Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (1186148), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Рассмотрим столь большие т, чтобы р,(1л+т) < сл. Тогда для монотонной р,(1) имеем 1«+ч т =(гр,(г)йг =(~р,(1)йг+ ( р,(г) йг= е Ф« = $Р-(Е г~ ~~й1+Т вЂ” Г)Р (г, Мь с~)Й=Т„ т. е. условия (104), равно как и (103), выполнены; между тем очевидно, что при т- оо р,(г) — р (г, гь с~); это и доказывает, что р (1, гь сг) есть искомая нижняя грань *). Таким образом, получается следующее утверждение. Т е о р е м а Х1. Добавление условий (104) к условиям (103) не увеличивает гарантированную оценку надежности для ничем более не стесненных р(1). В частности, если все с;=О, то знание (104) при любых Т, не дает никакой гарантии надежности, т.
е. существуют сколь угодно близкие к нулю рЯ, удовлетворяющие (104). Пусть теперь даны (104) и (105). Начнем со случая когда Т и 1) известны точно. Тогда получается Теорема ХП. Нилсняя грань рЯ при фиксированных 1, Т и П равна р (1, Т, П) = (т — г)*+ п — при 1<Т, 0 при 1'= Т. Это предложение можно доказать путем использования теоремы Х, но проще его прямое доказательство. «) Построение р,(«) происходит, очевидно, в соответствии с теоремой Х.
122 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ (ГЛ. и Поскольку любая р(2) может быть сколь угодно точно приближена аналогичной функцией с непрерывной производной, ограничимся случаем наличия непрерывной р'(7). Тогда т +и = („7*~ р ((ИЙ, | а 12 а а $ (1 — т) 1 р' (2) ~ Й ~ ( ~ (1 — т)* / р' (7) ! Й Х ~ ~ р' (() ~ Й < ° о < р(т) ) (7 — )*~р'(г) ~Й о Далее, Т вЂ” т = ( (1 — т) ) р' (7) 1Й < ~ (à — т) ) р' (1) ) Й. Если Т вЂ” т) О, то отсюда ра 12 1 а 12 (Т вЂ” т)' = ~ $ (2 — т) ~ р' (2) ! Й~ < ~ ~ (7 — т) ( р' (8) ! Й~ < о о < р(т) ~ (2 — т)' ! р'(Г) (Й = р(т) (П+ Т' — 2тТ+то'1= о р()[ +( )) Отсюда следует р(т) ~ (Т вЂ” 2)2 '22+ (Т вЂ” Т)2 Докажем точность этого неравенства, т.
е. найдем такие р(1), для которых разница между левой и правой частями сколь угодно мала. р(2) имеют вид р(1)=1 при 1<т< Т, (8)=Ь при т < 2 <7„ Р(Г)=0 пРи Г) Г„ 22 и Ь определяются из условий сохранения Т н Т'+ Р: т+Ь(го — т)=Т; то+Ь(7й — то)=Т2+П. $121 ГАРАНТИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ 123 Т = ~ р (Е) е(Е ) ~ щах (р (Е, Т, О); р (Е, Ео се')) е(Е, Т'+О=2 ) Ер(Е)й) )2) Етах(р (Е, Т, О); р (Е, Ен се))й, (109) и (110) — необходимые условия совместности (!03) и данных Т и О. (110) Отсюда Е + тг+П вЂ” тг Е (т — т)г+0 Т О Т вЂ” т Т вЂ” т ь т — т (т — )' — (т — )г+ТЕ ' Полагая т < Ег < Т < Е„имеем =Ь= (т — ) +е) Устремляя т к Е„ получим требуемое.
