4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Отметим, что в этой методике доверительная область строится неоднозначно (так как при заданном доверительном уровне у множества И(0) можно выбрать различными способами) н задача состоит в построении доверительной области минимальных разме. ров, обеспечивающей наиболее точную (при заданном у) локализацию параметра.
В конкретных задачах множества Н (6), удовлетворяющие условию (2,89), строят обычно с помощью некоторой статистики Т (Х) (вообще говоря, векторной), распределение которой известно, Проиллюстрируем изложенный метод на следующем примере. Пример 2.37 (даеерительнал область для параметра оба(ей нормальной модели). В примере 2.30 были построены доверительные интервалы отдельно для неизвестных среднего 6, и дисперсии т=6,' нормальной модели м/ (Оы 9,').
Было бы неверным считать, что двумерная точка (О„т=6',) с вероятностью у лежит в прямо- угольнике (см. формулы (2.81) — (2.82)1 5 — В Х, 1~ ~<6,<Х+ ) л — 1 — т,ч- * ав'/Х!-ьт < Ог <пЯ'/Х! т, 5г= Яг (Х), г так как случайные величины (Х вЂ” 6!)/Я и Зг, на х ОСИОВаинн КОтОрЫХ СтрОИЛИСЬ Этн ИитЕрнаЛЫ, За- Рне. 2.5 висимы; 7-доверительную область для пары (Ох, т) можно построить, например, используя двумерную статистику (Х, Яг), компоненты которой в силу теоремы 1.!О являются независимыми случайными величинами. Соответствующее построение можно выполнить, принимая во внимание результаты примеров 2.17 и 2.19.
Сопоставим каждой паре 8=(6„т) подмножсство И(0) вида Н (8) = ~х: ф — ) х — 9! ) <1 = е „ лле ! =Х!! — г.!!г, и — т« — ! =Х!!+ та/т, л — !) ~ ГДЕ 6 =5'(Х), УлУа=У, Ст, =Ф-' — '), )(Ле „, — Р-КааитИЛЬ РаС- пределения Х'(н — 1). Тогда в силу независимости Х и Зг Ра(Х6=Н(0))=Ра( и/т/Х вЂ” От(<ет,)Рг(Р<пУ/т<!ч)=у!у Г у (см.
теорему !.1О), т. е. построенные подмножества удовлетворяют условию (2.89). Разрешая неравенства, определяющие подмножества Н (0), относительно параметров О, и т, получаем искомыедоверительные множества р(х), определяемые условиями т > ) (х — О!)'и/!, пз'/!" г <пУ/!'. Область 3 (х) представляет собой в данном случае часть плоскости (О„т), ограниченную параболой т=(х — О!)гп/! и двумя прямыми т=пзг/!" и т= — пзг//' (рис. 2.5). Другие примеры построения доверительных областей приведены в гл. 5. Задача 1. Пусть требуется оценнть функцию т (О) = 1/6 по аыборме Х = (Х,,..., Х„) на рлспределеннн пг(!. 6!. показать. что н данном случае неемещенных оценок не существует. 2.
Пусть по одному наблюденню над случайной аелнчнной 6 с распределеннем /(х; 6) =е — / !1 — е 6), х=1, 2, ... (урезанное а нуле пуассоаоа- -6 ское распределение). требуется опекать фупкпню г!61=1 — е-6. найти етатнстиму, удонлетнорякяцую условию несллещенноетн 80Т (Хх) =т (6), н показать, что она практически бесполезна. 3. Пусть производится одно наблюдение над случайной величиной $ е распределеннем В! (п, 6).
Оценнть функцню т„ь(6)=за!1 — 6)ь !а, Ьтеб — целые числа) н пон зать, что прн а+Ь~л несмещенной оценной т„ь(6) является етатнетнка Т !Хл)=(Х )„!л — Хл!ь/(л!е,ь (адесь (г)„=г(г — 1) ... (г-а+1), (г) =1) н что а других случаях неемещенных опенок не существует. 4. По результатам н испытаний оценивается неизвестная вероятность успеха 0 в схеме Бернулли В! (1, 8). Обозначая через г число успехов в этих испытааиях и рассматривая класс оценок вида Т(Х) =(г+а)/(с)+й), вычислить средиеквадратическую ошибку оценки Т н показать, что при а= !' л)2, В=У и она ие зависит от В и равна 1сс[4 [9~и+1) !. Сравнить эту ошибку с ошибкой обычной оценки г/и.
