4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Отсюда следует, что при п- ос (Х/х (91) = (ьое, ( 2 1П Лх (бв) ~ Х/ — а, 1) ' 1. Таким образом, для к. о, п. последовательность функций мощности ( сх при 9=9,, %'„(О), и = 1, 2..., сходится к функции ь(9) =' ( 1 при Оные« Это означает, в частности, что критерий отношения правлоподо.
бия асимптотически не смещен. Итак, если альтернатива О, фиксирована, а объем выборки .и- ос, то мощность к. о. п. стремится к единице. Однако если изменением и изменяется и альтернатива (О, = 9',"'), «приближаясьэ к нулевой гипотезе (О/ /- О«при и- оо), то мощность /Р'„(91"'), вообще говоря, уже пе обязательно стремится к единице. Характер асимптотического поведения мощности при таких «близких» альтернативах зависит от скорости сближенкя альтернативы с проверяемой гипотезой, и для ее вычисления надо исследовать 172 предельное распределение статистики — 2!пЛ (Х; 6,) ие только при гипотезе Не (что было сделано в теореме 4.6), но и при альтернативах. Теорема 4.7. Лусп/о близкая альтернатива 9',"' имеет вид 91 ~=9«+р/'р'п, где ()=(()1, ..., (),) — фиксированный ненулевой вектор.
Тогда при выполнении условий регулярности теоремы 4.6 и п-ь.сс Ж /„/ ( — 2 !п Л, (Х; Ое)) -» Х' (/-1 Л'), 1 (4.63) т. е. (см. п. 1 9 1 6) предельное распределение статистики — 21пЛ„(Х1 9,) при рассматриваемой алыпернативе является не- центральным распределением Хе с числом степеней свободы г = с((гп 6 и параметром нецентральнос/пи Лэ, вычисляемым по формуле Л =()'!(9,)(). (4.64) Приведем идею доказательства этого уп/ерв/донне, огрвнячнвшнсь случаем сквпярного параметра (дэя многомерного пврвметрв рвссуждення обобшвются непосредственно). Имеем т.
е. получены утверждения (4.63! — (4.64! вля г=1. Итак, для близких альтернатив вида 9!"/= Ов+6)ре/'и мощность к. о. п. удовлетворяют при п-»со соотношению ((та (61 ) -/ 1 — Р» (Х1 — а. /: Л ) (4.67) где Р,(1; Лэ) — функция распределения закона Х'(г; Лг). Для более близких альтеРнатив (слУчай. Лв- О или Ех п(9',"' — Ов)-»-0) мощность стремится к уровню значимости а, т. е. такие альтернативы по к.
о. п. асимптотически от нулевой гипотезы не отли- 173 — 2 Ьх Л„(8«) = 21!и 7// (6 ) — !и ~„(6!1"/))+2 (1п А„(6/'/) — 1п Ь (Е )3. (465) Пусть спрвведлнвв вльтернвтнвв, т. в. 61"/ — нстнннзв пврвметрнческвя точка. Тогда вз доказательства теоремы 4.6 имеем, что первое слагаемое в (4.65) имеет в пределе такое же распределение, чю н случайная велнчнвв с« /(6 /чх, где Х(ч)=о«/ (О, / 1(6«!); следоввтельно, Ж(ь)=е»//" (О, 11, Далее, по фор- муле Тейлора второе слегвемое в (4.65! равно 2 г' и (911" / — 6 ) — !/„(6~1" /) — П (61/" / — 8 ) — (/„' (9"), (4,66) я где /6 — 8« /(16, / — 6 /.
Здесь прн больших и нв основании закона больших чисел слУчвйнУю велнчннУ (!~п) У„'(9'! можно звменнть константой — 1(6«1, в случайная величина (1Д' и)(/в (6/"/) нв осповвпнн центральной преаельпой теоремы вснмптотвческн нормвльйв а;,Ф" (О, 1(9,)). Поэтому все вырвженне (4.66) неограниченно возрвствет, если )/п(6!"/ — 6 )-» о»1 сходится я нулю, есян )/п(8!"1 — 6 )»О, н сходятся к 2!3)/Т!6)4+6«/(6«), если )/ п(81'1 — 9) ~-р.
Онончвтельно можно звпнсвть лу !„1( — 2!ил„(х; е В ~((~+66г/(й,!)')=Хе(1; 911(йй), 91" чаются. Волне далекие альтернативы [случай )ьз-ь оо или ')с'п(8<!" — Пэ) — оо) критерий улавливает с вероятностью, стремящейся к 1 при и- со, когда опи верны, поскольку для таких альтернатив мощность стремится к единице, Эти же выводы справедливы и для критериев (4.60) и (4.6!). Пример 4.17 (полиномиальное распределение).
