имеют пРн гнпогсзе Н, одна а та же пРс.
дельная распределение, поэтому к. о. и. аснмптотнческн эквнвалентсн также крнтсрню вида ~(н (Р"л У! — о, г). (4.6! ) Достоннство этого варианта критерия заключается в том, что прн ега нспаль. зазаннн не надо вычислять о. м и.
6 н сго удобно нслользовать в трх случаях, когда явный внд 6л пцлучять невозможно. Итак, в задаче проверки простой гяпотеэы Нр . 6 О, против сложной альтернативы Н,:6 ш 8',(бр) всс трн критерия (4.67), (4.60) н (4.61) аснмпто. тически эквнвалснтны, т. е.
уровень значнмастн каждого нз янх прн л -г.са стремится к а. Рассмотрим важный пример применения изложенных результатов к полиномиальному распределению М(п, р=(уы " Рн)). Пример 4.16 (мгтод отношгния правдоподобия для полиномиального )нтоп)згдглгния). Пусть производятся независимые испытания, у заказ м зргм в каждом нэ которых реализуется один из !1/ исходов А„..., Ал, т. е. наблюдается случайная величина $, принимающая значения 1, ..., А/($ = 1, если реализуется исход А!). Обозначим через р = (Р„..., Рк) вектор вероятностей этих исходов (рь+...+ Рл = 1) и через т *(тм ..., чп/) вектор частот реализаций соответствующих исходов в п испытаниях (ть+...+г»»=п). Как известно (см.
п. 342.5), распределение вектора о и является полиномиал ным распределением М(л, р). Предположим теперь, что вероятности исходов Рь, ..., Р/г неизвестны и тРебУетсЯ пРовеРить гипотезу Н,: р=р', где рп=(р",, ..., Рк) — заданный вектор, удовлетворяющий условиям 0 Р!(1, ! =1, ", 1)/', рь+ + Рк =1. Альтернативная гипотеза имеет вид Нь '. р чь рп.
Здесь роль параметра О =(Ям ..., Я,) играет вектор р, но так как на значениЯ паРаметРов наложено огРаничение Рь+...+Рл = = 1, то желательно это ограничение устранить, исключив, например, Р/» = 1 — Рь — ° . — Рл ь. Таким образом, далее полагаем О=(рь ", Р»»-ь), так что»=б)пьО=/)/ — 1. Оценками максимального правдоподобия для параметров р, являются относительные частоты реализаций соответствующих исходов, т. е. Ф»к я»!!ь, 1=1, ..., й/, поэтому в данном случае статистика отношения правдоподобия имеет вид И т! И яъ! И(~ р/ь ! ! 1 / / Отсюда — 2 1п )ьп (Х1 ро) 2 '1)' ч! 1п т! 1 Вычиолим информационную матрицу 1(Я//).
В рассматриваемом случае вероятности )(х; О) =Рь($=х)=Р„, х 1,2, ..., Ж, удобно записать в виде У М вЂ” ~ !(х Я) — П Р/!!» П Р »п(1 Рь ... Р/г ь)~™ !=ь ' / / где Б»!-символ Кронекера (Ь!! 1 при 1 ! и бг!*=О при !'~!), Отсюда — дп)п) (хь з) ( б!и!Р'+бкп)Р»/ пРи дР! дР! ( б/»„)Р)/ при ! яь. 1'. Так как Еьб/х=Р;Д !) Р», ! ° 1, ..., А/, то Еь, ° 1 дп1п)(Хи зо)~ ~ !!Р~+ !!Р)» пйи 1~5 / цр„ при Иапользуя обозначения, введенные при доказательстве теоремы 3.1, имеем, что 1(Оп) совпадает с матрицей А, а обратная матраца 1-'(О,) — с матрицей Х(й/ — 1), Заметим также, что вектор т)„= /70 кь (т! — пр,')ь п /у! О) /у! т„,~п !!~п \'( /=! Наконец, кь д1п) (Л!; З) ъ~ / !х/ кх/ ~~ "м др! .ь'/ ~ р, р, / р/ р,„ !=/ !=1 и квадратичная форма в (4.6!) также совпадает со статистикой Х„'.
