4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 39
Текст из файла (страница 39)
оборот. Пример 4.11 (нормальнал-1 людель, оптимальный доверитель. ный интервал для среднего). Рассмотрим модель л / (6, а'). В п. 2 построен оптимальный (р. н. м. несмещенный) критерий провепки гипотезы Но . '8 = Оз, который задается критической областью (4.86). Здсеа Хе, (О) (Х:'ЕГП )2 — 91/а~( з~, <!Е( — Еаз) а/2, Н МНОжс. ство 3(х) имеет 'вид )'и о д(Х)=(6: —,— (2 — 0~С(.„~=~9:2 — — 'Е„Е,~0~2+ Е „~. г- а/3 СлеДовательно, ннтеРвал (л + (аД~ п)(„ет) Явлаетса наикРатчайшим среди всех (! — а)-довернтельных интервалов для некзвестного 'Ез 6' 165 « Х, = х: —,, (хд — )д) ~)(ь,., () 81 ьн ! л () 1д' чм (х! )д) ~х! — а, « «»« 2 ! (4.5!) где а,+а«=а и границы определяются из уравнения (2.80'), Эта область представляет собой объединение двух р, и, м.
одно. сторонних критических областей, приведенных в примере 4.4. Проверим, является ли этот критерий несмещенным. Пусть г„(!) — функция распределения закона )(«(п), тогда, учитывая, что « .2э — У (Х,— р)' =Х» (и) (см. пример 2.29), получаем в~7!» ~„. ! ! (Р(В) = 67(Х,„; 6) =Р„((Ь'„.)+1 — Р„((у! .„.) =ф(1), 1=8870'. Отсюда ф (1) Хй, .й. (12«.,.)-71-...й. ((Х1 ...). Иэ соотношения (2.80') следует, что 1 ! 1 — ! 2 др (1) у э-т«н,«!е д е д — ° /2 хсн, » д х! — а~, «1 З" Г(п)2) Так как Ь*,.
° -)(д-~, то ри ««!'(1) =0 при 1=1, )О при 1)1. среднего закона «»» (9, а') — это значительное усиление результата примера 2.28. Далее, так как р. н. м. критерий против правостаронней альтернативы Н;: 9) 8» задается критической областью, определенной в (4.12), та Хь„(6) = «х: Уп (х — 8)/а(1„$, д)1( — 1„) =а, и поэтому множество У(х) =(9: 6) х — а(„!3 п$. Отсюда имеем, что оптимальный односторонний (нижний) (1 — а)-доверительный интервал для 0 имеет вид (Х вЂ” а! !'Гп, ао). Аналогично, используя критическую область (4. !4), можно построить и верхний доверительный интервал.
Пример 4.12 (нормальная-2 модель, оптимальный доверилдельный интервал для дисперсии), В примере 2.29 построен доверительный интервал Л~(Х) для неизвестной дисперсии вд в модели ьФ (р, 8'), Используя этот результат и применяя описанную методику, получаем, что критерий уровня значимости а= ! — у для проверки гипотезы Н,: 6 =6, против альтернативы Н,.'Одев, задается критической областью Это означает, чта функция мощности %'(6) монотонно убывает при изменении 6 от 0 до 9» и монотонно возрастает при изменении 9 от 9«до оо, а йг(9«) =а, т. е. критерий (4.51) не смещен.
Применяя теорему 4.5, можно убедиться, что построенный критерий является р. н. и, несмещенным критерием в задаче проверки гипотезы Н,: 6 8«против двусторонней альтернативы Н,: 0 эь 8». Одновременно это означает, что интервал Ь»(Х), апре. деленный в (2.79'), — наикратчайший среди всех (( — а)-доверительных интервалов для неизвестной дисперсии 0' в модели д!" 0», О*). Методику, устанавливающую связь между задачами доверительного оценивапия и проверки гипотез, можно применять и в более общих ситуациях, когда требуется оценить не весь параметрический вектор 9 (в случае многомерного параметра), а толька его некоторый подвектор 6!и (так что 6=(вп', О!д!) и о координатах.