с.'[ля локальных н альтернатив р<»<=р';+рсэс[: и, [=-1, ..., Ф, Я Р<=0, параметр с ! нецентральности Аз равен (см. пример 4.[6) Х= У' В)(' — ',+ —,' '+ — „' ~~) [),Ру= с=! с. с=! с~у Следовательно, мо!цность любого из полученных в примере 4.!б критериев при такой альтернативе равна в пределе (при и со) с ! — ~н-!'Х(- . м- ' Х ММ~ 4, Асимптатнческие свойства к.
о. н. (сложная нулевая гипотеза), Ранее рассматривалась задача проверки простой гипотезы. Но оказывается, чта все важные асимптатнческне свойства критерия отношения правдоподобия сохраняются в для случая сложной нулевой гипотезы. Приведем формулировки соответствующих утверждений <докэзасельстэа можно найти а [26! и [27!). Пусть требуется проверять сложную гипотезу Н». 9 щ 6» ~ 6, т.
е. подмножества 6» не сводится к одной тачке. Альтернативная гипотеза также сложная н имеет вид Н,«6 «ни';6Ь Рассмотрим типичную задачу, соответствующую случаю, когда 6» — евклидова надпространство размерности меньшей, чем размерность всего параметрического множества 6 (напомним, что 6 †ли все г-мерное евклидова пространство и' при некотором г гк 1, либо ега подмножество той же размеряости г). Пусть з= сищ 6», так что з ~ г = = сиги 6; тогда значение аврал!стра 9 ьэ 6» можно выразить в виде функции некаторогп нового параметра Ь=(6,, ..., 6«) с некоторым миажествам возможных значений 6, т. е.
6» имеет параметрическое представление в терминах параметра 6: (с 6»=[6=(6„..., 6,): 64 и(6), 6=(6„..., 6») (ш 6). (4. 68) В общем случае будем предполагать, что функции Ь (6) =(я! (6)...., Л,. (6)) удовлетворяют следующим условиям регулярности: они трижды непрерывна днфференцнруемы, н ранг матрицы их правзводных ~ дас (6)сдб;, равен з всюду в С(с.
Другой, эквивалентиыв, способ задания нулевой гипотезы состои~ в следующем. Обозначим через 6'э совокупность тех координат вектора 8, которые являются взаимно однаэначнымн функцилми от 6. Предположим для простаты, чта 6'э'=(8»+,, ..., 6„). Тогда Ь можно выразвть через за' н записать 6 Ь (6"). Есл»й теперь ввести функцаи Н, (9)=зс — <сс (Ь (9 з )), 1'=1, ..., г — з, то гипотеза Н,: 6 еэ 6» принимает внд Н:Н (6) О, (4. 69) Таким обраэоы, гипотезу Н, можно задавать также указаняем некоторого чясла ограничений иа возможные значения параметра 9.
Выделим часто встречаю!либаи в приложениях случай, когда 6» задается как иилиидрисмгкаа ладмнажеспию 6, например 6» (6: 6=<8м, °... 6«-»,ь 6«» 1, . 8«)), <4.701 где ем, <=1, ..., г — з,— некоторые фиксированные значения каор в ат Эта частный ввд гипотез (4.68) и (4.69) н сводится к внм, если д и положить 6=(6,, 1, ..., 6) н )сс(6) =Ив, )=1, ..., г — з, а! СЬ)=за 1' = = г — а+1, ..., г, Если 6» имеет вид (4.76), та гипотезу Нэ . '9 щ 6» назйвают аилейпай.
Таким образом, линейная гипотеза — эта гипотеза, финсирующая 9(! значения частя координат зп' параметрического вектора 6 [в данном с, нн и случае = <8„ ..., 8,,)), остальные координаты 9'«' [и данном случае за' = = <6, «„, ..., 8«))-«мешающиеэ параметры. Пусть проверяемая гипотеза задана в параметрической форме (4.68).
Если функцию правдоподобия наблюдении рассматривать прн зтай гипотезе, та она является функцией нового параметра 6. ь (к, 6)=Е, (х; Ь(6)) н при выпол- нении всех условий регулярности оценка лсакснмального правдоподобна 6» параметра 6 будет обладать стандартными асимптатическими свойствами Это позволяет провести асимптотическое исследование статистики отношения правда. подобия (4.64) (аналогична проведенному в л. 2 и 3), которая в данном случае имеет внд Х„(Х! 6,)=йа(Х! Ь(6„))<йм(Х! 4.), (4.75) 175 н по11чкть для больших выборах (при я-ьаа) следуксщне рез)льтатьс П Ж( — 2<и Л„(Х! 6,)1Н„) Х ( — з); (4.71) 2) критерий отношения правдоподобия, основанный на критической области 'В!а=[к' 2)!!с«л (х< 6в) ~хс-а, г — »)» (4.72) состоятелен; 3) в случае линейной гипотезы (4.76) этот критерий имеет асимптатнческн невырождающуюся мощность (т.