Таким образом, в рассматриваемой задаче критерий можно строить, используя любую из статистик — 2 !и ).„(Х; р') = 2 ~ ч! !п — '„ »/ лп., ~~ (~/ пр!) ла Х у (~/ "Р!)~ т! ' ~ ~ л пр',. Мп=~п — и= /=! Если справедлива гипотеза Нп'. р=р", то з пределе при к-~со все эти статистики имеют одно и то же распределение )('(А/ — 1), поэтому при заданном уровне значимости а критическую границу выбирают равной )(1 „к ь. Последнюю статистику называют статистиков хи-квадрат Пирсона.
В гл. 3 онз была введена нз других соображений. В я 3.2 было получено то же самое пре- дельное распределение статистики Х" при нулевой гипотезе и построен аснмптотический вариант критерия согласия х'. Здесь эти же результаты получены как простое следствие метода отно. шения правдоподобия применительна к полиномиальному распре- делению. Таким образом, для полиномиального распределения метод отношения правдоподобия и метод )(' асимптотически экви- валентны.
С точки зрения простоты вычислений статистика Х„' предпочтительнее статистики — 21пй, но по сравнению со ста- тистикой К' у нее преимушеств нет. 3. Асимптотические свойства к. о. п. Рассмотрим асимптоти- ческие свойства критерия (4,57) [а также эквивалентных ему кри. териев (4.60) и (4.61)! при альтернативах ОФО, и покажем, что критерий отношения правдоподобия соелюяпьелек, т, е. что его МОщНОСтЬ Мтп(Я) =)(Г„!йЬГЬ„, Я) удОВЛЕтВОряЕт ПрЕдЕЛЬНОМу СООтНО- ШЕНИЮ 1!т МГ„(О) =1, Ч/ОФОп.
ДЛя ПрсетптЫ раССМОтрИМ СЛуЧай и со скалярного параметра (» = 1). 171 = ) п (΄— Я,) в данном случае совпадает с вектором ч* (!т' — 1): поэтому квадратичная форма ()„= ь)„'! (Яп) ь). =ч" (Д/ — 1) Хс'" (/!/ — 1) совпадает со статистикой Х.', введенной в (3,5). Далее, для квадратичной формы Я'." в (4.6О) имеем представление ь»/ — ! !1„" =и )~~ ( — + — ~)-„- — Р';) + Пусть 9, Ф 9, — произвольная фиксированная альтернатива, являющаяся внутренней точкой тт. Запишем статистику Л„(Х; 8,) = = Л„(8,) в виде Л„(0«)= "(„') "('1 =Л„(81)чв(9„01). 1.„(е„! !.„(ед Отсюда -21пЛ.(9,)= — 21пЛ„(8,)+и „(9„9,), (4.62) где 2 2 о„(6в, 01) = — — ! п тв (0«, 91) = — (1п У.„(91) — 1и Л, (Ое)) = Введем функцию Н (91= — Е//, (!п)(Х/! О)); тогда на основании закона больших чисел„если истинной параметрической точкой является 8ь то и р и и -» оо — (п 7(х// 9„) — вен(6„), О=О, !.
/ Далее имеем Отсюда (см. (2.16) и (2.19)] Н'(61) =О, Н" (О,) = — 1'(0,) -О. Таким образом, в точке 9, функция Н(9) имеет максимум, поэтому случайная величина о„(9«, 91) сходится по вероятности к положи-тельному числу 2(Н(9,) — Н (8//)1 По теореме 46, ое, ( — 2!пЛ,(0,))- Х/1/, следовательно, из (4.62) имеем, что при альтернативе 9, случайная величина — 2 (п Л, (9,) по вероятности неограниченно возрастает при п- сю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
