4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, с любым методом группировки наблюдений связано соответствующее полиномиальное распределение вектора частот попадания элементов выборки в подмножества группировки. Если число подмножеств группировки 1» = 2, то распределение (2,70) совпадает с биномиальным распределением В1(п, р,) числа осуществлений события Д~Ж!) в и независимых испытаниях. Определенную в (2.70) функцию 1.!" (Ь; 0) можно считать частипной в»ункцигй пуаедоподг!бия в меп»оде группарсвки наблюдений в отличие от обычной функции правдоподобия Ь(х; 6) =— « = И1(хй О). »=! Оценку параметра О, получаемую из условия максимизации (при фиксированном (») функции Ь!1! (Ь; О), называют мулыпиномиалсной оценкой л»икеимального правдоподобия.
Уравнения для отыскания этсй оценки д1п(.!»! ()»; 0)/дО»=0, й=1, ..., г, созна. дают с уравнениями (2.68). Таким образом, оценки по видоизмененному методу минимума Х» совпадают с мульгиномиальными оценками максимального правдоподобия. 6 2.6. Интервальное оценнвание В предыдущих параграфах были рассмотрены точечные оценки для параметра О исследуемой модели У = =-(Е(х; 0)й)6~ 6) и функций этого параметра. Любая точечнаи оценка представляет собой функцию Т = Т(Х) выборки Х =(Х„, ...
..., Х,), т. е. является случайной величиной, и при каждой реализации х выборки Х эта функция определяет единственное значение 1=Т(х) оценки, принимаемое за приближенное значение оцениваемой характеристики. При этом надо принимать во внимание, что в каждом конкретном случае значение оценки может отличаться от значения параметра; следовательно, полезно знать и возможную погрешность, возникающую при использовании предлагаемой оценки.
Например, указать такой интервал (илн область в случае векторного параметра), внутри которого с высокой вероятностью Т находится точное значение оцениваемого параметра. В этом случае говорят об интервальном или доверительном оценивании, а соответствуинций' интервал называют доверил»ельным. Величину у выбирают заранее; она отражает «степень готовности мириться с возможностью ошибкиж При заданном у длина доверительного интервала характеризует точность локализации значения параметра, поэтому желательно выбирать кратчайший интервал. Если этот интервал можно построить, то он обеспечивает наиболее точную (при заданном у) локализацию параметра. Подобный подход к задаче оценивания неизвестных параметров распределений и будет рассмотрен в данном параграфе. 1.
Понятие доверительного интервала. Рассмотрим доверительное аценивание скалярного параметра. При интервальном оценивании ищут две такие статистики Т,=Т,(Х) и Т,=ть(Х), что Т,(Тьэ для которых при заданном уея(0, 1) выполняется условие Рв(Т1(Х) «8(Ть(Х)) )7, 79 ~ с!. (2.71) В этом случае интервал (Тд(Х), Т,(Х)) называют 7-доверительным интервалом (для 6); число у — доверительным уровнем или доверительной вероятностью, Т,(Х) и Т,(Х) — нижней и верхней доверительными границами соответственно.
Таким образом, у-доверительный интервал — эта случайный интервал в параметрическом множестве Рм (Т,, Т,) с: О, зависящий от выборки Х (но не от 0), который содержит (накрывает) истинное значение неизвестного параметра В с вероятностью, нс меньшей 7, Если выполнено условие (2.71), то это практически означает следующее. Пусть проводится большое число ие зависящих друг от друга экспериментов, в каждом кз которых по и наблюдений над случайной величиной $ с о ($) еп г. Оценивается параметр 6 и используется следующее статистическое правило: если результаты эксперимента описываются выборкой Х, то неизвестное значение параметра 0 лежит внутри интервала (7"1 (Х), Т (Х)).
Тогда это правило иногда может оказаться ошибочным, ко число таких случаев при у, близком к 1, мало и составляет примерно (1 — у) 100% общего числа случаев применения этого правила. На практике обычно используют значения доверительного уровня 7 из небольшого набора заранее выбранных, достаточно близких к 1 значений, например 7=0,9; 0,95; 0,99 и т. д. Иногда рассматривают односторонние доверительные интервалы, соответственна верхний (вида 6 Т,(Х)) и нижний (вида Т,(Х)«, (6), определяемые условиями, аналогичными (2.7!), в которых опускают соответствующую вторую границу.
Аналогично 'определяется доверительный интервал для отдель. най компоненты (например, 8,) в случае многомерного параметра О: Рь(т,(Х)«9,(тв(Х))==7, Ю =О, а также доверительный интервал для скалярной параметрической функции т(8) (9 может быть как скалярам, так и вектором): Рв(Т1(Х)(т(9) Т,(Х))~у, УВ еп О. 2.
Построение доверительного иктервала с помощью центральной статистикк. Общий прием, с помощью которого в ряде случаев можно построить доверительный интервал, состоит в следующем. Пусть модель .У абсолютно непрерывна и существует случайная величина б (Х; В), зависящая от В и такая, что: 82 1) Распределение б (Х; В) не зависит от 8 и 2) при каждом х~.й функция 6(х; 8) не Рывка н стРого монотонна по 9 — так„ случайную величину называют иногда „,„ ральной статистикой (для 0). Аналоги н оп е пр деляется центральная статистика для т,и! отдельной компоненты (например, 0,) в случае многомерного параметра Π— 6(Х; 8,), а также для скалярной параметрической функции т=т(0) (0 может быть как скалярам, Рвс. 2.! так и вектором) — 6(Х; г).
