4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 22
Текст из файла (страница 22)
28. Составить уравнения правдоподобия для модели в4 (61, 6„') и найти их решения. 29. Доказать, что полученная в примере 2.18 оценка максимального правдоподобия Й(Х) ковариацяш!ной матрицы Х многомерного нормкчьиого л †! распределения в4 Ог, 2) удовлетворяет соотношению ЕХ (Х) = — Х н, и л и 1 жт следовательно, — й (Х) = — у (Х! — Х) (Х! — Х)' — несмещенная оцеп'и — 1 л — 1»'г 1=1 на 2. Ук аз анне.
Рассмотреть случайную велячяну Хн — Х!р днсперсяя которой ранив ан+2ам+аьн н воспользоватьсЯ известНым Результатом о несмещенном оценивании дисперсии скалярной случайной величины. 30. Найти выражение для абсолютнога максимуыа функции правдоподобия в случае распределения ы4" [)ь, Х). ()амаль !.
(х )г, Х) — (2ле) алга ! Х ~ «)э. 01,' Пусгь Х=(Хы ..., Х«) — выборка из распределения )7(0, 20). Показать'; что: а) в данном случае ие существует одномерной достаточной статистики; б) любое значение 6 сэ [Х!л!/2, Хп,) можно взять в качества оденки макснмальнога правдоподобия. Рассмотреть оценки вида Она 9,=!хХ!«!+ОХ и, !х, [)» О, и найти среди них оптимальную (несмещенную с минималыюй дисперсией).
Указ а ияе. Воспользоваться результатами задачи 13 гл. 1. Ожвэне, Оптимальная опенка определяется значениями (л -[-1) (л.[-2) (2» — 1) 2 (и+ 1) (2лэ+ 4л! — Зл — 3) 8«+4 ' (л+2) [Он+4) 32. Показать, что в случае выбора иэ распределения Г(0, Х) оценкой м«яцнмшгьного правдоподобия гараметрической функции т [О) =1!6 является л 1 т =31Х„г е Х=— л='1 „д = — ~~ Хь Проверить состоятельность этой оценки и найти а' =! ее предельный при и- со закон распределения. Онмгю, Жз(тл) л4 (Щ 1/(л«Ое)).
33. Показать, что О=Х/(и+Х) — оценка максимальяого правдоподобвн параметра 9 для модели хг!(г, 8). Вычислить ее асвмптотическую дисперсию. Указан не. Воспользонаться результатами примеров 2.12 и 2.24. 34. Случайная величина $, характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры, имеет плотность [(х, 0)=(2х/0)е х 'О, х- О. Построить по соответствующей выборке Х=(Хм ..., Х ) оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра О. л О . 9»л — лУ Х!. 1 цч л л~! 1=1 Зб. Пусть Х =(Хт, ..., Хл) — выборка из распределения Каши ль (9)» Покаэат!ь чта статистина Тл(Х)=Х ие является состоятельной оценкой яа.
раметра 8. У к а з а н и е. Характеристическая функция, а следовательно, и РаспРеделение т„ие завислт от л н поэтомУ Рэ [! тл(х) — 0[-. э) одна и та Н1 | же при всех л [Езе "=е!'а '''). 38.'Доказать, что выборочная дисперсия 51= — ~' (Х.— Х)! явлвется кч а=! состоятельной оценкой 9! »в модели а4" (Оь О[). У к аз а н не. Воспользоваться критерием состоятельности н результатамн примера 2.7. 37. Имеется выборка [(Х,, Уг), ..., (Хл, !'л)) иэ двумерного нормального !1 9!! распределения в,4 !(О. 0), ' !!1, 6!и( — 1, 1). Показать, что; ',8 ![!' а) асимптотическая дисперсия оценки 8» равна (! — О!)эул(1+6!)! б) ей(Т„; 8) [(1 — Ое)/(1-[-0!)[з — асимптотическая эффективность оценки 6 л 1 %1 виДа Тл= — Р Х!Уг (выбоРочный коэффициент коРРелации).
Указан не, л С помощью характеристической функция установить, что Е (Х'У!)=1+29! и, следовательно, РОТ»=(1+Оэ)/л. 38. Доказать, что для рва«раде«ения Лапласа ! (х; 8) =(1!2) е х !и )с, о. м. и. 8 совпадает с выборочной медианой. 39. Оценить с папашью метода максимального праздопадабия параметр 6 в модели в.4 (р, л") н найти предельное распределение 6 . Вычислить асимптотнческую эффективность оценки в задаче 3. и Он!вель Хэ 8«= ~ (Х! — [!)э л в4 (8, Оз/2«)! еП(Т»; 6) =- [1=1 1((л — 2) =0.88 ....
