4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 37
Текст из файла (страница 37)
н. м. критерий проверки гипотезы На против альтернативы Н,: 6~9„который задается критической областью вида (г (х) ~ г„'1, Рассчитывают этот критерий (вычнсляют границу г ) так же, как в примере 4.2. Пример 4.6 (бернуллиегская модель (продолжение)). В условиях предыдущего примера иногда применяют другой план контроля, который называется обратным биномиальным выбором. В этом случае испытания продолжают до получения заданного числа г «успехов» (здесь под «успехом» понимается появление дефектного изделия). Пусть У> — число испытаний между (! — !)-м и 1-м успехами. ТогДа Ре(г>=У)=9(! — 9)Я, У=О, 1,..., т.
е. 1'=(г'ь..., 'г',)— выборка из распределения Втг(1, 1 — 9) (см. табл. В.!), которое являетсн распределением экспоненциального типа с Т(т) =- Г =.,5' !'> и А(8) =!п(1 — 9). Так как А(6) — убывакяцая функция 6, > кл то существует р. н. м. критерий проверки гипотезы Н„:8==6, при альтернативе Н,: 9(О„который задается критической областью вида «Т(у) )с). Этот вывод совпадает н с интуитивным представлением, так как при больших значениях 9 естественно ожидать, что г-й успех произойдет достаточно быстро.
Для определения критической границы с используют тотфакт, что ы"в(Т(У))= В((г, ! — 6). Пример 4.7 (модель гамма, р. н. м. критерий для односторонних гипотез). Предположим, что время «жизни» некоторого устройства есть случайная величина $, распределенная по экспоненциальному закону с неизвестным параметром О » О, т. е.
о ($) = г Г(8, 1). Пусть Х„Х„..., Մ—,времена «жизни», полученные при испытании и контрольных устройств. Так как гамма-модель и является экспоненциальной моделью и для нее Т(Х) = ~а Х; и >=> А (В) = — 1>8, то р. и. м. критерий проверки гипотезы На. 8 == Ва при альтернативе Н,: 8 ( 6, существует и задается критической областью вида (Т(Х)(с). Это также ожидаемый результат, поскольку параметр 9 имеет здесь смысл среднего величины $: Е8$=6, и слишком малые значения Т естественно интерпретировать в пользу альтернативы. Заметим далее, что случайная величина 2Х,'8 имеет плотность е-">»72, х)0, т.
е. 28(2Х>/9)=тя(2) !см. формулу (1.27)]. Отсюда на основании воспроизводящего свойства распределения )(» (см. п. 1 О 1.5) имеем, что 2'а(2Т(Х)>9) =)(»(2п) и, следовательно, границу критической области можно определить по таблицам тя-распределения. Именно: так как Рв,(--Т(Х)==т', з )=а. то се» критическая область 2" щ = (х: 7 (я) ~: и Ха, зя) 1(х) = й (х; 8») при х,т>= ппп х;- Ом, !~>~я со в противном случае, поэтому неравенство !(х) =-с эквивалентно неравенствам (к,т> с От») () ()(Х =с, х>т>~6»в).
ПРи гипотезе Ня событие (Х,т>--:Оа>я) имеет вероятность 1, поэтому, определив с„из условия Ра,(Х =св) =са, получим, что критерий Неймана — Пирсона имеет вид .Т» = = (х: х<т> .-,Оы либо х ( с„) н не зависит от альтеРнативы О,; следовательно, он одновременно является р. н.
и. критерием для всего класса альтернатив Нт. 2. Проверка простой гипотезы против двусторонней альтернативы. р. и. м. иесмещениые критерии. Как отмечалось выше, даже для экспоненциальных моделей с монотонным отношением правдоподобия р. н. м. критерия для двусторонней альтернативы Н„= =Н;()Н;: Вчь0» (9 — скалярный параметр), вообще говоря, не 187 задает р. н. м. критерий уровня значимости сс в данной задаче.