5. Вычислкть функции информации с (9), приведенные в табл. 2.1. 8. Проверить данные, приведенные в табл. 2.2. 7. Имеется выборка Х=(Хо .... Х„) из распределения Г (а, 6). Восполь. човавшись крнтернелс для экспоненциального семейства, показать, что стати- 1 стнка Т (Х) = — «7 !п Хс — !п а является эффективной оценкой для т (9) = с=) = Г'(9)/Г(8) и при этом ОВТ=т' (8)/н. 8. Доназать, что в модели иф Оы 9») ие существует эффективной оценки л длн т (6) = 6; статистика Т (Х) = — бг/ — 7 ! Х.
— Р ' Явлаетсз несмещенной с= с оцеикол 9 н ОзТ =(и — 2) 0»/(2л). 9. Проверить с помощью непосредственных вычислений, что указанная в примере 2.5 статистика Т' является несмещенной оценкой 9» и модели ад ° (9, а»). 10. С помощью непосредственных вычислений убедиться, что в случае лвгистичвсхого распределения, плотность которого имеет вид / (х; б) = е-™ (1+е хсз)», — со(х(ошс а) статистика Т(Х)=Х вЂ” несмещенная оценка 0 и ОцТ=яз/(Зн); б) функция ин[юрмации с (6)=!/3 и, следовательно, Х не является эффективной оценкой 6. 11. Доказать, что для экспоиенпиального семейства функция иифор»сании с(9) = (С'(6) А" (6) — С" (6) А'(6))/А'(9).
У к аз а н к е. Сравнить представле. ння (2.20) н (2.27] для дисперсии эффективной оценки. 12. Вычислить величину ЕОВ !6) Для ЭнспоненЦнального семейства. У к а. з а н и е. По определению, с'(6! = — Еа,'' = — А" (9) Е6В (6) — С*(9): дз !сс/(Е: 8) дб» далее использовать резуль~аты задачи 1!. 10. Продолжительность горения электрических ламп имеет распределение Г(8, 1), Чтобы оценить В, берется выборка из и ламп н наблюдаютсн лвремена жизни» первых г перегоревших ламп Хссс ( Ха, <... ( Хьн Построить г оптимальную оценку вида Т (Х)= ~Р ~ХьХ,ь,, Указан не. Воспользоваться а=с результатом задачи !2 гл.
! н перейти к независимым величинам Уг = = [(п — г-1- !)/В](Х,,— Х, и), г=1, ..., н: г Т(Х)=6 Ъ .' 1;, Л;= ~ Д~„ — С. л-/+! Отсюда ЕбТ=В~ Лс/(л — с+1), ОаТ=В» ~ Л';/(н — с-1-!)з и оптимальный с'=с с=! выбор Л; таков: Л*=(п-с'+ !)/г, с'= 1, ..., г. Ответ. Т' Хп,-(-...+Х„;)/г+(л — г) Х„;/г. 14. Пусть на даечая случайная величина $ имеет область изменения [а(б), Ь[, где а(0) — аи монотонная функция 6. Показать, что минимальное значение выбор Хп, является достаточной статистикой для 6 тогда и только тогда, когда плотность /(х; 8) имеет вид /(х; 6) =2(х)/й (8); а(8)чх ~х~б, Зсат же результат справедлив и для статистики Коо в случае об.
ласти [а, Ь(6)[, где Ь(б) — заданная монотонная функция б. Ъс к аз а н не, Воспользоваться критерием факторизации. 15. Доказать, что в случае модели иФ (6, а») среднее арифметическое выборки является полной достаточной статистикой. Ук аз а н не. В дэнном случае Ебср (Х) зж О <."=„"> ! ср (с) е лс*/Сзо )е"'8/е б/ = О. Этот интеграл есть и двусмароинее преобразование Лапласа от 6)(/)е "г'/!ин), поэтому ф(/)ешь. ! 1б~ Показать, что в случае модели ид (9, у»0») достаточной статистикой ;,г.с/явлйег~я пара Т=(Х.
