4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 35
Текст из файла (страница 35)
— наблюдавшиеся реализации этих величин, то в этих обозначениях процедура проверки ззианчивается принятием гипотезы Нв нлн Н„прн первом и, при-котором нарушается какое-нибудь из неравенств ае=!и Ав <гг+...+г„<1п А,=аг. а»< О, и, >О. (4.21) Критерию можно дать следующую наглядную геометрическую ьнтерпретацию. Рассмотрим бл»ждающую на плоскости частицу, находящуюся в начапьиый момент времени в начале координат, орднната которой в каждый целочисленный момент времени /=1, 2, ...— получает приращение га Тогда ордината частицы в момент /=а будет равна гт+...+гв н блуждание продолжается, пока траектория частицы впервые не выйдет за пределы полосы, ограниченной двумя горнзонтальнымв прямымн на уровнях и и а (рис 4.2).
Вы д траектории на веркнюю (нижшою) границу приводит к принятию гнпо- В хо е, ис. тезы Н, (Нв). Ответ на вопрос о том. не может ли блуждание продолжаться бесконечно долго (в этом случае процесс проверки гипотезы йикогда бы не закончился), дает следующее утверждение. Теорема 4.2. Критерий Вальда в вврвятяв»тью / эвкинвививтгя зи конечное число шагов, т. в. Игп Ро(т>л)=0 (0=0», Вв). [) Зафиксируем некоторое целое» и введем случайные величины г, = Ег+...+Е„тн=Е»т+...+Ев», .... Тогда событие [ч >»0), эквивалентное собьпню ав с Е,-г-...+Е;( а,, /~»й, включается в событие а <"., -,'—...
..., т!/<иг, /сй. которое, в свою очередь, включается в событие ', т!/!<Ь= =ад — ае, /вйй. Величины ц/ независимы и одянаково распределены, поэтому РЕ (о >»0)» Рв (О), (4.22) где р(В)=Рз(! »1» ' <Ь)=ре(е)[<Ьв). Но Еоц[гв Вот)г=»ав(6) >Ьв, если выбРать»>щах(Ьв»ав(0»), И/о'(9,)). Отсюда следУет, что, выбиРаа», макно обеспечить неравенство р(В) (1.
Но тогда, переходя в неравенстве (4.22) ИО к пределу при й-ьоз, получаеы 1пп Рэ(ч.ли) Вп! Ре(ч)«й)=0. ° Л СО » СО Итак, в претерпи Вальда число испытаний ч до момента остановки с вероятностью остью ! принимает конечное значение. Справедлео и более сильное утверждение. Теорема 4.3. Всг лалглты случайной о«личины ч калечны, с) пусть г ) 0 тогда для производящей функции моыеитов ср (/)=езе«оОО ~ е«»Ре (ч й) »~! имеет место следующая оценка: (/)~ лкч ле«»+' 'РЕ(й«(ч~(й+1)«)~е" чь,' е'»'Рэ( )й«). Ч' »~з »~а Но иэ соотношения (4.22) следует, что Ре (ч ) й«) ( р», р= !пах (р (Ео) р (е!)), и, выбирая «, можно обеспечить неравенство р ( 1, Из этих неравенств имеем, что для любого !~0 ср (/) ~ е«с/(! ре««) при этом ре««(1.
Аналогично, если !(О, то ср (/)( ",~~ еш'РО (й«< ч((й+1) «) ~1/(1 — ре«'). »Р:о для 'любого г((!/«)!п(1/р) ряд для !р(/) сходится; следовательно, существ все производные роизводпые фс»'(О), а тем самым н все ыоменты Ее(ч») р'»'(б). ° е ня Вальда величины Ео(ч) п Е! (ч) конечна. Вычисление этих величин при зада за нных ошнб- 3. О имборе границ в крнтерн и Вальда. Выясним теперь, хек связаны в 4-.21 границы Ао н Ао А в (4.20) (нлн, что то же самое, границы ао и а! в ( .
Д с еероятностямя ошибок а к р. д!млгшгсь Теорема 4.4. Ласлкнкком Ао и А, крилмрил Вальда силы (а, 3) у рлкнн играггнсшвам Ао~ Ао'=(3/(! — а). А!~ А,' (! — !3)/а. (4.23) При гшам если границы Ао а Аз зал«нише их оценка лси А' и А', ша си,ш яагучгккага крин!грив буде«н равна (а'„(3'), гдг а'~и/(1 — В), (3'~(3/(1 — а) н а +(3 (а, (). с Ф ! (4.24) Г) Обозначим через ол ол ез З (Я' ) множество тех результатов наблюдений (хы ..., хл), для ко р то ых процедура заканчнзаетса на ч=л шаге припяти Но(Й!), т.
е., например„ ЯОООО ((х!. -с хс): Ао~(!»/Го»(А! й=1, ..., п — 1 (ю3йол~АО). В силу теоремы 4.2 ОО СО СО РЕ(ч=н)ОО ~Ц~', РЗ(Вол)+ ~ РЗ(®г,)=! (4=Ее Ег) л=! л=! а=1 Далее вмеем ОО СО 1 =Р(Н)НВ-,'~ Р (Ж.)'=А г,'е (Еш)= л ! л 1 1 1 — (3 *= — (1 — Р (Но ~ Н!)) А А! 160 чак нак в точках множества Яш выполняется неравенство (чн (ь~ /А .
