Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (1186148), страница 23
Текст из файла (страница 23)
и Не повторяя остальные связи в 5, отметим только могущий быть полезным частный случай общей формулы (125). Пусть Р (х, у, а) непрерывна и вогнута по вектору а, пробегающему выпуклое ограниченное замкнутое множество. Тогда [п[ Р(х, у, а) достигается. Згот минимум в ась силу вогнутости Р будет достигаться в одной из крайних точек множества Е. Предположим сначала, что Р(х, у, а) строго вогнута, и пусть а, = Ла, + (1 — Л) а„причем а;ЕЕ (1=0, 1, 2) и О < Л<!. В силу строгой вогнутости имеем Р(х, у, а,) > ЛР(х, у, а,)+(1 — Л)Р(х, у, и,).
Поэтому хотя бы одно из чисел Р(х, у, а,), Р(х, у, а,) меньше, чем Р(х, у, а,); а это означает, что любая не крайняя точка а, не может реализовать интересующий нас минимум. Следовательно, в случае строгой вогнутости минимум необходимо достигается только в одной из край- них точек. Если Р(х, у, а) просто вогнута, то функция Р, (х, у, сс) = Р (х, у, а) — е ~ а,', с=1 где вектор а=(а„..., а ), при сколь угодно малых е > 0 есть функция строго вогнутая.
Это следует из того, что сумма вогнутой и строго вогнутой функций сама строго вогнута. Строгая вогнутость ~р(а) = — ~',а,' следует из не- равенства и — ~ (Ла;, + (1 — Л) а;,)' = г=г а = — ч~~ (Л'и,', + 2Л (! — Л) и;,и;, + (1 — Л)* аг,[ > 1=1 л > — Х Р ) +Л(1 — Л)(ий+аЮ+(! — Л)'с41 = С=1 п / л / л = — ч~~(Ли,*, + (1 — Л) ая,] = Л( — ~~.", а Ц + (1 — Л)( — хчэ сс,',, 1=1 ,1 ~=1 [соторое строго, если 0 < Л < 1, и хоть для одного э 131 эааектизиость пги неон»зделеинои кгитегии 13$ с«»»Ф «»и (т.
е. векторы а, и а» не равны). Пользуясь уже полученным результатом для строго вогнутых функций и переходя к пределу при е О, убедимся в том, что для нахождения минимума вогнутой функции на выпуклом замкнутом ограниченном множестве достаточно определить минимум по крайним точкам. Это обстоятельство запишем формулой; при Р(х, у, а), вогнутой по а, 1«' =Р(х, р) = пппР(х, у, а'), (126) а'«а где Е' — множество крайних точек множества Е. Множество Е' обычно значительно «меньше», чем Е, что облегчает поиск Р. В частности, если Е описывается системой линейных неравенств, то множество крайних точек конечно и нахождение Р сводится к тому или иному перебору.
Именно так обстоит дело в случаях В и Г, где Р(х, у, Х) линейна, а значит и вогнута по Х. Многие из других формул, приведенных в $ 5, также являются частными случаями (126). Отметим, что это не относится к случаю Д, поскольку Ф'= гпах 1»;пь не вогнута, а выпукла по вектору «~1~« В случае выпуклости Р(х, у, и) по и глобальный минимум совпадает с любым из локальных и, значит, легко численно находится. В заключение приведем один, несколько, может быть, спорный, пример практического появления неопределенного критерия в экономической задаче. Рассмотрим с этой точки зрения модель 1.
Вид критерия в ней известен— а ~д,х,; однако его нельзя считать определенным, если цены Ы; точно не известны. Откуда же они могут стать известными? В случае конкурентной экономики они устанавливаются на рынке. С нашей точки зрения, при этом выбор «1; также является стратегией, но в другой более широкой операции, учитывающей конкуренцию. Примером такой операции является модель У из $2. Однако если эти исследования не проведены и если отсутствует вызывающий доверие практический опыт, то й, не могут быть окончательно назначены, а значит, и критерий становится неопределенным. ОцгикА »ФФГИГивиОЦГН ОГРАТГЦГГй 1гл.
и Пусть теперь речь идет о плановой, неконкурентной экономике. Тогда проблема назначения цен становится еще более сложной. Необходимо изучение деятельности всего экономического организма страны, т. е. очень широких и сложных операций. Пока такие исследования с надлежащей подробностью не проведены, цены Г!у остаются достаточно неопределенными для многих видов йродукции.
Какая же минимальная информация о ценах имеется почти всегда? Из соображений неубыточности или доходности производства легко получаются ограничения типа (! 29) есть необходимое условие «сбалансированности» ситуации. Если оно выполнено, то за критерий эффективности*) необходимо принимать л л ~~до ! ~ ~Г(о)ГГ ~ ш)п «Г. /1«1«л У (130) ') Пря обсуждении смысла этого критерия не следуег забывать, что он вводится в основном для сравнения стратегий. ! ~ !е (127) Довольно естественным требованием к «справедливым» ценам является требование типа л С)~' Г(,й,, (!28) ! а где с — общая сумма денежных средств покупателей, а йу — общая потребность (спрос) рынка на продукцию 1-го типа.
Совершенно естественно, что назначающие цены будут стремиться увеличивать нх до разумных пределов. Поэтому в (!28) должно быть равенство. Если нет дополнительных убедительных соображений, то условия (127) и (!28) полностью описывают неопределенность цен и соответствующего критерия в модели !. Легко видеть, что получившаяся ситуация вполне вкладывается в рассмотренный выше случай Г.
