4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 42
Текст из файла (страница 42)
4 6 4.4; в результате полу. чают доверитель»и» облегши максимального правдоподобия. Далее будем пред. полагать, чта вьлполняются стандартные условна регулярнастн, формулируемые в аснмптотнческоа теория крнтерия отношения правдоподобия. Рассматрич к. о п. уровня значимости о=( — у для простой гипотезы 6=(9л, ..., 8,).
Согласно (4.57), область принятия этой гнпотезы .в случае больших выборок имеет вид Х»т(9) =(х".— 21п Х„(х; 6) «ут» „'). Отсюда имеем, что Ю (Х) = (9: 21п )л„(Х; 6) «. у'-,) (4.76) — аснмптатнческая у-доверительная область для параметра 6, так как, па теореме 4.6, при и ос Рз(6 ем Я'т (Х)) =Р ( — 2!и )л„(Х; 6) СХ",) У, )(9 лм В, Определенное таким образом случайное пашгножество параметрического шюжества В называется 3»агритг»ьной об»остью максимального правдоподобия. Такнм образом, множество (4.76) строится на аснаваннн статнстикн отношения правдоподобия й» (Х; 6)=5„(Х; 6)/5„(Х; 6») к включает все значения параметра, прв которых функция праюлопоДобня близка к своему максимальному значению 5„(Х, 9»), нлн, как говаряг, асе достаточно празден»дойные эничглил 9*.
В частности, наиболее правдоподобное значение параметра— " Если й (Х; 6,) ~ й (Х, Вз), то говорят, что значение параметра 6, Волге нпоадоглодобно, чем значение Вл. оценка максимального правдаподобня 9 †всег прннздлежнтж (Х)(рнс. 4.4). Прнблнженную доверительную область максимального правдоподобия можно построить н для произвольной . л' созонупностн коордннат параметрнческаго вектора 6 прн наличии мешюощнх параметров. Пусть, например, требу- 0 8 етса оценить кооРдннаты 6'н=(йл. 9 Ф) 6, г) (остальные координаты 6'з' = = (6, г,л, ..., 8,) яз,тяются мешающими Рис.
4А параметрами). В этом случае следует рассмотреть лннейную гнпатезу относительно 6о' (см. предыдущий пункт], вычислить статистику Д„(Х: Во')'= лпр 1.„(Х; (6'", 9'з'))Д.„(Х; 6») Всь в на основании (4.72) положить ~т(Х)=(зл: — 2)п Х»(Х; В~л~)«утл, г), Это н есть искомая асямптотнческая у-доверительная область для 6'л', так как нз (4.71) — (4.72) следует, чта прн и-ьсо Р (6'л' ш ж (Х))=Р ( — 2!п )л»(Х; 6'л') «Хтл ) — ь у, Вг9 лн В. Сделаем несколько общих замечаний о крнтернн отношения правдоподобна. Применяя метод отнашення правдоподобия н используя прнведенные предельные теоремы, можно получать асимптотическое решение шнрокого класса задач.
В то же время этот подход имеет границы прнменнмости, Так, в случае его вспользовання необходимо выполнение довольно жестких условий регулярности от нсходнай моделя, что не всегда имеет место. Кроме тога, с его помощью можно проверять толька гипотезы внда Н,: 6 лж Ве, где В»в евклвдова подпространства пространства В, б)ш Вз «б(ш ЕО многие же интересные задачи к этому типу ве относятся.
Задачи 1. В последовательности независимых нспытаннй вероятнастн полажнтельных нсходов одянаковы и равны р. Построить критерий проверка гипотезы Не: Р=О прогна альтернатнвы Ны р 0,01 в апределать наименьший объем выборка, для которого вероятности ошнбон первого н второго рада не пр ходят 0,01.
7 Выборочные значения непрерывной случайной величнны я оказались равнымк — 0,460, — 0,114, — 0,325, 0,196, — 0,174. Проверить гипотезу Н,: Ж(6)=(1( — 0,5; 05) против альтернативы Н,: Ж(ц=мун(0; 009) (вероа ость ашнбкн первого рода пркнять равной 0,1). 3 Пусть для распределении Коши Х (8) проверяется гипотеза Н,: 9=0 пр в альтернативы Нл: 6=1. Показать, что р. н. м. крвтервй уровня значимости к=1/2 — (1(я) агс(й(172) =0,352 по одному наблюдению задается критической областью (хге 1/2) н чта его мощность равна 1/2+(!!л) агс16(1,2) ~0,648.
Если а=(!(и) (агс!33 — агс(й 1) — 0,148, то критическая область нллеет внд (1«х«З), а мощность равна (1(я) агс162 0,352. 4» Пусть Х=(Х,, ..., Х„) — выборка нз экспаненцнальнога распределення Р (6, 1). Построить критерий Неймана — Пирсона проверкн гнпотезы Н».г6=9» против альтернативы Нл;6=9,. Найти функцню мощнастн этого к рв ня. ,' 5. Пусть для пуассанавской моделн П(6) проверяется гнпотеза Н„: В=бе про сложной альтернатнвы Н,:8)9». Показать, что р.
