4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для проязвольного последоаателыюго критерия такой же сизы (а, ()) можно показать, что среднее число наблюдений до момента остановки при гипотезе Н. оценивается снизу правой частью соответствующего равенства (4.эо). Таким образом. среднее число наблюдений для критерии Вальда близко к наименьшему значению, т. е. этот иритернй является (с принятой вышестепеиыо приближения) оптимальным. Ь. Иример «эковомичностио последовательного критерия.
Рассмотрим на примере, насколько оэкономичнаг аоследовательная процедура. Пусть дтя различения двух простых гипотез о среднем нормальной случайной величины Го сформулированных в примере 4.1, прнмеияетси последовательный критерий отношения вероятностей. Тогда /г(с!) (к! — 6) (к! — О) 6! 6о ! 0 ' 6!) (429) и критерий Вальда силы (а, р) определяется в данном случае следующим образом. Наблюдения продолжают до тех пор, пока впервые не нарушится кайсе-нибудь из неравенств Ео(т) —,, ~(1 — а) 1п — -(-а!ив 2ог à — в (0! — Бо)г ! ! — и а Е (т) = (БР ! — + (1 — Р) ! — 1.
2сд Г 1 — Рч (0„— 6,)г г( И !Для критерия Неймана-Пирсона с теми же ошибками а и 8 необходимое ,,число исяытаннй я* определяется формулой (4.17). Отношение среднего объема выборки в последовательном критерии Вальда, когда истинной является гипотеза Нм к объему п' равно Ео (т) 2 5 1 -0 л* ('„+Ба)г ! 1 — а !(1-и) !п — + а 1п — ) ц (4.30) и не зависит ни от о', нн от О! — йь (Напомним, что !;г определяется уравнением Ф((о)=сг.) В том случае, когда справедлива гйпотсза Йт, это отношение равно — — (р !ч — + (! — 5) !п — ~.
(и) 2 / ! — в (Б.+Бди'( -1-а х (4.31) Если задаться ошибками сс=8, то ~. =рр. 1п — = — )п — н иэ соот- 1 — Р 1 — а а ношений (4.30) — (4.31) следует, что Ео (ч) Е! (т) 1 — 2ц 1 — а и " 2 ' уп ф(а)' (4.32) !й При а=0,05 имеем Бо=),6449 и, вычисляя по формуле (4.32), получаем гр(а)=0,4897; это свидетельствует, что экономия наблюдений составляет приблизительно 50 '4. Если воспользоваться известной асимптотической формулой йля нормальной фунхцин распределения Ф (к) (2(У, с.
183) — мгз 1 — Ф(к)= (1+о(1)), к-ьоз. (4,33) к)' 2гг то можно показать, что при ц-ьо 1 / 1п1п (1/а)+!п 4х+о(1)г 4 ! 2!п(1/а) ) (4,34) Действительно. так как Ф(Ь )=и то Бо-ь — сгз прн о-ьо. Но Ф(Бч)= = 1 — Ф( — ьо), поэтоыу иа основании (4.33) можно записать асимптотическое равенство !+о (1) -(г/з (62 — ' Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что этому соотношению удовлетворяет величина Г„, определяемая равенством (~о=2 1п (1/ц) — 1п !п (!/а) — 1п 4м-)-о(1). Отсюда н из (4.32) получаем представление (4.34), из которого следует, что прн ошибках а=8- 0 последовательная процедура в среднем приблизительно в четыре раза экономнее оптимальной процедуры с фиксированным объемом выборки, 9 4.4.
Сложные гипотезы Случай, когда основная и альтернативная гипотезы являются простыми, встречается в приложениях сравнительно редко. На практике чаще имеют место ситуации, когда 152 обе гипотезы (нли по крайней мере одна из них) сложные. В этих случаях равномерно наиболее мощные (р. н.
м.) критерии существуют только если допустимые распределения (статистическая модель) удовлетворяют определенным ограничениям. Рассмотрим некоторые наиболее типичные случаи. 1. Р. н. м. критерии против сложных альтернатив. Модели с монотонным отношением правдоподобия. Пусть проверяется простая гипотеза Не.
О= Во против сложной альтернативной гипотезы Нг ! 9 ~ 6,=6' «Ое). Построим для каждой фиксированной альтернативы О, еи 6! критерий Неймана — Пирсона Х!„ =. = Х!„(Во, 0,), как это описано в 9 4.2. Если Хг„(бе, 8,) зависит от альтернативы бз, то это означает, что не существует критической области, которая была бы наилучшей для всех О, ы 6,. Другими словами, в данной задаче не существует р, н. м. критерия. Однако может оказаться, что критерий Х! (Оо, 6,) не зависит от конкретной альтернативы б,: Х;,(6„0,) = Х!,(Оо). Тогда соответствующая критическая область максимизирует мощность при любой допустимой альтернативе и поэтому Х!„(Ое) является р. н. м.
критерием проверки гипотезы Н;! 0 = Во против альтернативы Н,: 6 ен 6ы Такие случаи уже были рассмотрены в 6 4.2. Так, в примере 4.! построен критерий Неймана — Пирсона для проверки гипотезы Но. 9 = бо относительно неизвестного среднего нормальной модели г'"(О, а'). Было получено, что при альтернативе 6 = О! ) Ве критическая область Х!„, определенная в (4.12), не зависит от Вг, следовательно, этот критерий является одновременно р.