образующих подвектор О!", говорят как о «мешающих» параметрах), а также когда соответствующие статистические выводы требуется сделать о заданной параметрической функции т(8) (9 может быть как скалярам, так и вектором). Пусть, например, имеется семейство у-доверительных множеств Р„(х) для 61, т. е. семейства подмножеств параметриче!! ского множества 8«Д1 = «Оп1: (О!'1, 6!") еп 4!), удовлетворяющих условию Р(»»»»»(6!" жй(Х))=д у, У(6!", О!"')ен!д. Определим для фиксированного 6'," подмножество Х,, =Х,, (О,") в выборочном пространстве Х с помощью правила Х«,1 „= «х: 0а»н е:— ея.ээ(х)). Тогда по построению Р (д я, д ) (Х еи Х» д т) = Р(»р»~» ) (6»" еп дт (Х)) ~ у, или Р(дн а~) (Х ~ Х«,д-ч) ~ 1 у Следовательно, область Х, „=Х, 1, а=! — р, задает критерий уровня значимости а для проверкй гипотезы Н«16гп =О'„' (это гипотеза сложная, так как оставляет неопределенным значение О!"). Как и выше, можно провести обратные рассуждения: от задачи проверки гипотезы перейти к задаче доверительного оценивания.
Продемонстрируем эту методику на примерах проверки некоторых гипотез для общей нормальной модели. Пример 4.13 (аби(ая нормальная модель, проверка гипотез для среднего и дисперсии). В примере 2.30 построены доверительные интервалы для неизвестных среднего 8, и дисперсии 6," закона » (81, 9,'). Используя эти результаты и применяя описанную методику, получаем, что критическое множество . ъ~ — — !г — Вд»,' Х1а )!х и и ! е ! ) ~1»-ь/», -д~ (4.52) э задает критерий уровня значимости а для проверки гипотезы а среднем Нь . '8д Одь (О, произвольно) против альтернативы Н,: ОдэьОм, а критерий проверки гипотезы о дисперсии Н,; 6, 0«» (О„произвольно) против альтернативы Н;! 6»Фв,ь определяется 168 критической областью [ср.
с (4.51)1 .2" =(х: пюв (х) ~ 8,",)(" „„,» () (х '. пзв (х) 81,)(»,, » (4.53) Эдесь приняты такие же обозначения, что и в (2.81'). Известно [14, с. 222 — 2281, что критерии (4.52) и (4 53) являются оптимальными (р. н. м. несмещенными), поэтому и соответствующие доверительные интервалы являются наиболее точными. Пример 4.14 (гипотеза а равенстве средних двух нормальных моделей). Пусть, как и в примере 2.31, Х и 1/ — независимые выборки из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Используя результат этого примера, определяющий доверительный интервал для параметра Л = 9," — 9" ,— разности не. известных средних, получаем критерий проверки гипотезы Нв.
Л/ 0 (гипотезы о равенстве средних), который определяется критической областью ,2 =[(х, у):»х — у»~/в ~в,лв~-в [/ ллв (л+т — 2) Эта область задает р. н. м. несмещенный критерий [14, с. 234», тем самым и соответствующий доверительный интервал для Л является наиболее точным. 0 4.5. Критерий отношения правдоподобия представляющая собой естественное обобщение иа случай сложных гипотез ' статистики /(Х) критерия Неймана — Пирсона [см. (4.6)1; как и в критерии Неймана — Пирсона, здесь в критическую область включаются большие значения этой статистики.
Предпочтительнее использовать эквивалентную статистику Л„Л„(Х; 6в) = зир /.„(Х; О)/знр 5„(Х; О), в ее вп е. которая связана с Л„' соотношением Л„шах(1, Л„'). В литературе, однако, чаще рассматривают обратную статистику ).„(Х; 6.) = 1/Л„(Х; 6,) (4.54) и критическую область зцдают в виде Я;=(х: ) (х; 6в) ~с». (4. 55) 160 1. Метод отношекия правдоподобия проверки общих гипотез.