Далее будем рассматривать для краткости лишь случай скалярного парамет а 9. у д одели =~ построена центральная статистика ,е ра 6(Х; 9) и 7а(й) — ее плотность распределения. Функция 7а(д) от параметра 9 ие зависит (условие 1)1, поэтому для любого так, чтобы у (, ) о выбрать величины и1(и, (многими способами) (2.72) Действительно, непрерывность и монотонность по 0 здесь очевидны, а так как Хь(Р(хй 9)) = 11 (О, 1) при любом О, то распределение 6(Х; 9) не зависит от 8. Далее, из,а(ч)=)т(0, 1) следует, что с ( — 1п т~) = Г (1, 1). Таким образом, слагаемые вэ(2.74) независимы и каждое из них имеет распределение Г (1, 1).
По воспроизводящему свойству гамма-распределения окончательно получаем, что плотность распределения статистики 6(Х; О) есть Рв (й1 < 6 (Х; 8) ( де) = ~ 7а (й) йв = у. е~ Определим теперь при каждом х епЯ числа Т;(х), 1=1, 2, где Т,(х)(ть(х), как решения относительно 6 уравнений 6(х; 8)=йь йь (2.73) [однозначность определения этих чисел обеспечивается условием 2), налаженным на функцию 6 (х; 9)1. Тогда неравенства йт ( < 6 (х; 8) (д, эквивалентны неравенствам Т, (х) < 6 < Т, (х) (рис.
2.1) и, следовательно, (2.72) можно переписать в виде Рв (Т, (Х) < В ( Т, (Х)) =7, 1г 9. Таким образам', построенный интервал (Т„(Х), Т,(Х)) является у-доверительным интервалом для В. В каждан конкретной задаче при построении центральной статистики для оцениваемой характеристики обычно приходится учитывать специфику рассматриваемой модели (см. следующие киже примеры), однако можно выделить класс моделей, для которых центральная статистика всегда существует и имеет простой вид.
Именна: если функция распределения г (х; 8) непрерывна и монотонна по параметру В, то можно положить 6(Х; В)= — ~ !пР(Хй 8). (2,74) 1=! плотность распределения Г(1, и), т. е. (см. табл. В.1) /о(м) = =я !е-в/Г(п), й>0. Отсюда н из (2.72) получаем следующий метод построения доверительного интервала для 6: при вквлннам у выбираем числа д, д~ так, чтобы ! — д"-1 е-е Д!г = у. Г (н),! Мю Решая уравяеиия ! — 'У', )п/'(х,.; 8) =ям яе, (2.75) !=! находим корин Т, (х) ( Т, (х).
Тогда (Т, (Х), Т, (Х)) — искомый у-даверительный интервал для 8. Очевидна, наибольшая трудность в применении этой методики к конкретным задачам возникает прн нахождении решений уравнений (2.75). Рассмотрим несколько важных примеров использования центральных статистик при построении доверительных интервалов для параметров нормальных моделей. Пример 2.28 (нормальная-1 модель, доверительный интервал для среднего). Пусть па выборке Х=(Х„..., Х„) требуется построить доверительный интервал для неиэвестнога среднего 6 в модели э~" (9, а'). Известно (см.
теорему 1.10), что лв(3/и (Х— — 9)/а)=э/ (О, 1). Следовательно, в данном случае центральная статистика б(Х; 6)=)/ и —. Решения уравнений (2.73) имеют внд Т,(х) = х — ~ дм Тэ(х) = х— — —.дм поэтому у-доверительным для 8 является любой интервал ф'й Л„(Х) =/Х--';=й„Х вЂ” -' — а1), (2.75) уй )/в /' где Я!(йе — любые числа, УдовлетвоРЯющие Условию Ф (де) Ф (д!) = у. (2.77) Отметим, что„хотя интервал Л„(Х) случаен, его длина постоянна и равна 1 (яп де) =а (дч-я!)/Р и, поэтому, чтобы среди всех интервалов вида (2.75) выбрать кратчайший, надо миннмизиравать функцию 1 (д„яе) при условии (2,77). Применяя метод Лагранжа нахождения условного экстремума, получаем следующую систему уравнений: Ьр (й!) = о/)/ !!, )ор (яе) = а/)/'и, Ф Щ) — Ф (д1) = у, где ч!(х) =Ф'(х) = =с-"'.
Отсюда находим, что !р(й!)=!р(йе)' 1 )/зя Так как функция !9(х) — четная, то яг = — де. Учитывая это, а также последнее уравнение и соотношение Ф( — х) =1 — Ф(х), па.!учаем равенство Ф(я,)=(!+7)/2, нз которого находим, чта д, == с„— — Ф-' ((1+ у)/2) — (1+ 7),'2-квантиль стандартнага нормального распределения чл (О, 1). Итак, оптимальным [среди интервалов Л (Х)1 у-доверительным интервалом для параметра 6 в модели а/'(8, а') является интервал Л!1(Х)=-!Х вЂ” -=се, Х+,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
