Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (1186148), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1 < Г < АГ Комбинация (131) и (133) может давать критерии весьма широкого вида (см. 3 3) и, в частности, получать критерии типа «достигнуть успеха хотя бы в й операциях из Ум Гпах ппп г"(хй, уй); Г = 1, ..., ГГ'. (И4) (Г,) 1<Г<А<Я О«О,, Однако практически такие критерии сравнительно редко применяются, и потому далее ограничимся рассмотрением (131) — (133). Для них имеется общее неравенство У„(х«, у')(97,(х«, у')(Ф'«(х«, у'), (135) соответствующее интуитивным представлениям о большей доступности успеха хоть в одной из операций. Из упоминавшейся ранее операции перехвата самолетов противника можно получить примеры всех трех типов.
Например, многократным попыткам сбить один и тот же самолет противника соответствует (131); многократным попыткам сбить разные самолеты соответствует (133), если нужно сбить все, и (132), если нужно сбить как можно больше. При поиске нефти в данном районе достаточно, чтобы хоть одна из попыток бурения увенчалась успехом — (131), а при игре в карты обычно интересуются суммарным выиг- рышем, что, очевидно, эквивалентно (132). Многократные попытки сдать экзамен характеризуются обычно максимальной из оценок †(131). Если г"(х, у) принимает только два значения 0; 1, а у; = (у,Г, ..., у,Г) †случайн векторы, то применение осреднення (66) к критерию суммарной операции (131) з 14! повтогзяие онеглцяя я сяешлнныз стглтзгии 141 т. е. не имеется никакой выгоды от повторения операции.
Аналогично для (133) при независимых у,: )р„(х") = Д В' (х;). (137) Что касается (132), то здесь при любой х' = (х~(у~)) = =(х) и без предположения о независимости У (х')= 1 ЕУ(х) (138) Формула (138) справедлива при любом виде Р(х, у), а 1Р'(х;), теряя смысл вероятности, остается математическим ожиданием Р(х, у). В этом и состоит основная привлекательность (132), благодаря которой этот вариант суммарного критерия широко используется всюду и в том числе в теории игр.
В общем случае Р(х, у) даже при независимых у; нельзя упростить выражения Ф'(х') = )' шах Р(хо у)байр(у,), ..., йр(ул), (139) 1~а~л У (х') = $ ... ) ппп Р(хо у;)йр(у,), ..., Ьр(ул). (140) 1<1<У Здесь для краткости через Нр(у) обозначено Пф (у). 1=! даст, очевидно, при независимых у; и х' =х' л К, (х') = 1 — Ц (1 — (Р' (х;)), (136) с=в где Т1'(х;) — результат осреднения по (66) для отдельной операции. Это обычная формула для вероятности хотя бы одного появления события при У испытаниях, если вероятность его появления в 1-м испытании %'(х ). Если, наоборот, у, полностью связаны, а именно, у =у> то при х; =.х 142 оценил эефективности стгвтегий [тл. и Пусть теперь у — неопределенный фактор; тогда соглас- но общим взглядам на оценку эффективности получим Я',(х') =пи!и шах Р(хо у), (141) !<!<У Ф'„(х') = ппп ппп Р (х!, у!).
(~!) ц<!<и Ф',(х')= гп!и — ~~~Р(х!, у!). (143) !У!) ю=! Легко увидеть, что если Р(х, у) принимает только значения О; 1, то (141) и (142) можно записать в виде и! К,(х')=ппп ~! — Я [1 — Р(хо у,)), (144) (й!) к= ! и йт„(х') = ппп П Р (х!, у!). (145) Ь) -! Этим можно закончить описание оценки эффективности в многократно повторяющихся операциях; укажем только, что общий случай наличия и случайных, и неопределенных факторов будет описываться, как и раньше, простой комбинацией приведенных формул. Применяя при повторении операции стандартную стратегию х! = х = х (у), оперирующая сторона в варианте (!32) при наличии лишь случайных факторов, независимых при повторении, имеет эффективность ровно такую же, как и при однократном проведении операции. Точно такой же вывод получится и для неопределенных факторов, если возможно взять все у! равными между собой и реализующими пппР(х, у).