Аца. логично получаем В=Р(НО! НД = )'" ,Рес(Х»л) ~ 4о ~ РЕО(ХОО) = л=! л =! = Ао (1 — Р (Н! ! Но)) = Ао (! — и), поскольку в точках множества Я'ол выполняется неравенство игл~Аз(чл. Тем самым неравенства (4.23) доказайы. Рассмотрим тепедь критерий Вальда с границами А; к А;, определеннымн в (4.23). и пусть и и й' — его ошибки. Тогда на основзйпи первой части теоремы должны выполняться неравенства В/(! — со) ~(1'/(! — сс'), (1 — (3)/сс( ~(! — В')/й.
Из первого н еторого неравенств соответственно ямеем 3'~ .=(! — а') й/(! — а) ~(Ц1 — а), а ~(! — 3') а/(1 — 3) ~ аЯ! — (3). Складывая неравенстве (3 — ~Ь.' ~ (3' — а(3' и — и'-г-сс'В ~ — а+ и!3', полу чаем, что (3 — а'~В' — и нли а'-1-(3'-=а+(3. ° На пракпше теорему 4.4 используют следующим образом. Если требуется построить критерий Вальда силы (щ (3), то границы в (4.20) полагают равными соответственно А, 'и А, '(см. (4.23)). В этом случае последнее неравенство (4.24) гарантирует, что суыма действвтельных ошибок й н В' такого критерия не превосходит суммы а+(3 заданных ошибок; далее, обычно а н В ие превышают 0,1, поэта»!у иэ остальных неравенств (4.24) следует, что разность между действнтельньшн и эаданпымн ошнбкзмв в этих случаях незначительна.
Таким образом, можно утверждать, что такой специальный выбор гралиц е крптерпи Вальда приводит к более сильному крвгерню. Отметим в этой связи интересную особенность последовательного критерия по сравнению с обычными критернямн. В обычном критерии для определенна критической области прн выбранном уровне значимости н вычисления веронтностк ошибки второго рода (нли мощности) надо знать рзспределеине статистики критерия и прн нулевой гипотезе н прн альтернативе, при расчете же критерия Вальда не возникает проблемы отыскании распределений. Действительно, границы А,' и А,' зависят только от заданных ошибок и и й н отношение игл/ьол мажйо вычислить иа основании данных задачи без отыскания каких-либо распределений.
Необходимость имать информацию о распределениях прн использовании последовательного критерия возникает только при нахождении закона распределения числа наблюдений ч до принятая решения. 4. О среднем числе наблюдений в критерии Вельда. Рассмотрим вопрос о вычислении среднего числа наблюдений ч в критерии Вальда, Предварительно установим одно интересное равенство, ноторое называется тождеством Вальда. Пусть В„=Ос+...+Оч — ОРДнната блуждающей частицы в момент пре. крашения блуждания (см.
й, 2), Тогда имеет место шаэгдггаип Вагода Ее(ЗО) Еэ(2) Ее(ч). (4,25) () Введем случайные величины У„уе, ..., где ( 1, если решение не принято до л-го шага, ). 0 в противном случае. Тогда 3«л, очевидно, есть функция толька 2„..., Ял ! и, следовательно, не СО зависит от Ул, Нетрудно показать, что Во ,'~~ ~3«ОБО, откуда л 1 Ев (Зч) = ~~'., 'Ее (УОЕО) = Ез (2) ~3~ Ез (Кл) =Еэ (2) ~ Ре (1'л = 1) ° (4.26) »=1 л=! Событие (!'л= !) зквнвалентяо событию (ч)н), а так как для любой пелочнсленной положительной случайной величины х Ех=Р (х=1)+2Р(х=г/+ -1- ЗР (и =3)+...= ~ Р(х/ й)+ ~ ', Р (м=й)+ ~~~~ Р(и=а)-!."- а=! э=э э=з Р (и ~ я), то из (4.28) следует тождество (4.25). ш о=! Пусть теперь заданы значения ошиоок а и ().
Ках показано в и, 'г, г!шктическн при малых а и р границы в (4,21) можно заменить соотэсгс! шпио па 1 — 8 о„'= !и А,'=1п — и о',=!и А, '=.1п —. о ~,„~ — !— (4.27) При малых а и р длина интервала (о,', а',) велика, а величина Еа (2) от а и р ие зависит и, по предположению (см, п, 2), конечна, Поэтому можно пренебречь эффектом превышения суммой 5„границы в момент остановки, т. е. положить 5о о'., если принимается гипотеза Н (!=О, 1). Другими словами, можно считать среднее значение суммы 5 равным приближенно соответствукчцей границе о,' или о,'. Из этих рассуждений и тшкдества Вальда (4 25) имеем Еэ» (т) Еэ, (2) = Еа„(5 ) — о Р (Но ! Но) -! а(Р (Н! ! Но) =- (! — а) а,' 1- по,'.
л оо ! — () Ы ~ к! — — (Бо+ г) — — 6 ( — !и —; Бг — эо 1 — ц г=! еслк нарушаетсв левое (правое) неравенство. р ство. то п инимается гипотеза Но(Нт). Вычислим среднее число наблюдений до принятия решения. з (, ) имеем 6 +6 т ( — (0 — эо)г/(2ог) при !=О Еа (2) — — (6/ — 2 / = ( (6 6 уг/(2ог) прн !=1. Аналогично получаем Еа! (т) ЕЭ, (2) = Еа! (5т) оор (Но ! Н!)+о(Р (Нт, Нъ) =()оо+ (1 — В) о!. Таким образом, Е/(ч)=Е6 (т) можно вычислять по следукицнм приближенным формулам: (! — а) о,',+иэ', ( ) рог+(! — р) о', (4.28) где о,' н о,' определены в (4.27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