Одним из наиболее универсальных методов построения критериев проверки сложных гипотез является метод отношения правдоподобия, суть которого состоит в следующем. Для проверки гипотезы Н,: О ен 6, ~ 6 против альтернативы Н,; 0 ~ 6, = 6 ~ 6, вводится стапшстика отношения правдоподобия Л„'=Л;(Х; 6,) = зпр /.„(Х; 8)/ зпр /.,(Х; 6), Х=(Х„..., Х,), в ее, " вме. Критическую границу с в (4,55) следует выбрать так, чтобы кри- терий имел заданный уровень значимости ос Рв(Х еБ Хв) 1 /.„(х; О) с1х Рв (Л„(Х; 6в) в-с) ~се, .2", (4.56) в/О е= Ов Соотношения (4.54) — (4.56) определяют критерий отношения правдоподобия (к. о. п.) для проверки гипотезы Н,; 8 ен 6в.
Как было показано в 5 4.2, метод отношения правдоподобия для простых гипотез приводит к оптимальному критерию. В общем случае для сложных гипотез это свойство оптимальности не выполняется Тем не менее этот метод широка применяют, получая удовлетворительные решения во многих практических зз ~зчах. Кроме того, как будет показано ниже, при некоторых условиях к. о. п. обладает свойствам асимптотической оптимальности для больших выборок.
Пример 4.15 (аби(ая нормальная модель, к. о, и. для среднею). Продемонстрируем изложенный метод на уже рассмотренном при. мере 4.13 — задаче проверки гипотезы Н,: Ов О„в модели еФ" (Оь Овв). Здесь 6 (О = (9„9,): — оо < 8, (оо, 8, ) 0» — полу. плоскость, 6,=19=(9ь 8,):9, 8пь 9,)0»-полУпРЯмаЯ, Учитывая результаты примера 2.17, получаем ьор /.„(х; 0)=5 (х; 0=(х, в)) (2пезв)-"!в. ввве Далее имеем зцр 5„(х; 8) =5„(х; (8мь зв)) =(2певв)-"/в, вые. и 1 %в где з, — ~~ (х, — 8вв)' — оценка максимального правдоподобия для 1 диспеРсии Ов пРи гипотезе Н, Так как з",* вв+(х — 6„)', то отсюда находим 2.„* (д)/ь-')-"~в (1 + (в/(и — 1)) м, где ! = /(х) Уп — 1(х — Овв)/в.
Таким образом, между значениями к„и р существует взаимно однозначное соответствие. Отсюда, в частности следует, что неравенство )в„м..с эквивалентно неравенству »!»)в'. Но, по теореме 1.!1, а (!(Х) ~Н,) Я(п — 1), т. е. ста. тистика /(Х) при гипотезе Н, имеет распределение, не зависящее от вмешающего» параметра 6„а именно распределениеСтьюдента с п — 1 степенями свободы. Таким образом, можно рассчитать границу с' при заданном уровне значимости а и получить еле дующий критерий, эквивалентный к. о. пл .2 -( '~!(х)»~/ [здесь !р, „, — р-квантнль распределения 3 (п-1)1, т.
е. приходим к критерию (4.52). Таким образом, в данном случае метод атно. шения правдоподобия приводит к оптимальному критеркю. В рассмотренном примере найдено точное распределение статистики !в (точнее, некоторой взаимна однозначной функции от нее) при нулевой гипотезе, что и позволило рассчитать ссютветствующий критерий. Такое обстоятельство характерно для нормальной модели. Для других моделей точное распределение )ы удается найти не всегда, поэтому для конечных выборок метод отношения правдоподобия не всегда позволяет получить решение задачи.
Б то же время для выборок большого объема при доста. точно общих условиях удается получить простое асимптотическое распределение статистики — 21п Лго которое можно использовать для построения приближенной критической области. Таким образом, в большинстве случаев можно рассчитать простои асимптотический вариант критерия отношения правдоподобия, основан. ный на критической области вида (х: — 21пЛл(х; тгр) ~с). Далее излагаются основные элементы асимптотической теории критерия отношения правдоподобия. 2, К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
