4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 20
Текст из файла (страница 20)
одновременно либо возрастают, либо убывают), что обеспечивается условием непрерывности н монотонности функции Рг(1; 6) по 9 (рнс. 2.3). Таким об(вазом„прн сделанных предположениях множество йэт (О') при кахсдом 0' представляет собой интервал; следовательно, определены его концы Вз(6')<.-Оз(0'), а тем самым н соответствующий у-доверительный интервал (Тт (Х), Т, (Х)) для О, где Т, (Х) = .=0,(Т(Х)),1=1, 2.
Построение диаграммы придает наглядный смысл этой методике. Диаграмму строят по вертикали (для любой абсциссы 6 находят из условия (2,84) соответствующие ординаты 1, и 1»); «чнтают» же ее ло горизонтали, т. е. для наблюдавшейся ордннаты 1=Т(х) (х — реализация выборки Х) «считываютв две величины Оз н Оз и утверждают, что 8 ен (9«, Вз).
Таким образом, если «читать» диаграмму по вертикали, то границы области "Р' описываются парой переменных точек (О, 1з) н (В, 1,) таких, что выполняется условие (2.84). Если же «читать» диаграмму по горизонтали, то границы .'Ут можно эквивалентно описать парой переменных точек (1 От) н (1, Вз), взяв за независимую переменную наблюдаемое значение оценки Т(Х), Тогда ссютношення (2.84) можно переписать в терминах этих вест/в/, личин так: если функции 1 (6) возра« в,/в ', вг/ву стают (см.
рнс. 2.2), что соответствует убыванию по 0 Функции Рт.(/; О), то лг бМ 1 — Рг(1; 8 ) =(1 — У)/2, Рг(/; 6.) = а в == (1 — у)/2, если же функции 1!(6) убывают, что соответствует возрастанию по 0 функции Рг (1; 8), то Рг (/; 0») = (1 — у)/2, 1 — Рг (/! Вз) = (1 — у) 2. Итак, алгоритм построения центрального у-доверительного пптервала'для 6 в случае, когда функция распределения Рг(1; 6) оценки Т=- Т (Х) непрерывна н монотонна по О, состоит в сле- ,гующем.
Пусть 1= Т (х) — наблюдавшееся значение оценки. Решая ~пюснтельно 8 уравнения /'г(/; 6) =(1 — 'у)/2 (1+у)/2. (2.85) ппйдем два числа 6! < Вз. Далее утверждаем, что 6 ен (В„О,), 1!рпзеденная теория гарантирует, что прн у, близком к 1, вероят ность сшибки в случае применения этого правила равна 1 — у. Анзлогнчные рассуждения можно провестн н для случая дяскретнай мо- деля. Еднпственное отлнчне состоят в том, что нз.зэ ступенчатости функцнн рэспределення Р . (й В) в соотнашеннн (2.83) можно, вообще говоря, абеспе.
чнть лншь выполненне нерэвенствз Рэ(1,<Т(Х) <1з)=Рг(1,— 6; 0) — Рг(/т: 0) .т, (2.83') поэтому вместо условий (2.84) следует ввести условии Рт.(1; 0) < (1 — У)12, 1 — Р .(т — О; О):= 11 — т)/2, где !» — наибольшее, з 1 — нзнмсньшее энэчення Т, удозлетворп1ащне этим не- рэвенствэн.
Кривые 0' =1;(0), 1= 1, 2, в данном случае являются ступенчатыми (рнс. 2.4) н прн «счнтывзннн» велнчнн 0; !В'), 1=1, 2, следует брать крзйнюю правую точку отрезка пересечения горнзонтзльнай прямой с левай крввай н крайнюю левую точку — с правой кривой (когдэ лнння пересечения попадает нэ гарнзантзльные отрезки «ступенек» крнвых). Алгоритм построення цепт- рзльнага т.довернтельнагв ннтервзлз для В в дискретном случае в основном тат же, что н для непрерывнога, только вместо урэвненнй (2.83) надо решать относительно 0 урзвнення в. (1; в)=(! — т),»2, ! — г (г — о; 01=(! — ту2, (2.80) (2.84') где 1-нвблюдзэшееся значение аценкн Т.
3 з м е ч э н н е. Часто вместо центрэлыюга давернтельного интервала в днскретнам случае рекомендуется строить множество г»«тт по прннцнпу включсння в него значений статистики Т с нэнбальшнмн (прн каждом В) вероятно. стямн нх появлення. В случае прнменення этого метода вместо условий (2.83') — (2.84'1 грзннцы 0=1! (0), 1=1, 2, определяют нэ условия рэ(1,<Т<1,) = ~„' р,(т=б- у.
»1 < Ф < г« Прн этом требуют, чтобы в сумму были включены знзчення 1 с нэнбольшнмн вероятностямн нх гаявленяя н чтобы интервал (!», 10 был нзнменьшнм, удак- 91 летаоряюпгпя сапному условию. В раде случаев, когда распрсделенпе стажсгчкп Т асинчетрпчпо, таков способ позволяет получить более короткое Ловерпгельныг ветервалы. Отметим, что, выбирая различные оценки Т (Х), будем получать различные доверительные интервалы. Но конечная пель— это получить как можно более короткие интервалы (при фикси. рованном доверительном уровне у). Предположим, что исиотьзуются несмещениые и приблизительно нормальные оценки; тогда введенные выше интервалы тем короче, чем меньше дисперсия оценки. Таким образам, эффективные и асимптотическн эффективные оценки приводят к кратчайшкм или асимптбтически кратчайшим интервалам.
