4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 19
Текст из файла (страница 19)
с1',, ст/'Ф 'ч — ', (2.78) т. е. спь!метрнчный относительно случайной точки Х интервал длины йас /Р л. В частности, лля доверительного уровня /=. 099 пс.!и !пиа с =2,5758; с =3,0902 для 2=0,998. Симметрия апс!!- ьшльнаго !!нтервала отражает тот факт, что распределение центршп,ной статистики в даинсм случае оказалась спмметрпчпым о!пасительно оцениваемого параметра. Пример 2.29 (но/!мальнал-2 людель, доверительный интервал длн длслерсиик Построим доверительный пнтервал для нензвес!пой дисперсия 8' в модели,=/'(р, 8'). В этом случае также легка найти пеьпральну!о статистику, зависящую от т=-т(6) =-91: В(Х; т) = -- ) (Х! — р)е. Действн'!ельно, так как Жв ' " ==./'(0, 1), то 2'в~( =-Х'(1) (см. п. 1 9 1.5). Следовательно, Хо(б(Х; т)) = у'(л). Здесь Т, (х) = ~~ (х; — )!)'-, Т.
(х) = ~~ (х! — Р)в х! ~= ! — решения (огноснтельиа т) уравнений 6(х; т) =я!, нв. Следовательно, у-доверительиь!и для т =- 9' является в данном случае л!абай интервал л и ЬоО!)=[' )' (Х.— РГ.,' )' !Х,— 9Г~. (2.79) е! Г=! ! —.- ! )' где 81(йе находят из условия 1/!„(х)дх= — у [плотность й„(х) распределения Х'(и) определяется формулой (1.28)].
Как правило, и, н дч следует выбирать так, чтобы выполнялись равенства ~ й,( )д~= — т, ~ й„(х)дх= — т, (2.80) о л т е 81=7!! — т!и., йч=Х[!н.тнь „где у; „— р-квантиль распределения 2' (и). В этом случае соответствующий доверительный интервал называют иногда ивнтральным. Соотношения (2. 79) — (2. 80) и определяют рекомендуемое для практического использования правило доверительного оценивания неизвестной дисперсии в модели а4 ()2, 6'). Задача отыскания наикратчайшего интервала среди интервалов вида (2.79) сводится к минимизации отношения д2/а) при условии 1 й,(х) йхлиу.
Метод неопределенных множителей Лагранжа прп- 2» ВОдлт В даННОМ СЛуЧаЕ К ураВНЕиияы д2/2, (д)) =- йлйл (82), ~ /гл(Х)йл=у ИЛИ, ЕСЛИ ПОЛОжИтЬ у,=Ха»,,л, д«=Х) „, „, ГдЕ а2+а2=1 — у, к уравнению (Х)-аь л/Ха„' л)") =ехр ((Х( — ал л у~л„л)/2). (2.80') Значения а, и аа, удовлетворяющие (2.80"), определяют оптимальный у-доверительный интервал вида (2.79): и л и„'(2) - » 2 (х, — »)', —, г (х, — »)') (2.72') ),Х)» (=) »'=-1 Таким образом, центральный интервал в данном случае пе является наикратчайшим. В табл. 2.3 110, с.
275) приведены значения (Х',.л) Х)-а„л) н (Х(( 2)м, , 'Х((22)(2,«) для у=0,95 и некоторых значений и. 7ЬВ и гл (Х«, л 20 — 2)22, л) 2!-а», л — хо+2)(2, л) 2, 2 (20 — ти2, л' (х ,. л: х) „, «) 2 Х()+2)(2, п) 2 (0,08: 9,53) (0,05; 7.38) (0,03; 2,15) 5 ~0,99; 14,37) (0,83; 12»83) (0,16; 1,54) 10 ЗД2; 21,73) (3,25; 20Л8) (0,27; 1,25) 20 (9 96; 35,23) (9,59; 34,17) (0,37„'1,06) 86 Заметим, что центральной статистикой для оценивания средне- квадратического отклонения 6 является, очевидно, л 1и2 б(Х; ~)=-',-~ "У (Х( — ~)*~ .
-(=) Пример 2.30 (оби(ая норл(альная модель, доверительныв /гнтервалы для среднего и дисперсии)„Рассмотрим доверительное оценнванне параметров в общей нормальной модели е (0,, 01). Из теоремы 1.10 следует, что б (Х; 61) = п52 (Х),'6,' — центральная статистика для оценпвания дисперсии 62. здесь 82(х) — выборочная дисперсия. Доверительный интервал для 8.', находим по схеме редыдущего примера; окончательно получаем: централы)ым у-доерительным интервалом для 6,' является интервал )З (Х)'Хо+тыл. л — О о82(Х)/Хо — 2)кь и-)) (2.81) частности, для выборки объема я=10 и доверительного уровня =0,9 имеем ул ем 2 3,3251, Х»',22) 2 16,9190, поэтому центральый 0,9-доверительный интервал для 02 имеет вид (0,591182(Х), ,007 82(Х)).