Пример 4.6 (экспоненииальная модель с векторным параметром, р, н. м. критерий для нее). Пусть семейство допустимых распределений задается плотностью ) (х; 8) = — е-<'-а >>а*, х--О„т. е. 1 здесь В=(0=(9», 0»): — оо(6» "оо, Оя.» 0). Проверим простую гипотезУ На:О=Во=(8ы. Оя») пРотив альтеРнативы Н».0»~8»а, 6, -6„. Следуя общему принципу, зафиксируем некоторую альтернативу 6, =-(Окь Ом) и построим критерий Неймана — Пирсона проверки гипотезы Н, против этой альтернативы.
Здесь . В этих случаях обычно поступают следующим обра- зом: используют статистику Т(Х), с помощ р существует. ом ью кото ой строятся р. н. м. . критерии против односторонних альтернатив Н, и н задают критическую область в виде Х»п = ( ( ) —.- ) () (Т(х)= со",), т. е. объединяют две соответствующие одиосторонрит ческие области с уровнями значимости а, и а, такими, что а,+со» =а.
Таким образом получают критери ' ур значимости а. име е и ове ки Рассмотрим применение этого правила на прим р р р гипотезы Н,: О=В» против альтернативы Н,: 9~9» для нормаль»в (6 о»). Как отмечено в начале и. 1, р. н. м. кри- иой модели (, о . а нативе Н теряй уровня значимости а» прн левостороннеи альтер 1 задается критической областью Хо», — — ~х: (г'и/о)(Х Во)~ 1»Д~ Ф( (а) =а«, а р. н, м. критерий уровня значимости сс, прн правостороиней альтернативе Н," — критической областью Хфсо = 1Х. ()~П/О)(Х вЂ” ВО) «»ФДАД Ф( ор) =а» И Следовательно, в данной задаче можно использовать любо рлюбой к и- терий вида Х =~х:(3~ и/о)(» Оо) — 1», либо ф и/о)(» Оо) «1«Д> Ь»= Х ° П О о, (4. 35) ад+а» = а.
Интуитивно предпочтителен выбор «симметричиого» критерия, т. е. когда а»=а« =а~2; в этом случае критерий имеет внд Х ' = ~х: ф'и /о) ~ Х вЂ” Во / «(„П), Ф ( — 1«м) = — =а 2. (4. 36) Чтобы исследовать свойства этих критериев и выбрать среди — 4 13) и 4 15 от им ф нкцию мощности Ф'(Хмд 9)= =Ро(ХяХ1„)+Р»(Хаву.,).
Из формул ( . и Яг (Хмд 6) =Ф()'и Ыо — 1,„)+Ф( — )/и Ь/о — У„,) =ф(Л), Ь=Π— В. Исследуем мошность как функцию Л. Ее р Е пе вые две производ- ные соответственно равны ф(й)=о г' з (ехР) 2 (, й (он)1 ехР( х ~ в ~+(~Д »р'(Ь) = — "~,4, — —" Л) ехр ~ — — ~ — Ь вЂ” (о,) ~+ +~ — Ь+(а~)ехр( о ( в й+(~о~) ~~' Отсюда и~ее~, что ф' (Ь) = 0 ~~лько при Ь = Ьо = а ( о, — о„° =а 1 -1 )г(23/ц~». В этом случае »1 'ф"(Ьо)==(1«о+1«,) ехр~ (1а,+(аа) (' во у'З О Г При малых а величлиы 1, и 1,„, положительны, поэтому ф" (Ьо) -» О, т.
е. о» вЂ” точка минимума функции »р(Л). Поскольку Ло= О только при ад=а»=а/2, а»р(0) =Ф( — Юа,)+Ф( — (а,) =а»+а»=а, лишь для «симметричного» критерия (4.36) вйполняется условие %' (Х»„, 6) «а. В остальных случаях (т. е. при а» Ф а») критерий (4.35) при некоторых альтернативах имеет мощность, меньшую а, т. е. является смещенным критерием [см. условие (4.5)].