По другому будет обстоять дело, если х=х и изменение у, с изменением ! подчинено каким-то новым ограничениям, не сказывающимся, разумеется, при Ф = 1. Пусть, например, у; =у,+с !, но у, ~ув(у,'. Тогда ясно, что невозможно при всех ! обеспечить ппп Р (х, у), несмотря на сохранение одинаковых границ у, и у,' изменения э 14] поатогвниз опеглции и смвшлнныв стглтагии 143 всех у;. В таком случае и ш!п — „~Р(х, у;) > пппР(х, у;), (ж) к ь Бд и получается выигрыш в эффективности в среднем по сравнению с отдельной операцией. Таким образом, при использовании оценки (58) разброс возможных неконтролируемых факторов может дать выигрыш в эффективности стандартной стратегии для (132), в то время как при осредненни по независимым случайностям такого выигрыша не наблюдается.
Для (131) даже случайный, но независимый разброс неконтролируемых факторов приводит к увеличению эффективности стандартной стратегии по сравнению с )У=1, что хорошо видно из (136) и (141). Напротив, такой разброс для (!33) приводит только к уменьшению эффективности по сравнению с У = 1 (см. (137)). Однако разброс неконтролируемых факторов необязателен и, главное, не находится в распоряжении оперирующей стороны. Напротив, выбор степени разброса (нестандартности) стратегий вполне может быть составной частью общей стратегии оперирующей стороны.
Поэтому особенно интересно проанализировать влияние этого фактора на эффективность проведения многократно повторяющейся операции. Вопрос состоит в том, не изменит ли факт многократного повторения операции самого смысла сравнении эффективности так, что вместо утверждений о большей эффективности одной из двух сравниваемых стратегий появится утверждение об эффективности пары этих стратегий с указанием, сколько раз при повторении операции нужно применять одну и сколько †друг. Остановимся для простоты на случае оценки эффективности двух стратегий, не рассчитанных на информацию о у, т. е.
когда х может принимать только два значения х, и х,. Предположим, что имеет место (132) и стандартное поведение неопределенных факторов, так что у,=у. Тогда если в рл случаях нз У повторений применяется х„ 144 оцзнкл ээезктиввости сттлтзгий [гл. пг так ш!и !рР(х„у)+(1 — р)Р(х„у)] =э Ю>б1 ) шах пцп (рР(хо у)+(! — Р)Р(х„о))=- я=о; ~=~ =шах (ш!пР(хо у); ш!пР(х„у)~. (147) ! т э Таким образом, при неизменных во время повторения операций у выгодно использовать обе сравниваемые стратегии с частотой р, и 1 — Р, такой, чтобы ппп(Р(х„у) р,+(! — р,) Р(х„у)) = =- шах и по (рР (х„й) + (1 — р) Р (х„у)).
я у (148) При такой организации повторений операций стратегиями становятся собственно уже не х, и х„а частота их применения р и 1 — р. Конечно, такое понимание стратегий автоматически переносится на любое количество значений х (! = 1, ..., г), причем стратегиями становятся Г частоты их применения р. при условии ~~ р,=-1. !=1 а в остальных х„то оценка эффективности по (143) будет %,(р) = ш[п (РР (х„у) -[-(1 — р) Р (х„у)).
(146) Если не существует у„реализующего одновременно Р,=пппР(х„у) и Р,=ш!пР(х„у), то (146), очевидно, э строго больше, чем наименьшее из Р, и Р,. Но при разумном выборе р (146) больше, чем наибольшее из Р, и Р,. Это утверждение является частным случаем упомянутого в $ 7 принципа, заключающегося в том, что расширение множества стратегий может быть только выгодным (примененне только х, или только х, соответствует Р=1 и р=О). Математическое выражение интересующего нас утверждения очевидно: з 141 повтотинне опенаци~ и смишанныи сттлтвтнн 145 Когда же можно рассчитывать на стандартные неопределенные факторы? Прежде всего, конечно, при неопределенностях природных, если ясно, что обстановка не может сколько-нибудь быстро меняться, хотя она и не определена.