Выше было показано (см. и. 4 9 2.4), что при весьма общих условиях оценки максимального правдоподобия 0„ являются асимнтотическн эффективными и асимптотически нормальными и при этом [см. соотношение (2.65)1 ири и- о. Ре,~ 9„— О,' )г лг (9„) «сгг — <!г(сг) — Ф( — ст) == 2<1«(ст) — 1: — у, (2.87) если с = Ф- ! — /. Отсюда следует, что (О, — ст/1' и/(О„), 6„+с!/Ф п((9„)) — асимптотический кратчайший у-доверительный интервал для параметра О. Проиллюстрируем эти общие принципы примерами. Пример 2.34 (доверительный интервал для параметра бернуллиевской модели), Пусть требуется построить доверительный интервал для параметра 6 модели Вг(1, 6).
Если имеется соответствующая выборка Х=(Х„..., Х„), то оптимальной оценкой для 9 является статистика Т =- Х. Случайная величина Т принимает значения О, 1гп, 2гп, ..., и/и, при этом г/г г ъч Гг( —; 9~ = у С»6'(1 — 9)» ' — — 7 л г=о десь -„згг( -; 0) = — пс,,О" (! — 6)"-'-'«О, я«п, так чтофункция гг(йгп; 6) монотонно убывает по 9 при А -и. Следовательно, применима описанная выше методика, согласно которой при Т=6/и (9,, Оа) — центральный у-доверительный интервал для 9, где О! и 6.
определяются в соо!ветствии с уравнениями (2.86), которые в данном случае принимают вид 1 — Гг/'— '; О,! = У С'„9',(1 — Ог) гг(-л-, .Оа/! = ~~~ Са9а(1 — Оа)" '= г=о Ловерительные интервалы (9,, 9,) рассчитаны для широкого диапазона значений и и у=0,9; 0,95; 0,99 [21. 92 Если число наблюдений и велико, то для быстрого нахожде- ния приближенного доверительного интервала для 6 можно вос- пользоваться асимптотической теорией. В рассматриваемом слу- чае о. и.
и. 9, = Х н функция информации !'(О) =1/[6 (1 — 9)1 (см. табл. 2.1), поэтому нз соотношения (2.87) имеем, что Х вЂ” "— )'Х (1 — Х), Х+ =)г Х (1 — Х) ы с„= Ф-' ( — "«). )гп 1' и — асимптотический у-доверительный интервал для 9. Пример 2.36 (доверительный интервал для параметра пиасса- новскай модели). Рассмотрим теперь оценивание параметра 0 мо- дели П (6). Оптимальной оценкой для 0 здесь также является статистика Т = Х, принимающая значения А/гг, й = О, 1, 2, ...
Так как ьа! '~ Хг! =П(пО), то /" гь» ч! !»фг Рт 1-; О) = 2 е-Ле— 7 г=а Здесь „-рг(; 0 !.= — пе-» —, «О, т. е. функция сг(А/и; 0) мое 'Ь»»б!ПЬ)» нотонно убывает по О. Согласно изложенной выше методике, если Т = й,'п, то центральным у-доверительным интервалом для 9 является интервал (9„6,), где От и Оа определяются соответ- ственно уравнениями !г — ! Г ъ1 (лэ,)г 1 — / г=» г=е Как и в предыдущем примере, для больших значений объелга выборки можно просто рассчитать приближенный доверительный интервал. В рассматриваемом случае о.
и. п. О„Х и !'(9)»=1/6, поэтому нз ссютношення (2.87) имеем, что (Х й. ст рг Х,'г!) — асими- тотическнй у-доверительный интервал для О. Пример 2.36 (доверительный интервал для параиетра модели степенного ряда). Построим асимитотический у-доверительный интервал для параметра 0 распределения типа степенного ряда (см. пример 2.12). Из результатов примера 2.24 и соотноше- ния (2.87) следует, что искомый интервал имеет вид Г о 0„) л, где 6„— решение уравнения р(6) =Х, а р(0) и и'(9) — теоретиче- ские среднее и дисперсия соответственно. Построенный в иреды- 93 душем примере приближенный интервал — частный случай этого решения. 4. Доверительные области для многомерного параметра. До сих пор рассматривалось доверительное оценивание скалярного параметра и речь шла о построении такого случайного интервала, который с заданной вероятностью накрывает истинное значение неизвестного параметра, Если оценивается векторный парщнетр 0=(9,, ..., 8„), то вместо доверительных интервалов опреде.чают доверительные области (нлн зоны) 5=3(Х) ~6 с помощью условия, аналогичного (2.71): Рг(О яд(Х))~у, л!/Оя 6.
(2.88) Таким образом, у-доверительная область — это такое случайное подмножество в параметрическом множестве 6, зависящее от выборки Х (но не от О), которое накрываег истинное значение неизвестного параметра 0 с вероятностью, пе меньшей у. Общий метод построения доверительной оГ>ласти состоит в следующем.
Сопоставим каждому значению 0 еп О такое подмножество Н (0) выборочного пространства Я', Н(О) ~.2, чтобы выполнялось условие (2.89) Рн (Х 6- =Н (8)) зщ у. Таким образом, получаем в выборочном пространстве семейство подмножеств (Н (0), 9 ~ 6). Определим теперь для каждого х ен З подмножеством(х)~ 6 по следующему правилу: р(х)=(8: х ~Н(9)).
Таким образом, в параметрическом множестве 6 получаем семейство подмножеств (.е(х), х ен.2"). Рассмотрим случайное подмножество 3(Х). События (ХяН(0)) н (Оен,р(Х)) — эквивалентные, так как по построению каждое из них влечет за собой другое, поэтому их вероятности при каждом 6 совпадают. Учитывая (2.89), получаем, что для лг (Х) выполняются неравенства (2.88); следовательно, Р (Х) — искомая у-доверительная область для параметра О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
