4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Применим доказанный результат к критерию (4.35). Здесь 7,1 (х; 0) = — (х — 9) /. (х; 9); следовательно, неравенство в (4.37) эквивалентно неравенству ь(х; 0,) ае ' — с+с, 2 (х — 8,), которое можно легко привести к неравенству ехр~ М Т (х) — — 2-/'~ с+ с,'Т (х), /из 1 (4.43) где Т (х) = ~/ и (х — О,)/и, М = 0 'и (91 — Ое)/о, с1 = аз ~' и/и. Нера- венство, противоположное (4.43), эквивалентно неравенствам ['1я Т(х) Л/". Статистика Т(Х) при нулевой гипотезе распределена по закону м4 (О, 1),.симметричному относительно нуля.
Отсюда и из (4.42) следует,.что для обеспечения второго из соотношений (4.38) не- обходимо, чтобы интервал (4.44) был симметричен относительно нуля. Это означает, что !(з! = — !(11. Для обеспечения одновре- менного выполнения и первого из соотношений (4.38) надо поло- жить Рм =!ам, где Ф ( — !ам) =а/2. Таким образом, условия (4.38) вы- полняются тогда и только тогда, когда область (4.37) имеет вид Хт = (х: ~ Т (х) ~ =- !аге), Ф = ( — !аге) = а/2, т.
е. мы пришли к (4,3б). Следовательно, по теореме 4.5 крите- " (4.38) я ляется р. н. м. несмещенным критерием проверки гипотезы Н,: 0 =Оепротив двусторонней альтернативы Н,: :8 0. Функция мощности этого критерия ))7 (Хза', 6) = Ф ()гп (6 — Ое) /и — !а(е) + Ф Ь и (9е — 6)/и — [ /з) 8=9е, в которой оиа имеет минимум, равный а. При 9 ~8е мощность строго большу а и стремится к единице при 9-чдмпгэ. р соответствии с теоремой 4.5 график этой функции лежит выше соответствующего графика любого другого несме. Рнс.
4 3 щенного критерия в данной задаче, Сравним функцию йр(Х1„; 8) с функциями мощности соответствующих односторонних р. н. м. критериев йу (Х[, 8) и (Р (Х1'„1 8) (рнс. 4.3). Функция ЯУ (Х,„; 8) всегда заключена между этими двумя функциями (оии изображены на рисунке пунктирными линиями с соответствующим знаком), за исключением точки 8 =Оз, в кото. рой все трн графика совпадают. Это означает, что критерий Х,„всегда менее мощный, чем один из односторонних критериев Х[„или Х1, но всегда более мощный, чем другой односторон. ний критерий.
3 а м е ч а н н е 3. В прнлаженнях теорему 4,5 чаще всего применяют для пастраення р н. м, несмещснных крнтернев в случае зкспаненпнальных моде лей с манатанным атнащеннем правдаппдабня [см. рассмотренную задачу для маделн еьа (6, а')) Излаженне общей саатветствующей теарнн мажна найти, например, в [14, гл. 4!.
0. Лахальные нанбалее вещные арнтернв. На практнке ассбый ннтерес представляют малые атклавення ат нулевой гвпстезы Н,: 6 02. В этом случае прн нсследаваннн свойств крнтерня можно аграннчнться талька аналнзам локального паведення функпвн мащнастн крнтерня (р (6) в акрестнастн точки 6,. Прн такам подходе часта удается пастранть лакальный нанбалее мащный (л.
н. м.) критерий, даже тогда, когда р. н. м. крнтерня не существует, йусть 6 — вещественный параметр н выполнены условия регулярности, прнееденные перед фармулвраехай теоремы 4.5. Кроме того, будем предпала. гать, чта для любой крнтвческай абластн Хг„функция мащнастн (р(8)= =(Р(Хпа! 6) (йг (6,) =сс) аа~Ускает Разлаженне в Рад ТейлоРа в акРестнастн гачкн ак ОГ(0! =а+(0 — 6,) ОГ' (О,)+ — й — ОГ (6,)+..., (4ЛО) (6 — 02)2 Пусть гвпатеза Н,:6 02 правервется пратнв альтернатнвы Н716)ве, Тогда аля палучеввя л. н. м.