40. Показать, чга аснмптотическаи эффективность выборочной медианы распределения Коши равна 8!я! — 0,8 .... Ук аз а н не. Воспользоваться теоремой 1.7, 41. Пусть Х=(Х,, Х„) — выборка иэ вогнорнавьного раслрвдглгнил, у! т. е. Х;=е г, гдеЕ(У!)=я4" (81, 9[). Показать, что; а) ЕОХ1=О,=ЕХР (О!+9[)2), РОХ1 =Ох=6[(ЕО'-1); (р, (б))з г (б)= — Еа( —,, / /б 16) 1СО б) оценки мзксимальпого правдоподобия для д! и б, имеют соответственно вид б,=етр (у-»-(1,'2) 5з(у)».
да=Уз (еэ'гг! — 1), где 7 =(у! 1п Хь /=1, ... .... л), а У н 5з (У) — соответствующие выборочные среднее н дисперсия. У к а з а в не. Воспользоваться свойством инвариа!шиостн о, м. п. 42. Показать, что еслк существует эффективная оценка Т' дзя функции т(б), то опенка 6 однозначно определяется уравтением Т*(Х)=.т(6). Укадз1п 1. за и не. Применив равевство (2.24), убедиться, что —, (О, дбз 43. Убедиться в тон, что оценки в задачах 24 и 2» являются аснг!птоти- чески зф»ектиянымв, 44. Показа ь, что у-доверительный интервал для параметра 6 в модели с/'(Х б') имеет вид (Х/(1 — ,'.с,/)'и), Хг(! — гт/г л)), сто - Оз-! / — +' Угроз а и не.
Использовать тот факт, что Жо([Л вЂ” 6)/(6/г' и)) =ч/" (О, 1). 45:гПровернггч что з случае больших выборок асиыптотически кратчай- гш)ы у- овернтельиым интервалом яилнется: а дли паРаметРа 6 гамма-РаспРеделепнЯ Г(6, Л) — (Х/Л)(1 чп гт/Р"ггй); б) для парамегра 6 отрицателю~ого бицомиалы!ого распределения /)г(г, 6)— Э /, !'Ьз ь.тгч) ' (гг,т!'хаем+и!): и+Х и) для параметра 6 нормального распределения в/" ()т, бг/— 1 'вт 7 (Хг — 1!)з(1 ьсз/)'2и).
Указание. Использовать результаты задач и и г =- ! 32, 33 и 39, 46. Покззшь. что в случае экспоненциального распределения с плотностью /(х: 6)=с 'х.", О~к.Сос, у-доверительный интервал для 6 имеет внд ! 1п (! — у) !Хп,-»-, Х„,~, где Хи,= ппп Хь Указание. Найти распрел гщг<л деление статищики Хи, и учесггч что сгюытие (Хп, ~ 8» является достоверным. 47. Пусть в полнномиальиом распределении М (л, р=(р,, ..., Рзг)) веРоятности рг= рг (б), ! = 1, ..., Л/, где 8 — неизвестный скалярный параметр. Записать урм!ненни для приближенной опенки максимзльного правдоподод1п 5 бмя б мезолом накопления.
У к а з а н н е. В данном случае дб М 'чч у — 'и'(6), а количество ив(юрмации о 6 равно .м~ йт (6) !=1 48. Пусть л, Х и 5з — соответственно объем, выборочное среднее и дисперсия выборки нз нормального распределения с неизвестными параметрами. Показать, что с вероятностью у результат следующего, (и+!)-го испытания нахоДнтсв в интеРвале (Х чс Г э, „, т5 )' (л+(У(л — !)). У к а з а н н е. Прр ить теорему 1.10, согласво которой Ж ()' (и — 1)/(и+1) (Л" — Х„ы)/5) = = 5 (л !). ! ! ! '.46. результате пяти независимых взвешиваний одного н того же тела полу следующие результаты (в граммах): 4,12; 3,92; 4,55; 4,04; 4,35.
Считая погрешности измереяий нормальными м/'(О, оз) случайиыыи велнчи- нами, указать доверительные граншты для результата гредстоащего шестого эззентйвйпия [/Юзеритечьный уровень пршгять равны Оо м,.б]. д~хг ' ° У~о Результатам и -== 2 независнмь!х нзкереанй диаыетра круга по стра оптимальную онениу его площади (погрешности измерений рзспреде. лены по закону о:Ф" (О„оз) с неизвестным о'-). Ук аз а н ие.