н.м. критерием при сложной лравосглоронней альтернативе Нг+! О) 9,. Аналогично, р. н. м. критерием при левосторонней альтернативе Н,: 0(8о в рассматриваемой модели является критерий (4.14). Таким образом, здесь имеем примеры существования р. н. и, критериев при сложных односторонних альтернативах, Если же рассматривать полный класс альтернатив Н,=: = Н! ЦН;: 6чьбе, то р. н. м. критерия не существует, так как всегда один из диух критериев (4.12) или (4.14) лучше любого другого критерия с тем же уровнем значимости. Аналогичные выводй можно сделать и на основании результатов примера 4.2. Сформулируем общее достаточное условие существования р.
и. м. критерия в случае односторонних альтернатив. Итак, предположим, что параметр б — скалярный и альтернативная гипотеза Н! — одностоРоннЯЯ, т. е. либо Нз — — Нге ! 8) Ва, либо Н! —— = Н,: О(6,. Пусть, далее, семейство допустимых распределений ,У. =«Р(к; 9), Оеиб) (здесь 6=«0)бе) илн 6=«6(В~)) обладает достаточной статистикой Т=Т(Х), Х=(Хы ..., Х„) (см. $2.3). Тогда из критерия факторизации [см.
(2.36)«следует, что статистика отношения правдоподобия в данном случае имеет вид 1(Х) =а(Т(Х); 0!),~а(Т(Х); 9,) и, следовательно, критерий Неймана — Пирсона формулируется в терминах достаточной статистики [соответствуюц1ая критическая область выражается через Т(Х)]. в (Т. О ) (Т. "1 сс моделей и, для которых отношение Выделим важный класс м такие мо ел й; з)/й(Т; 9е) является монотонной функцией Т; го дели имеют .монотонное отношение праедоподоб й ; говорят, чтв модели, встпечаю неся и и ия 'многие Для таких мо елей в р щ еся в статистике, обладают этим свой тв .
д лей в задаче пронерки простой гипотезы Н,: 0=8 йством'. те и, против односторонней альтернативы Н р й, который совпадает с критерием Неймана — П з существует р. н. м. к и- верки гипотезы Н, п отив п и е ана — ирсона проы , против произвольной фиксированной альтер- Действительно, пусть, например, Н, =Н+ и п и 0 )6 отношение а'Т. В ' Т 9 а(; !),!д'(; 9,) монотонно возрастает по Т.
ассмотрнм критерий Неймана — Пирсона проверки гипотезы Н я заданным уровнем значимости се и распределением г" 'х; 8 . х; е~. вы з и поэтому одновременно является р. н. м. критерием при сложной альтернативе Н;. Если отношение й(Т; 0!)! (Т 0 ' бй! ° р . ( ненг(паленая модель, р. н. м. критерий л и Приме 4.3 гзксло нссторонней альтернативе). Рассмотрим экспонен на дель введенную в п 3 и 22 И п.
и .. з представления (2.25) следует, что статистика Т (Х) = ~ч ', В (Хд является достаточной и г=! 7 (Х) = ехр «(А (Оз) — А (Оо) ) Т (Х) + и (с (О !) — с (Ое)) ). тонная нк ия Т. Следовательно, если функция А(0) строго монотои ина, то — монофу ци, поэтому для таких моделей всегда существ ет р. н. м, критерий проверки гипотезы Н: 8 = 9 ранних альтернатив.
При этом если А(9) — возрастающая ик- ция, то при альтернативе Н": 0 ) 0 е критическая область имеет вид «Т(х)~со), а при альтернативе Н,: 9(б — вн 'Т Если же ф нкция А 'О! -и у ( ) убывает, то неравенства, определяющие критические области, меняются на противопол П нме 4.4 оложные.
сторонней альтернативе). Пусть в модели ол'"(Р, 0') т еб ется проверить простую гипотез Н:ба=В' у е. = о о неизвестной дисперсии. Э есь десь имеет место экспоиенциальиая модель с Т (Х' = ~ ' а ! — 1з) и А(9)= — 1/(20е). Поэтому р. н. м. критерий против альтерна- гДе Ха, „-Р-кваитиль РаспРеделениЯ Уа(п). Замечаиие 1. Можно доказать 114, с. 1О1', что дп тонным огяожеяием правдоподобия и. о ия р, и. м. иритерий проверки простой гипо- тезы Н» '. 8=8» против правостороиией альтернативы Н,': 8 ) Ор является одноврсяснно р. н, и, критериеы проверки сложной гипотезы Н»'.
8 с-8» проню Н, того же троння зааяныостн. Аналогичное ттвер кдеиие справедливо и аля двойственной проблемы проверки Н»: 8.= 8» йротив левосторонней альтернативы Н;: 8=-8» Пример 4.5 (бернуллиегская модель, р. и. м. критерай для г>днастзронник гипотез). В процессе производства издел>ш обычно подвергают выборочному статистическому контролю. Предположим, что каждое изделие независимо от других может оказаться дефектным с некоторой одной и той же, но неизвестной вероятностью 9(0(9(1) и исправным с дополнительной вероятностью 1 — 8. Пусть для контроля взято и изделий и результат описыеается вектором Х=(Х„..., Х,), где Х;=1„если 1-е изделие дефектно, и Х;=-0 в противном случае.
Часто бывает нужно проверить гипотезу На.О'- В„где Оа — некоторая критическая доля брака (если гипотеза Нп истинна, то процесс производства необходимо приостановить и усовершенствовать для уменьшения доли брака). я При сделанных предположениях число г(Х)= ~", Х; дефектных >=1 изделий в выборке является достаточной статистикой и Жв(г(Х))=. =В((п, 9). Но бнномиальная модель является частным случаем экспоненциальной модели с монотонным отношением правдоподобия, поэтому в силу замечания ! существует р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