е, мощность, стреыящуюся при и- са к нш которому пределу у, а цу(!) для локальных альтернатив вида 8<(п = с! = 6<« — 'Рс/У и, «=1, ..., г — з, равную 1 — Р с';)(« (-» !21 — а, г — «' )( (4.73) где ь«9 Ха[6')=Р'(! '(г — з))-«Р, 9*=(еы, ..., 6..., 6,,+,, ..., 6,), Р =(р„..., р,,), 1 '(г — з) — главный минор порядка г — з матрацы 1-1(6') (выражение для параметра нецентральнастн в случае задания гипотезы в виде (4.68) нли (4.69) ыожно найти в [26)), Отметим, что все полученные .ранее результаты для случая простой гила. тезы Н, можно получить нз лринедениых при з=б. Пример 4.18 (общая карма,сьииа модель, к.
о. л. для дисперсии). Применим сформулированные результаты к задаче проверни сложной гипотезы Н: 6 =8 (, пРоизвально) длн ноРмальной модели е Р (6о 8!). ИспальзУЯ РезУльтаты 6 и » ° з= «» примера 4.16, иайлем Р,„(х) = (Р/9«,)~С ехр [ — (п<2) (э""((6[, — 1)) вли — 2 1л Х„(х) =и («э<8[, — 1) — и 1л [1+(зэ/61» — 1)[. Выборачнан дисперсия Я« является состоятельной оценкой теоретической дис- персии, поэтому в случае справедливости гипотезы Н, отношеяне за<6««» и и больших л близко к единице и ь «» при — 2 1п Х„(х) (л[2) (э«<61, — 1)з.
(4.74) В рассматриваемом случае параметры г 2, з 1; следовательно, к,о, л, (4,72), есля учесть (4.74), можно записать в виде .В !а= (х ' (я[2) (э(«((8!«1)~~ Х[-а, !) ° В данном случае утверждение (4,7() легко получить непосредственно вз (4.74). Наполлнюл, чта, па теореме 1.10, а (пбз/6)л) Нл)=;(з (л — 1). Далее, если воспользоваться свойством заспронззоднмостя распределения уз.н запнсать представление Х»=У,'+...+Хл л, где Ж [Хз)=У»(н — !), слагаемые независнллы и к (уе)=уз(!), 1=1, ..., л — 1, то по центральной предельной теореме прн н- со нмеем ,Ж, ' /Хл — (» — 1) 1 ,Х'(О, П ()' 2 (н — !), (см.
п. 1 9 1.5). Таким образом, прн н-лоп 1 1нбз х~ ~ — — (и — 1)~! Но~ 'му (О, 1). У2(н-1)! 6(, Последний результат справедлнв к для статнсгнкн (1()' 2к) (пбзгэ!л — я) = = )~нг2 (Зт/В)л — 1). Отсюда н из (4,74) следует, что прн гнпатезе Нл статисл яка — 2(п "»» (Х) распределена при больших л приближенна так же, кзк квадрат нормальной ( '(О, 1) случайной вглнчнни, т е. по закону уз (1), что н утверждается в (4 71). Рассмотрим теперь локальную альтерпатнну В~~",1=6 +р/)гн, где 11~0, н вычислим предельную мощность (4.73) прн этой альтернативе для критерия (4 75). Информационная матрица 1 (6) для люделн иг'" (9,, 8»л) вычислена в п. 5 1(8) О !! РВ» 0 6 2 2 н имеет вид 1 (6)= ' 1.
Отсюда 1 л(6)=~ '!. Главный чинар 0 2/8) / ~ 0 Вл/2 !~ этой матрицы, соответствующий фйкснруемому гнпотезой йараметру, есть 8)/2, поэтоллу параметр нецентральнгюти )лз в (4.73) в данном случае равен 2()лгВ".;л. Окон ~ательна имеем: искомый предел мощности равен 1 — Гл (Х! „,,; 2()з,'9»л,). 5. Давернтельные областн макснмальвага правдоподобна. Йэлаженные результаты дают возможность получить общее решение задачн данерительнога аценивакия параметров распределснай для общих параметрических моделей.. При юом используют методику, кзложенну~о в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