Исгользозагь тот факт, что выборочные среднее Х и дисперсия 5з образуют полн ю достаточную статистику. Оглзгль Т [Л', 5е)=(л/4) (Хз — 5"-/(л — !)), 51. Доказать, что оптимальная оценка всегда является свлгметрнческой функцией паоэюдений. У к аз а и не. Волк Т=Т (Х) — несмещенная оценка т. то рассмотреть симметрическу!о статистику Т = — - ч Т (, Х), и. =-1-, и где и= !» рестановка нз л элемсцтгэ, пХ: — Х...
Х. и сумьирваииз производится по всем и( перестановкам, Показать, что ЮгТ . ()Т. Проаерка статистических гипотез Гпава Этв глава представляет собой введение в теорию проверки статистических гипотез. Здесь приводятся основные понятна этой теории (статистической гипотезы, статистического критерия, критической области, функции мощности и др.). Сформулированы типичные и наиболее распространенные в прююткеннях статистические гипотезы и на примерах рещения задач проверки этих гипотез излагаются общие принципы построения и исследования нрнтериев согласия.
Рассматривается метод группировки наблюдений с последующим применением классического критерия согласия Хт. Излагаются некоторые результаты для схемы группировки с растущим числом интервалов. $ 3.1, Понятие статистической гипотезы и статистического критерия. Критерии согласия 1. Статистические гипотезы. Задача разработкп рациональных методов проверки статистических гипотез— одна нз основных задач математической статистики. Статиглшчгской гипагпгзой (или просто гипоямзой) называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Такие утверждения можно делать на основйнии теоретических соображений илн статистических исследований других наблюдений.
Пусть, например, эксперимент состоит в многократном измерении некоторой физической величины, точное значение а которой не известно и в процессе измерений не меняется. На результаты измерений влияют многие случайные факторы (точность настройки измерительного прибора, погрешность округления при считывании данных и т. д.), поэтому результат Рго изменения Х, можно записать в виде Х,=а+еь где ет — случайная погрешность измеренвя. Обычно считают, что общая ошибка ет складывается из большого числа ошибок, каждая из которых невелика.
На основании центральной предельной теоремы можно предположить, что случайные величины Х; имеют нормальное распределение. Такое предположение является статистической гипотезой о виде распределения наблюдаемых случайных величин. 102 Если для исследуемого явления (процесса, ситуации т. д ) сформулирована та нли иная гипотеза (обычно ее называ ной или нулевой гипотезой и обозначают символом Н) состоит в том, чтобы сформулировать такое правило, которое позволяло бы по результатам соответствующих наблюдений (по имеющимся статистическим данным) принять илн отклонить эту гипотезу. Правило, согласно которому проверяемая гипотеза Йа принимается или отвергается, называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы На.
Разработка таких правил и их обоснование с тачки зрения требований оптимальности и составляют предмет теории проверки статистических гипотез. Приведем несколько примеров математических формулировок наиболее распространенных в приложениях статистических гипотез, Пример 3.1 (гипотеза о виде распределения). Пусть производится и независимых наблюдений над некоторой случайной величиной $ с неизвестной функцией распределения Рт(х).
Гипотезой, подлежжцей проверке, может быть утверждение тйпа Н: Р (х) = = Р(х) а. 'эх Н: х ( )„где функция Р(х) полностью задана, либо типа е. Рз(х) ен Р, где Р— заданное семейство функций распределения. При этом обычно семейство Р задается в параметрическом виде: Ф"=(Р(х; В), 0 ~ В). Например, наблюдается неотрицательная целочисленная случайная величина $ и требуется проверить гипотезу На: Ж($) ~ П(0), где П(6) — семейство всех пуассоновских распределений. Во всех этих случаях Н, — это гипотеза о виде Распределения наблюдаемой случайной величины. В других ные ха случаях гипотеза состоит в том, что фиксируются некоторые р чистхарактеристнки функции распределения Р- (л). Например, она может иметь вид Н,:Рт.(йг)=рь 1=1, ..., я, где — оо~ «=ьт<...(~а~со н 0(р,(...~ра<! — заданные числа, Здесь Нв — это гипотеза о том, что распределение 3'($) имеет заданные квантнли ь; для заданных уровней рь Пример 3.2 (гипотеза одяородноспш).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