Наикратчайший в данном случае интервал (йЛ (Х)/у) — а», л — 2» )28 (Х)/Ха„л — ))» (22+ал= 1 у» (2.И ) где Ха~, л — ) н К)-а, «-2 опРеделаютси соотношением (2.80 ) в котором а заменено на и — 1. В силу теоремы !.11 центральной статистикой для оценивания среднего 62 является 3 Х 3(Х) ' п в 67 причем распределение этой статистики (распределение Стьюдента Я(н — 1)) симметрично относительно своей средней точки. Расчет доверительного интервала проводится так же, как в примере 2.28.
Окончательно получаем: у-доверительным для 0, является интервал ( — — ' — '-"' (2.82) где 1„« 2 — (1+у)/2-квантиль распределения Л(н — 1). Построенный интервал имеет минимальную длину среди всех у-доверительных интерваяов вида (Х вЂ” а28 (Х), Х+ алЯ (Х)). В частности, [а22) 2=2,262, поэтому для выборки объема я=10 н доверительного уровня у=0,95 интервал (2.82) имеет внд (Х вЂ” 0,7548(Х), Х+0,7548(Х)). Методику, основанную на использовании центральных статистик, можно применять и в других случаях.
Приведем два практически важных соответствующих примера, относящихся к проблеме сравнения двух нормальных выборок. Пример 2.31 (довврительный интервал для разности средних двух нормальных моделей). Пусть Х =(ХО..., Хл) и У =(У2,..., У )— две незавнсимые выборки, причем первая — из распределения а/л(8',", 6;), а вторая — из распределения лФ (6', 62).
Таким образом, соответствующие модели отличаются только своими средними н требуется оценить их разность 8',и — 0',". Зту задачу называют задачей сравнения двух средних. Согласно замечанвю к теореме 1.12, о'п)ошение Стьюдента л)л (л)+л — 2) Х вЂ” У вЂ” (В»ь — В',") ) »л+л [ль»(х)+т52(у)]~)~ имеет распределение 3 (о)+и — 2) прн любых значениях параметров 0,", 0',", 6,', поэтому величину 1 можно использовать в качестве центральной статистики для оценивания разности 8'," — 0',". Соответствующий у-доверительный интервал строится так же, как и интервал (2.82) в примере 2.30, и имеет вид /Х вЂ” У -' 1, л!л»~ ' (л5»(Х)+т5'(У)) ~ ).
Если дисперсии моделей пзвесткы п равны соответственно о", и о„", то центральную статистику для аценивапия разности средких 6»м — О!'1 можно легко построить, рассуждая следующим образом. Выборочные средние Х и У независимы и нормальны лэл(6!", а','л) п л/'(О!'>, о(/!и) соответственно, поэтому их разность Х вЂ” У также нормальна =/ (О!" — О!"', о",,'л+о.;,'!л). Следовательно, случайная величина [Х вЂ” 1' — (8!'! — 6!»'))/)' о,';л+ а(/т имеет распределение ./ (О, !) при любых значениях парамегров Осо и Оол и поэтому является центральной статистпкой для даннои задачи. Расчет у-доверительного интервала проводится здесь аналогично примеру 2.28, и искомый интервал для Ого — Огм имеет вид (Х вЂ” У.' с1,)хо,' и+а,,т), сп=-!1! '((!+У)/2). Пркмер 2.32 (доверилге»!ьный интервал для отношения г?!!спер сий двух нормальных лшделей). Рассмотрим теперь случай, когда Х=(Х1, ..., Хл) — выборка пз распределения л!'(6,', 8Р ), а У =.= = (г'1, ..., 1' ) — ПЗ раСПРЕдЕЛЕНИя л/" [6!", 6„" ) И ВЫбарКП ПЕЗавпсимы.
Требуется оценить отношение 6»'»/О;" неизвестных дисперсий. Центральную статистику з этой задаче можно построить на основании теоремы 1.13, согласно которой случайная величина л(гп — 1) 5'[Х] [[Е',," лг(л — 1) 5» (У) [[ В?' имеет распределение Скедекора 5(л — 1„т — 1) при любых значениях пзрзл!етров 9,', 6 ', 6,'; 6',"'.