Таким образом, среди критериев вида (4.35) только «симметричный» критерий (4.36) — несмещеиный и, следовательно, ему надо отдавать предпочтение. Критерий (4.36) на самом деле обладает наибольшей мощностью среди всех несмещенных критериев уровня значимости а, т. е. является р. н. и. несмещенным критерием.
Это утверждение есть следствие приведенной ниже теоремы об общем виде р. н. м. несмещенного критерия. ~Пусть 6 в интервал действительной оси и Оо — внутренняя точка 9. Пусть, далее, девуствмме распределения абсолютно ие. прерывны и функция правдоподобия Ь (х; 6) имеет во всех внут= ренних точках интервала В производную †' = о.д(х; 6) такую, дс (х; 6) дб что 1А,(х; В) ~ -М(х), где М(х) — интегрируемая функция на Х ! тогда — Е (х; 8) дх = Е, (х; 6) йх для любого подмножества д Г 3: — Х н любого 6), Определим, наконец, множество Х»„=(х: Е(х; 9») «сЕ(х; 6»)+с»А»(х; Во))„ (4.3У) где 6,~ Во и постоянные с«О н с» определяются (по предположению однозначно) из условий Ро.(Х»„) = ~ Е(х; Оо)йх=а, Ро,(Хь») = 11 Е»(х; Оо)дх =0(4.38) 4»о Ао (для краткости здесь и далее пишем Р»(л) вместо более строгой записи Ро(Хая 3), где 3 с: Х).
Теорема 4.5. Если мнозсеспмо Я;„, определенное в (4.37), не зависит от О„то оно задает р. н. ло. нес»«ещенный критерий уровня значилюста а для проверки простой гипо»пезы Но'. 6 =6о против двусторонней альтернативы Н,: О чь Во. П Рассмотрим любой несмещенный критерий Х,„проверки гипотезы 6 =9».1Тах ках В'(Хвй 9,) =а и производная функции мощности по В существует, то йг (Х,„; В,)=О.
(4.39) Но Ро,(Х» '~Х»«Х»о) =а — Р»,(Хь»Х»») =Ре,(Х»а'~Х»»Х»о) '(4АО) в силу соотношений (4.39) и (4.38у имеем Ов(Хы ~ Хь»У ь») + ~»а (Х»»Хы) = Оо (ь(Х '~Х„Х )+Ро,(Х Хо)=О, т. е. выполняются равенства Рв,(Х1а' ХтаХ12) = — Ре,(Х1 Хь, ) = Ре,(Хта ~Х,„Хщ). (4.41) Из определения (4.37) множества Х,„и равенств (4.40) и (4.4[) получаем следующую цепочку соотношений: Ре, (Хта'~,ХтаХ1а) == =» сР0, (Хт '.ХгаХза) + с,Ре. (Х,„'~Х1„Х1„) =сР0.(Х~.".Х1«.2'1.) (- -г-сгрв.(Хщ~,ХтаХта))Ре,(Хгх~,ХтаХ~ ), откуда следует, что Рв, (Х, ) ==-:Рв,(Х1а).
Тем самым показано, что критерий, опираю- щийся на критическое множество Х,а, является р. н. м. крите- рием проверки гипотезы 9 =9е против альтернативы О, в классе всех несмещенных критериев Хщ. По условию, множество Хгт не зависит от конкретной альтернативы О„поэтому этот критерий одновременно является р. н. м. несмещенным критерием против любой допустимой альтернативы 9 ~йОз. ° 3 а 21 е ч а н и с 2. Аналогичное утверждсппе спраеедлпва также н аля днскретных распределснпй с теми же оговорками, чта н прв пастраеннн крн- терня Неймана — Пирсона в 4 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