аднастараннега критерия пеабхаднма максимизировать велвчнпу йг'(02)= ~ (.,(х;6,) бх прн аграннченнн Ог(6,) ) !. (хг 02) дх=а та 1а Повторяя рассуждения, вспальзаванные прн доказательстве теоремы 4.1, полу. чаем, чта аптвмальнав крнтнческая абласть имеет внд Х1а (х: 221(ж 02)//.(х; 02) ~ахЬ (4А61 где константа с„" ап ределяегся нз уславня яг (01> а.
Аналагнчна, крнтнческая область Я[„(», ь1(х; 62)//. (х; зе)а=се! (4.47) заДает л. н. м. кРнтеРнй в слУчае лсвастаРанней альтеРнативы Н(1 6 ( зе. Прн двустаранней альтернатнве Н,;6 ~ 6е неабхаднма ввестн дапалнмгель. нае условие несмещеннастн крнтеРнн. Чг'(8„) О; татаа л. н м. крнтернем 1/ 0 Закю М 1002 Ь !61 является крнтернй, мзкснмнзмруюшнй 6'" (Ве) — нозффнцнент прн (6 — 6е)з в рзз.
ложензи (4,45). Кзк я при аокзззтельсгзе теоремы 4.5, можно поквзэть что в этом случае оптнмзльнзя нрвтнческзя сблзсгь имеет знд Хга (х; Е.з <х; Ве) ) сг<п (х; Вз) +с<. (х: Ве)), ~4.46) д ГДЕ 1., <Х; 6) — Ьг <ж О) Н КОНСтэптм С Я С, ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ УСЛОВНЗМИ йт пл)=а, дз йг' (Во) =О.
Пример 4,6 <нормальнал.1 модель л. и. л кратерпа длз среднего), Рассмотрим зздзчу проверка гипотезы ЕЕ,~В Вз против зльтернзтнвы Н,;В-,ьб для моделя ыл" (6, оз) Здесь Е.,(х; 0) 1<аз/ол)(д-6)з-л/пз!Е.<к; В), поэтому Е., (х; Вз) л Еа (х; Ве) лз е л Е (х; Вз) оз ' О (х: Ве) ат ее * — (х — 0,), ' —, (2-6,)з- —.
Следовзтельно, облезть (4А6) задается условнеч Т' (х) ж д, Т (х)+ д„т <ю =) л(д — 6,)Ео. Чтобы было выполнено условве несмешенностн, зтз облзсть должна быль снмметрвчной (поскольку рзспределеные статистики Т (Х) пря гнпотезе Н, симметрично относительно нуля), что имеет место только прв В, О. Тзкнм обрезом, условве можно переписать в виде ~ Т (х) ) ~д. Наконец, нз уеловня йг <0,) а нзходнм 0 е ~з, где Ф( — <агз) а/2. Окончательно получаем, что критическая область <4А6) вмеет внд (х|1Т <х) ~~< ), ~ е результат совпздзш с полученным з п. 2.
Это ожндземый результат, тзх кэн л. н, и. несмешенный критерий должен совпздзть с р. н. и. несмешенным крятервем, когда наследный сушествует. Рассмотрим снова односторонние вльтернзтявы и прознзлязнруем более подробно условия в (4.46) — <4.47), Нз основзнви определеняя вклада выборкн <Е(Х; 6) (см. (2.15)] вмеем л — — 1п 5 (х, Ве) Т~ — Еп Е (хгг Вз) ЕЕ <х; Ве). Е.г <х< Ве) д жз д Е.(х: 6) дВ ' 47 дэ ! Кзк поязззно в 1 2.2, аля регулярных моделей 60 ЕЕ <Х; Ве) =О, Пз ЕЕ (Х; Вч) ш (Ве), где Е(0) — функция ннформзцня Фишера. Еслв л веляко, то, по нентрэльыой предельыой теореме. Л„ь(ЕЕ(Х; 0,1)9ПМ<Щ) Е <О, Ц.