Быстрая изменчивость, имеющаяся для независимых случайных факторов, не мешает стандартности обстановки, во всяком случае после предварительного осреднения по (138), так что вместо Р(х, у) в (143) появятся йт (х, у'), зависящие только от неопределенной составляющей у' общего вектора неконтролируемых факторов у. Однако при наличии активного противника это предположение можно считать разумным, только если противник не будет информирована) о том, в каком именно повторении операции будет использоваться стратегия х„ а в каком х„.
Иначе в каждой реализации может выбираться свое у, реализующие пппР(х, у), и, следовательно, применение 0 < р < 1 приведет к результату: р пни Р(х„у)+(1 — р) тт Р(х„у) < р У < тах (т(п Р(х„у), ппп Р(х„у)), (149) У и худшему, чем выбор той из стратегий х„х„которая реализует написанный справа максимум. Итак, применение обеих стратегий при активном противнике имеет смысл только тогда, когда противник не- информирован о выборе стратегий в каждом повторении операции, хотя, может быть, и знает р, т.
е. частоту использования стратегий х, и х,. Такое предположение часто может оказаться справедливым, в особенности, если решение о конкретном выборе стратегий оперирующей стороной будет приниматься в последний момент, так что противник не успеет получить соответствующую информацию или использовать ее. Однако даже это предположение ие гарантирует еще ') Или если зта информации не может быть использована из-за недостаточной мобильности. В дальнейшем отдельно о недостаточной мобильности говорить не будем. 146 ОценкА ЕФФеетиености стРАтеГий 1Гл. и неизменности у; противник может начать как-то изменять у от повторения к повторению, если это помешает получить указанный выше выигрыш для оперирующей стороны. Если рассматриваются стратегии х, не зависящие от у, т.
е. не использующие информацию о у, то, как правило, следует полагать, что оперирующая сторона не будет осведомлена об этих изменениях. Можно ли в таком случае рассчитывать на выигрыш за счет применения обеих стратегий? Будем пока считать, что у противника только конечное число стратегий й.
Если й ( Ф, то гарантирована повторяемость стратегий противника хотя бы в [М/й1 + 1 операциях; следовательно, при У, значительно превышающих й, имеются некоторые условия для осмысленности применения обеих стратегий х, и х„если, конечно, противник не информирован о конкретном выборе стратегий х, или х, в каждом повторении.
Однако если оперирующей стороне неизвестно, какие именно повторения соответствуют одному и тому же значению у, то не понятно, как можно реализовать рз ~умный выбор порядка применения х, и х, и на какой выигрыш в эффективности можно рассчитывать. Очевидно, что не может существовать гарантированного расположения стратегий противника в повторениях, следовательно, гарантирующий подход, основанный на критерии (132), привел бы вновь к тому, что следовало бы принимать наихудшие действия противника в каждой реализации операции, а тогда получилось бы ~!49) и, следовательно, выгодно было бы только или р=О, или р= 1.
Как всегда, мы могли бы получить увеличение эффективности, если бы переход с одного значения у на другое был бы случайным и можно было бы произвести осреднение (132) по этим случайностям. Однако, априори, во всяком случае, при разумном противнике нельзя утверждать наличие здесь случайности, а тем более знать необходимые для осреднения законы распределения. Вот здесь и приходит на помощь тот факт, что важно не само распределение значений у по повторениям, а рас- $141 повтогениа опегссции и смешливые стглтегни 14с пределение ик относительно моментов применения стратегий х, и х„поскольку, не меняя результата сложной операции, йомера повторений можно менять произвольно. Но тогда интересующую нас случайность можно организовать самой оперирующей стороне, случайно выбирая номера повторений, в которых используются х, или х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