5»), но эта статистика не полная. ук звание. Рас: смотреть функцию ср (/) = (л-1-7 ) 5»/[[л — 1) у»! — Хэ н показать, ч со '74'[(=' 17. Доказать полнотУ статистики Т = (Хп„Х,„,) в слУчае моаели )7 [йс „Получить отсюда, что Тс=(Х с,+Х,„,)/2 и Т,=[(я+1)/(н — )Д м )С (Хоо — Х,сс) — оптимальные оценки средней точки (0)+9»)/2 и ширины 6» — 9, интервала, на котором сосредоточено распределение. Вычислить дис. персии этих оценок. У к а з а н не.
Воспользоваться результасами задачи 12 гл. 1. Олмвнс. ОвТ)=(бс — бс)»/[2 (и+1) (и+2)!. ОаТ» — — 2 (6» — бс)з/[(н — 1) (и+2)[, 1б. В услоиинх задачи 17 построить оптимальные оиенкн для бс и 6), !9. Показать, что в случае двухлара.четричегнвго вхгноненииального раслргделгнил, задаваемого плотностью /( .
6) е (х 0)/В достасочной статнстикон является пара (Хо,, Х). 29. Пусть Х=(Хь ..., Хл) — выборка из распределения Г (8, Л)с л а) показать, со Т(Х)= ~ Хс — полная достаточная ссатнссика для б; с=) б) пусть 6» — заданная функция. для которой с(б)=Ебс((е) существует. Тогда оспимачьиая оценка,для т(8) имеет аиа 1 х* = Г ()сн) Г !)») Г Р, ( — 1)) ~ р(/Т(Х))/ь- (! — /)"- х- д/. Получить отсюда при ср (х) =х/)с результат, приведенный в тэбэ 2.2. У к аз а н н е. Использовать тот факт, что Е (Т (Х)) = Г (8. Элс) (си. замечание в п.
! 6 1.5). 21. Провери~ь, что в условиях зааачи 20 оптимальной оценкой для ф)икцин надежности х (6, Г) =Рв $.~/) является статистика при Т (Х) ( /, 1 — В ОУТ (Х); )., )с (л — !)) прн Т(Х) )/, где В (з; а, Ь)=~ х"-с(! — х)в-сдх, О~а~! — неполная бетафункция. В частности, для экспоненциального распределения Г (9, 1) 0 при Т(Х)~Г, (! — //Т (Х))" ' при Т (Х) ) Е ( 0 прн хС/, к а з а и и е. Взять ср (х) =/,гиш (х) =(( ( ! при х~/.
г„), (» 22.,Показать, по для рсхнргделгниа Вейбула, задаваемого плотностью -' 3.хх-с (л/8)Ь /(х; О) = — е, х. О, волной достаточной статистикой для 6 яаля- 8» ! 4 За»э» Ю Юб! 9? стоя Т (Х) = ~ц~~ Х!', а оптимальная оценка функция т (8) = ЕО!р [0), гас !р— 1=! 1 заданная функция, имеет внд т* =(л — 1) ~ !р [[(Т (Х)) ' (1 — !)л э Й. 23, Показать, что для функция г'(8), входжцей в определение распределении тяпа степенного ряда [см.
Оюрмулу (2 4!)) («=Ьл«1[Т)!Ьл(Т) Т.= = Х1-[-... + Хл, †оптимальн оценка по выборке Х =(Х„ ..., Х„) [Ьл(Т) определены в [2.42)). Ук а линие. Пряменнть формулу (2.43). 24. Показать, что т«=(1+1!л)~ — оптимальная оценка функции т(0)=е" в случае пуассоновской модели П(0). Вычислить Рэт* и показать, что Рэт' Оееа/н, н- сс. У к аз а н не. Воспользоваться результатом задачи 23 [здесь Ь (!) =и!(В!, Рэт*=е'0(е01» — 1)). 2$. Паказат!ь что т' (1 — 1/л) — оптимальная оценка дэя пуассоновской вероятности т(8)=ра [0=0)=е-О н при этом Рэт«=е я1(е 1л — 1) Ое ю/н, л-ь со. У к а э а и не. Воспользоваться результатом примера 2.13. 29.
Поназать, что оптимальной оценкой для т(6)=6 усеченного в нуле пуассоновского распределении является статистика т'=Т5 (п, Т вЂ” !)15(п, Т), л Т вЂ”.л+1, где 5 (и, Ь)= ~ ( — 1)»- С,',га. Указание. Положить в фарг=о муле (244) 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