Следовательно, г явл.-!ется искомой центральной статистикой для оценивании отношения 9,',:8 . Соответствующий у-доверя»ельный интервал строится так же, как и интервал (2.81) в примере 2.30, и имеет вид : л [л! — 1) Ч» [Х) ' ' л [!л — 1) 5»(Х) ! м [и — 1) 5» [у) / — ' ~, л — 1, ~л — ! !лр! — 11 55» [у) / —,~, — !. л — !/ где Р „,,„, — р-квантиль рзспределепия5(л — 1,т — 1).В частности, 0,9-доверительный интервал для выборок объемов л =т =- 9 есть (0,585»(Х)!5'(У), 3,445'(Х)!51(У)), а для выборок объемов и =— т 13 (О 375»(Х)!51(У) 2 895 (Х)/5»(У)) Пример 2.33 (даверительный интервал для параметра равно мерной-1 л!одели), Построим по выборке Х=(Х„..., Хл) пз равномерного распределения )7 (О, 6) доверительный интервал для параметра 8.
Здесь Р(х; 8)=х/6, О~х=-О, т. е. функция распределения непрерывна и монотонна по 8 при 0)0; следоьательна, можно использовать, например, центральную статистику (2. 74), которая в данном случае принимает вид л С(Х; 8)лл — У )пХ;+л)п6. Решениями уравнеипй (2.?5) являются числа 1 1 л Т/ (х) = е»/!" ( Ц х; 1, / =- 1, 2, поэтому у-доверительным для 0 в данном случае б нК " инте вал.(Т Х, '„. у !удет л !ои р ° .( 1( ), Т»(Х)), в котором 81(д» удовлетворяют усло- 1 вшо .[ ~ йп-!е-ес)8=у. Кратчайшим среди всех таких интервалов прн и=1 является шыервзл (Х„Х,/(! — у)), а при н-»1— интервал / л ~1/л / л»1/п! е" ' ПХ»,', е»-/л[П Х;,' ! где й! =д» однозначно определяются из сооткошеп й 1 — ел 1 — — е~ л+! п+! е" м — и ! — ел!~ — и и* ил л— [ й"-»е-еда=у.
Г [л),1 В данной задаче можно указать н другую центральную статистику. Именно, из результата примерз 2.!5 следует, что Хв((Х л!/6)л)=/7(0, 1), 79 О. Таким образом, величину (Хи,!/8)" также можно использовать в качестве центральной статистики для оценивания 6. Согласно общей методике [см. соотношения (2.72) — (2.73)), у-доверительным для 0 является любой интервал вида [Х,,/ ' д, Х / / — ), =-1.
С у=- дп . реди всех таких интервалов иаименьшуюдлииу имеет, очевидно, интервал, соответствующий значению а = 1, т. е. интервал (Х[»1, Х[„!/)/ ! — у). При и =- ! оба метода приводят к одному результату, прк и ! однозначно ответить на вопрос о том, какай из этих двух методов приводит к более точкой локализации параметра, трудно. травине доверительного интервала с использованием распределения точечной оценки параметра. Если уже имеется некоторая точечная оценка Т = Т (Х) для параметра 6 и известна ее функция распределения г г(/; О), то доверительный интервал для 9 можно построить. основываясь на этой функции.
Предположим, что распределение сценки Т непрерывна ф сг(О О) непрерывна и монотонна по 8. Пусть задан даверитель- Ряс 2.2 Рнс, 2.3 ный уровень у. Определим при каждом Оен9 числа 1,=1;(О), 1=1, 2, гле (т((з и Р,((,~Т(Х):1,)=Р,«;, 9) — Р,(/;, 6)= у. (2.83) Чтобы данная процедура была однозначной, часто рекомендуется выбирать зтн числа так, чтобы выполнялись условия Рг(гт; 8)=(1 — у)/2, 1 — Рг(1»1 6)=(1 — у)/2 (2.84) т.
е. речь идет о построении ивнтрального доверительного интервала. Обозначим через Ы подмножество «Э у4 Еч = «(6, 8'): /т(0)(6'</з(6)~1 (ркс. 2.2). Тогда Рв((6, Т(Х))енб/гт)=-у прн Н ~ тз. Определим теперь прн фиксированном В' сечение гйг (9') множества /зтт! зтг т (6') = (6: (6, В') ЕН.Угт) — н РассмотРим случайное множество у (Т(Х)) с О.
Событие О ензтг (Т(Х)) происходят тогда н только тогда, когда Т(Х)ен(/т(9), 1,(6)) н, следовательно, прн каждом 0 имеет вероятность у. Таким образом, построено случайное множество Ы (Т (Х)), которое накрывает истинное значение параметра 0 с вероятностью у. Если это множество является интервалом, то тем самым построен у-доверительный интервал для 6. Это имеет место, если кривые 9' = 1;(8), 1 = 1„ 2, являются монотонными одного типа (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
