Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (1186148), страница 20
Текст из файла (страница 20)
й„ !!5 $А!!) УЧЕТ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ точек (г,ь, ..., Е„г ), где ! Н 1;(/г,, причем вероятность появления этих точек кь ! = Р,;, . Ртг Таким образом, здесь подлежат определению величины гп; и р;и при 1, (й; путем решения задачи типа (99)— (100) с заменой а на и;=Тгс 2. Приближенно заменим требование независимости ВР на их некоррелируемость.
Это означает, что можно в принципе воспользоваться теоремами 1Х вЂ” Х при включении в число ограничений (102') условий некоррелируемости. Анализ такого пути показывает, что для возможности использования здесь теорем 1Х вЂ” Х нужно предполагать и точное знание первых моментов, иначе нельзя в виде (102) записать равенство нулю коэффициентов корреляции. Отметим далее, что указанное приближенное сведение задачи с непрерывными г; к задаче (101) †(102) позволяет для оценки эффективности при наличии неопределенностей в г"(е) использовать численные методы линейного программирования. Так как оценка эффективности требует лишь знания самого минимума, а не его реализации, то можно переходить и к двойственной задаче, если это почему-либо окажется выгодным.
Однако это практически эффективно только при сравнительно небольших т, я; и, видимо, и. При больших гл трудно рассчитывать на эффективность численных методов; правильнее искать здесь пути для использования тех или иных асимптотических методов, например, предельных теорем. Итак, оценка эффективности стратегий является сравнительно простой задачей для расчетов, только если законы распределения случайных факторов известны достаточно точно н, кроме случайных факторов, других неконтролируемых факторов нет.
Во всех остальных случаях оценка эффективности требует решения задач на отыскание глобального минимума. Ранее отмечалось значение лемм Неймана †Пирсо и Беллмана. Первая из них относится к следующей задаче. Пусть 1(1) >0 и я(1)>0 — функции, заданные и интегрируемые на (0; Т), причем д(1) нормирована: ~ д(1) 11 =1. Пй оцаик» э»»активности стР»тягай (гл. ц В классе интегрируемых функций ~р((), почти всюду подчиненных ограничениям О«р(()<М, т ~~р(()й(()д(<а; 0 <а < М, о пусть нужно определить ~р,((), для которой т т ~ <р, (() ( (() аг' = гпах ) % (() ~ Я Й.
Лемма Неймана — Пирсона. Решение указанной задачи имеет вид ~р,(()=М р — < ) й, У(0 а(О ~р,(()=0 лри — „<й. л(О Величина й и ~р» (() на множестве точек, еде ~ (() = йл((), определяются так, что т ~ ~р,(()д(()д(=а. Доказательство. Поясним, прежде всего, как практически определяются й и ~р»(1). Для каждого й, находится множество Е»„ на котором ( (() ) й,д(() и далее рассматриваются о(й,)= ~ Мй(()с((.
е„ Функция о(й,) не возрастает и непрерывна справа, т. е. о(й,)= !пп о(й'); Е»,~Е». »' »» »'>»~ Пусть К вЂ” множество тех й„для которых о(й,))а. Величина й определяется как й= зцр й,~О. »~»К Положим е=а — ) Мй(()е((. в» Ф 111 тчет слтчейеых еектотое 11т Очевидно, е) 0 в силу непрерывности справа о(й,). Далее е< о(й — О) — о(й).
Функция ф, на множестве Ео, где 1(1) йд(1), определяется так, что ~ ф. (1) а(1) = . во Это всегда можно сделать в силу указанных границ для е. Функция ф, и удовлетворяет вместе с й всем тре- бованиям теоремы. В случае, когда функции 1(1) и й,дф пересекаются лишь в конечном числе точек, е равно нулю, и все по- строение упрощается.
Доказательство того, что ф„(1) реализует требуемый максимум, элементарно. Имеем т ~ УИ вЂ” йаИ) (фИ вЂ” фо(1НоР1<0. о ибо на множестве Е, 1(г) — йаИ>0 и ф(г) — фоя=фЯ вЂ” М<0, а на множестве ЕР, 1(1) — йЕ(1) = 0, в остальных же точках 1 (1) — йл (1) < 0; ф (о) — ф, (1) = ф (1) > О. Но из указанного неравенства следует т т )1(1)ф(1)б1 — ) Ж)ф.(1)б1 < о о рт т рт ~о(1оимоа — 1о~оо.~оо )=о(1оо)оао~ — ].
о о о т Поскольку по условию ~ д (1) ф (1) бР < а, то о т т ~1(1) ф(1) б1 == ~1ЯфоЯбр. А это и требовалось показать. 1!В оценил эвокктивиостн стратегий [гл. и Более общую лемму дадим без доказательства *). Лемма. Пусть д,(1), ..., д„(о) — система линейно- независимых интегрируемых функций. Пусть ) (о) таклсе интегрируема, а функции ф (1) удовлетворяют условию О < ~р (1) ( т.