н. м. крнтернй '2 задается критической областью внда (х~с). Вычислить функцию мощности крнтерня н показать его несмещенность. Устанавкть, чта прн большом объ- 176 177 еме выборки л критическая граница с с„с уровнем зяачкмости а может быть выбрана равной ар+)о )( й()л, Ф ( — !е)=сг. Рассмотреть эльтернэтяву вида и,: 6 ~ Вз. В, Показать, что прн большом обьече выборки критическую гранину г„ в критерии примера 4.6 можно вычислять с помацью приближенной формулы .— ь-(.1 з (' — '(. ( — и= .
7. Построить асимптотическую форму к. о. и. проверки гипотезы Н,: 0 = =бе в модели П(9) н вычислить его предельную мощность прн альтернативе 0! ! 6 +В(У' 8. Установить рзвенстно Я'„' = Х-"„ в примере 4.16. 8. Пусть в модели В)(1, 6) проверяется гипотеза Н,: 9=аз. Построить к. о. п. и вычислить его предельную ьющность при альтернативе 6," =-зз+ !л! -(- ргэ' и (л — объем выборки). 10. Показать, что предельная (прн и -: ° со) мощность построенного в прн. ыере4.1б и. о, п, прн альтернативе аг!",~= — атз+й/р л равна 1 — Рз(Х[мм ъ' бз19[). ( 11, Имеются две независимые выборки пз пуассонозских совокупностей П(6,') Ь П(9,), соответственна Х,=(Хм, ..., Х,„) и Хз=(Хзт " Хзч).
Требуется проверить гипотезу Н„: 9,=9, (гнпотезу однородности). Построить к, о. п. и установить, что статистика этого критерия имеет внд Л„ Хч,Х(' 'Х„"' 'ъ л=л,+лз. 'Л =-(л(Хз+лзХз)(л. Найти предельное рас. пределение — 2 1и Л„„прн п„л, сс, Обобщить нз случай 6 выборок. 12, Пусть 5,', ..., 5ь — выборочные дисперсии, построенные па иезэвиси.
мым выборкам объеыов ш, ..., ль нз совокупностей е4 (6, Озз,), з4" (9 „, 6,' ) соответственно. Показать, что к. о. п. для гипотезы Нз:6', = ... = 6-'„ основан иа статистике „чь(з "гз([+" + лз5з Л, ....„= П (5!151) ' ' '- Е='3 Построить аснмптотнческую при л,, ..., лз со форму этого критерия.
Убедиться, что в случае Ф =2 статистика Л„ взаимно однозначно связана с от. ношением Снедекорз Е=[лт(лз — 1) 5В([лз(л,— 1) 5зз), которое имеет при гипотезе Нз распределение Снедекорз 5 (лт — 1, лт — !), 13. Построить н рассчитать аснмптотнческнй вариант к. о. п, проверки гигютезы однородности в случае независимых выборок нз распределений В)(1, 6 ), 1=1, ..., й. 14. Пусть лн Х; и 5',.— соответственно объем, выборочные среднее н дисперсия для выборки нз совокупности ю' (6тл О[), (=1, 2. Построить к. а, п, для гипотезы Не'.0ы=а,з. Покатать, что статистика отношения правдоподобия энннэалентна в этом случае стьюдентозу отношению 1= ) 'л,лз (л, + л, — 2) !(лт+ лз) (Хз — Х,) ()гл,51+ л,5[, которое имеет прн гипотезе Нз распределение Стьюдентз 5 (их+ля — 2). Линейнаа регрессия и метод наименьших квадратов Глава В этой главе рассматривается практически важный случай неодинаково распределенньж наблюдений с одинаковыми дисперсиями, когда и» средние — линейные функции неизеестныя пареметров (схема линейной регрессии).
Излагаются классический метод наименьших квадратов для оценнзання параметров модели и его оптимальные свойства, рассматриваются вопросы его практического применения. В предполажании нормальности наблюдений приводится полное решение задач доверительного оценивании произвольных линейньж функций параметров регрессии и проверни линейньж гипотез для них, Рассматривается применение модели нормальной регрессии н задачам днсперсионного анализа. Излагаются элементы теории статистической регрессии и корреляции. й 5.1. Модель линейнои регрессии До сих пар рассматривались статистические выводы для моделей, соответствующих повторным независимым наблюдениям иад некоторой'случайной величиной $.
В этих случаях исходные статистические данные представляют собой реализацию случайного вектора Х =- (Х,, Х,), компоненты которого независимы и одинаково распределены, а именно Рхг=-Ры ! —— = [, ..., п. В приложениях математической статистики предположения о независимости и одинаковой распределенности компонент Х, не всегда выполняются. В этой главе будет рассмотрен важный случай таких ситуаций, часто встречающихся в приложениях, которые описываются в терминах линейной регрессионной модели.
В этой модели предполагается, что математические ожидания наблюдений Х; являются линейными функциями ф,([)) от неизвестных параметров р: — -([)ы ..., [)з) и делаются некоторые предположения о вторых моментах. В общем случае речь идет об изучении таких случайных экспериментов, когда на их исход влияют некоторые неслучайные переменные (фвкторы) гт, ..., гз, значения которых меняются от опыта к опыту. Например, г„..., г, могут быть входными характеристиками прибора, при каждой задаваемой произвольно комбинации значений которых наблюдается некоторый эффект (чоткликэ) квк исход эксперимента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