<4.49) Слеаовзтельно, при большом обьеме выборки л пря вычнсленин грзвнц в (4 46) — (4.47) можно нспользовзть нормзльную эппрохснмзцшэ <4.49) и в (4.46) преблаженно полагать гага<ДГог<йь) з в (4А7) считать Я*а-Ге )' и< <Ве), где Ф( — Г„) а. Таким обрезом, получено обшее решевне зэдзчи построение з. я, м. односторонвнх крягервев аля больших выборок Прнменян описанный з п.
2 првем обьедннення двух односторонних крыическнх облестей, можно построить в зснмптотическвй двусторонняй крятернй Еег<х; 6,)1нзг )е«<<ай, Ф( — гам) а<2, <4.501 проверка гнпстезы Не 0 Вь протыв зльтернвтнвы Нт ! 6 чьзе. Из свойстве снм. метРнн пРедельного РзспРедызеннЯ ЕЕ(Х; Ве)/)гп зытехзет, что кРнтеРнй (4.50)— несмешенный н не сушествует другого несмещенного крнтерня, который имел бы зснмптотнческн большую мошность. Таким обрезом критерий (4.50) является зоимптотнческн оптимальным критерием протез локзльвых альтернатив.
Построенный прнблнженный критерий <4,50) совпадает с полученным в прнмере 4,0 точным крнтервсм нлс нормальной моделн чьд (6, оз), основанным нз стати- стыке Т (х) )!п (д — Веро, поскольку з этом случае Еl (х< Ве) )Гй Т <х)Ео, з Е(6) 1)оз (см. табл. 2Л). ПРимеР 4.10 (модель Коши, л. к. л. критерий длл параяеглра), Пусть гре. буетсв проверить гипотезу Не<6 Ве протнв зльтернзтывы Н, ейе 0 длн моделя коши ьь <6).
здесь фуякцня вклада я функция лнформацнн соответственно резни <см. пример Гс23,' к лг — В ды 1+<к,— ВР ' Г 1 поэтому прн больших л критическая область крнтеряя зздзется условнзмя 2 )~ 2 ~ч лг — Ве г 1 роверка гипотез н доверительное оценивание. Ме „у чей проверки простой гипотезы о параметре 6 н построением доверя тельной области для этого параметра имеется тесная связь. Рассмотрим для каждого 6, ~ <д какой-либо критерий Хш =Ххз(де) проверки гипотезы Не<0 =Оо Пусть Хе (Ве) =Хгэ(ВВ) — область принятия Не. Тем самым в выборочном пространстве Х задано семейство подмножеств (Хеа(6), 9 ен9).
Определим при каждом х ен Х подмножество,Ф (х) ен 8, положив 3 (х) = (6: х ~ Хе„(6)1. Таким образом, в параметрическом множестве В получаем семей. ство подмножеств (,Р(х), х Вн Х). Рассмотрим случайное множество р(Х). События (6~3(Х)» н (Х ~Хе„(6)) эквивалентны, так как по построенню каждое из них влечет за собой другое, поэтому их вероятности прн каждом 8 совпадают. Но вероятность второго события равна по построению 1 — а; следовательно, РВ(6 Вн 3(Х)) =Рз(Х ыХз„(0)) =! — а„т, е. З(Х) является (! — а)-доверительной областью для 6 (см. (2.88)!. Верно н обратное, т. е. если имеется семейство у-доверительных множеств (ат(х), хан Х) для 6, то множество Х,л =(х: Ое ж ен,хт(х)) определяет область принятия гипотезы Н, л0 = Ое с уровнем значимости а=) — у.
Таким образом, задача построения доверительного множества для параметра 9 и задача проверки простой гипотезы относительно 9 взаимно обратные: если для некоторой моделн известно решение одной из ннх, то по описанному алгоритму можно получить решение другой. При этом р. н. м. критерий (когда он существует) соответствует наикратчайшему доверительному множеству и на.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