Обозначил через с множество точек [с„..., с„'1 п-мерного пространства, представимых в виде 1 с;= 1 р(1)д;(1)Ж о для «акого-то гр (1). Если (сы..., с„') — внУтРеннЯЯ точка множества с, то существуют постоянные Лы..., Л„такие, что ~ро (1) мак- 1 1 симизирует ) гр(1)) (г)ау при с',= ) цгЯугЯа( (1(г(п), о о тогда и только тогда, когда для почти всех 1 о гРо (1) = т пРи )'(Г) ),~~ Лгй;(Г), л фо (1) = О пРи ) (1) (,'~~ЛгУ;(1).
й 12. Гарантированные оценки надежности Надежность агрегатов и систем определяется только случайными неконтролируемыми факторами, а именно моментами выхода из строя агрегатов (см. пример Ч1 9 2 иэ7). Поэтому есть смысл воспользоваться здесь соображениями; изложенными в предыдущем параграфе. Как уже говорилось, в теории надежности широко применяется в качестве закона распределения времени выхода агрегатов из строя закон (95); объясняется это простотой аналитических выкладок при оценке надежности по закону (95).
Однако некритическое его применение может привести к существенным ошибкам. Так, если истинный закон для всех агрегатов имеет вид 1 — ре-х'— *) См. Белл м а н, Гли ковер г, Г росс, Некоторые вопросы математической теории процессов управления (лемма ЗЛ). в 121 гагантигованныв оценки надежности 119 — (1 — р)е-"*', то по (69) имеем для надежности системы из п агрегатов формулу р~(>) — (ре-м«+(1 р) е-Я~«)п рве-пх~« ~ 1 „+ е-(лэ ьп « ~ Р при Л, > Л„1 — р ( р и больших п: < р>„-<л,-м>« р„(«) ж рпе "«" 'е Р Пусть теперь п(1 — р)=А, пЛ,=В и и велико; тогда р" же-А; рм1, Л,мО, -«.и> -л («-е >« -в«ел«ае-в« (последнее при всех 1 э1/Л,).
Между тем при любом Л закон (95) даст р„я=е-ь«; для того, чтобы эта функция не зависела от п, необходимо принять Лп=с и р„(1)=е-'; между этой формулой и выражением е-яме-в' невозможно установить близость путем выбора с для сколько-нибудь широкого интервала изменения 1. Это и доказывает невозможность достаточно хорошей аппроксимации исходного закона ! — ре-ь'— — (1 — р)е ь" с помощью (95) при оценке надежности системы с большими п. Возможность избежать необоснованного преувеличения надежности дает лишь подход, основанный на гарантированных оценках, базирующихся на той или иной информации о законе распределения Р«(«)=1 — р«(1) времени выхода из строя агрегатов, которые будем считать независимыми по моментам выхода из строя.
Формулы (69), (71) и (74) показывают, что при любых видах последовательного и параллельного соединений при заданном времени работы 1=1, минимум эффективности системы по виду законов распределения 1 — р;(т) будет достигаться одновременно с минимумом самих р;(1,). Достаточно, следовательно, получить гарантированные оценки самого р (1,) (индекс 1 опускаем) при той или иной информации о нем типа (91), которая получается из опыта. Наилучшей информацией может быть непосредственно информация о р(1,) для заданного 1,. Однако это не всегда возможно, потому что 1, может меняться или не быть 120 оценил зеаекгнзности стгегегия (гл.
и известным в момент организации опытов над отдельными агрегатами. Типичной информацией является оценка значений р (г',) при некоторых Гь априори не связанных с Г,: с)(р(1)(с;; 1=1,2,...,й, (103) и информация о математическом ожидании времени работы агрегата Т,(Т=)1И(1 — р(1)) (Т,. (104) Менее принятой в теории надежности, но, по-видимому, не менее необходимой является информация о дисперсии времени работы и,.:.
п=(~ею(1 — р(г)) — т (о,. (103) Во всех случаях обязательно ) г((1 — р(1)) =1 (105') при 1=0, при 1;(1(1,+„ 1 р (1, 1н с;) = т~и р (1) шах с) (юг+1 0 при 1) гм Этот результат находится в полном соответствии с теоремами 1Х вЂ” Х. Пусть теперь наряду с (103] дано еще (104). Тогда для непротиворечивости (103) и (104) необходимо ~ р (1, 8; сг) й ( Т,. (106) Действительно, для любого р(1), удовлетворяющего (103), имеем Т, ) Т = ~ й4 [1 —. р (1)) =. ) р (1) г11 )~ ~ р (1, 1н сг) г(1, прн р(0) = 1. Пусть сначала имеется только информация типа (103).
Тогда из монотонности р(г) следует, что при сг) шах с~ !)г и только при атом условии решение задачи существует и равно з 121 глглитиговлииыи опивки илдижиости 121 Пусть (106) выполнено, тогда нижней гранью р(1) опять является р (г', го с,'). Прежде всего очевидно, что эта грань не может быть ниже р («, гь с;). Теперь построим р,(г) следующим образом: р,Я=р (1,(ос~) при 1<1„, Тх~ — ) р (дгь с,')Ж р,Я= при гл<Ф<гл+т и прн г > ге+и р,(г)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