Условие з 14) пОВтОРение ОпеРАции и сйешАнные стРАтеГии 137 5 14 Эффективность стратегий при многократном повторении операции. Смешанные стратегии Операция, состоящая в многократном повторении данной операции, является частным случаем сложной операции. Для нее поэтому верно все то, что в Э 3 говорилось о действиях над операциями. Однако многократное повторение — особенно часто встречающийся случай сложной операции, имеет, естественно, свою специфику. Анализ одного из вариантов многократного повторения позволяет понять смысл так называемых смешанных стратегий (составляющих основу теории игр) и их практическое значение. Специфика рассматриваемого варианта сложной операции состоит в самом понятии повторения; многократно проводимые операции в чем-то одинаковы.
Однако если операции полностью одинаковы, т. е. одинаковы цели (критерии эффективности), применяемые стратегии и значения неконтролируемых факторов, то совпадают и результаты. Ясно, что такой случай интереса не представляет и никакого специального рассмотрения не требует. Итак, несмотря на слово повторение, должно допускаться какое-то варьирование операций или их результатов. В «повторяющихся» операциях могут быть различны; а) стратегии и активные средства, б) неконтролируемые факторы. Что касается целей, то они должны быть едины (хоть бы и не тождественны), т. е.
должна существовать, как всегда в сложной операции, общая цель, как-то развивающая ту цель, которая была бы в одной операции, если бы она не повторялась. Образование этой общей цели, конечно, не будет выходить из рамок действий 3 3. Полная несвязанность стратегий, активных средств и неконтролируемых факторов при «повторении» операции недостаточно сужает задачу по сравнению с общим случаем соединения операций, да и слишком не соответствует интуитивному пониманию слова повторение. Поэтому естественно ограничиться рассмотрением неизменных лара- метров операций, т. е. одинаковых фиксированных факторов, одинаковых законов распределения случайных, соответствующих друг другу в повторении, факторов (хотя, возможно, при полной вероятностной независимости их), 188 оцвякь ээвективностя стглтзгий [гл.
и одинаковых областей возможного изменения природных неопределенностей и одинаковых целей, активных средств и наборов стратегий возможного противника. В свою очередь возможности оперирующей стороны также предполагаются стандартными, т. е. одинаковы активные средства и набор стратегий. Именно такой смысл и будет в дальнейшем вкладываться в термин «многократно повторяющейся операции». Поэтому много раз повторяющиеся попытки овладения каким-то пунктом в военных действиях без соответствующего пополнения сил с обеих сторон не могут быть причислены к многократно повторяющейся операции, а есть просто одна большая операция, состоящая из частных, неповторяющихся операций. Наоборот, многократное повторение акта перехвата самолетов противника (одного и того же или различных из запаса самолетов противника) даже разного типа перехватчиками (разные стратегии оперирующей стороны) может быть причислено к повторяющейся операции. Необходимым условием, однако, является принятие неизменности объема множества стратегий при повторении, что означает практическую неисчерпаемость (при данном количестве повторений) всех типов перехватчиков (и самолетов противника).
Пусть критерий эффективности в отдельно взятой операции Р (х, у); тогда, если при 1-м повторении (при общем числе их Ф) неконтролируемые факторы принимают значения уь результаты проведения операций запишутся в виде Р(х, у;) (1(1< Ф) прн условии, что оперирующая сторона все время применяет одну и ту же стратегию х. Отметим сразу, что стратегия х в этом разделе опять трактуется в общем виде как х=х(у); тогда одинаковость стратегий при повторении означает одинаковость функций х(у), а не одинаковость значений этих функций в повторениях. Обозначение стратегии через х опять остается для стратегий, не использующих информацию о у.
Согласно общему определению стратегии в объединенной операции и с учетом неизменности активных средств прн повторении $141 повтогзниз опзглцян и смешливые стглтзгин 189 операций стратегия имеет вид х" = х">(у'), где у' =- (у„..., у,,) и х' = (х„..., х,). Предположим, что у случайно с соответствующими законами распределения составляющих этого вектора. Если принять, что фазовыми переменными всей совокупности повторяющихся операций (сложной операции) являются осреднения результатов по (66), то Я7 (х) окажутся не зависящими от у и одинаковыми во всех повторениях, т.
е. придем к отмеченному выше тривиальному случаю, для которого повторение операций не дает ничего нового. То же самое произойдет и при свертывании результатов каждой отдельной операции по (68) как для случайных, так и для неопределенных факторов. Таким образом, для получения новой оценки эффективности стратегий в многократном повторении следует принимать фазовыми переменными не (68) или (66), а сами исходные значения Р(х, у); комбинируя их по правилам $ 3, можно определить критерий всей сложной операции. В качестве такового можно принять следующие простейшие, но вполне отражающие интуитивные представления о повторении операции, варианты: 1.
Сохранение критерия отдельной операции для всей сложной операции. Если бы Р(х, у) было двузначным [О; 11, т. е. цель операции была только достижима или нет, то сохранение критерия означало бы также достижение или недостнжение той же цели, иначе говоря, достижение цели хоть в одной из повторяющихся операций. Это можно записать в виде %',(х', у') = шах Р(хь у;); (х;) =х'(у'). (131) ~<с<я Такая запись ие теряет своего смысла и в общем случае Р (х, р), означая по существу стремление оперирующей стороны к максимизации максимального результата повторяющихся операций (оперирующую сторону интересуег лучший из отдельных результатов). 2.
Во многих случаях, когда считается недостаточным хотя бы один раз добиться успеха, стремятся увеличить процент успешных результатов при повторении. Тогда 140 ПЦГИКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТВГИй 1Гл. и (133) естественно употребить критерий вида Ю,(АФ, у')= — ~ Г(хн у;), (!32) Г=Г который также годится для любого типа г (х, у). 3. Если желательно добиться успеха во всех частных операциях, то это приводит к критерию )Р'„(х', у') = ппп г (хо у;).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