Осталось показать существование р,(Е), сколь угодно близких к 0 при Е ) Т, несмотря на фиксацию Т и О. Но это будут те же самые р(Е), только при т- Т; тогда и р(Е)=-Ь 0 пои Е)Т, Поскольку, монотонно растет с Т при фик- Т)г (т — )*+0 сированном О н убывает с ростом О при фиксирован- ном Т, то при условиях (104) н (105) гарантированная оценка р(Е) будет (Тг — Е)г ( — ( '„— + при Е Т ' (107) 0 при Е) Тг. Пусть теперь для р(Е) даны Т, Р и неравенства (103). Тогда, очевидно, р(Е))гпах!р (Е, Т, О); р (Е, Ен се)'!.
(108) Поэтому должно быть се)р(Ее))гпах(р (Еь Т, Р); р (Ео ЕО с,')))се. (109) Далее имеем 124 ОценкА зФФектненостн стгьтегнй [гл. и р (1)= ) е-ьгй~(Л), ) Щ(Л) =1, (111) о о где ~(Л) монотонна. Такие р (1) получаются, например, если Л зависят от условий работы, которые случайны. Ограничение р(1) рамками (11!) позволяет получить гарантированные оценки при информации, которая ничего не гарантирует в общем случае. Так, пусть известно поведение р(г) вблизи 1=0, а именно, пусть известны р'(О) = — а ( О.
Тогда гарантированная оценка состоит в отыскании минимума (111) по 1'(Л) при условии а=) Лг(1(Л). о (112) Из теоремы Х следует, что достаточно искать минимум на дискретных распределениях Л вида Л,— имеет вероятность р, Л,— имеет вероятность 1 — р.
Для таких ~(Л) (112) дает рЛ, + (1 — р) Л, = а; р = „* . (113) Необходимо при этих условиях получить минимум выражения — „' е-А'+(1 — ЛЛ ) е-"!. (114) Пусть Л,=а+а„Л,=а+а,. Возьмем теперь е;=й;и и посмотрйм, как ведет себя выражение (114) как Неравенство (108) дает гарантированную оценку надежности, однако она, видимо, не является точной, т. е.
не дает минимума функций р(1), удовлетворякецих всем условиям задачи. Тем не менее с некоторой перестраховкой ею можно пользоваться, во всяком случае, пока не будет получен точный результат. Рассмотрим теперь гарантированную оценку надежности для законов р (1) более узкого класса. В качестве такого класса возьмем непосредственное обобщение закона (95), а именно, все р(1) =1 — г" (1), представимые в виде и 121 ГАРлнтиРОВАнные Оценки нлдежности 125 (116) Е- Г Е-1Р <ОЫС (118) Итак, если априори известно, что закон р(1) имеет вид (111), то применение экспоненциального закона е-л' осмысленно с точки зрения гарантированных оценок, а л должно определяться через производную р' (0), т.
е. по поведению р(1) вблизи 1=0. Если вместо р'(0) фиксировать Т, то условием взамен (112) будет (119) Вновь достаточно отыскать нижнюю границу ре-ли+(1 р) е-лл при (120) 1 т —— Р= =1 1 а, Га — + — =Т 1 — р Х, Ха функция и, т. е. рассмотрим функцию а Е-1а+Л,а) Г+ 1 Е-(а+Я а1 ~ Ла Ла — Л, Л вЂ”,~ Производная от (115) по и равна е-" * ' ~е-Лва' — е-" а''1. ЛЕГ Ла — Ла Но по условию р = ' >О и 1 — р= — 'Л >О. (117) Отсюда следует, что Й, и Й, обязательно имеют разные знаки.
Например, приняв Й, > 0 > Й„немедленно получим, что производная (116) положйтельна при и > О. Отсюда следует, что значение интересующей нас функции при и=О меньше значений при и>0. Также обстоит дело и при й, < 0(й,. В силу произвольности й, и Й„ а значит, и е, и а„ имеем, что (114) всегда больше, чем е ". Таким образом, нижняя граница (гарантированная оценка надежности) (111) при условии (112) для любых 1 равна 126 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ [гл.
и Устремив Х, к 0 и А, к ОО, очевидно, получим в пределе для (119) нуль при всех 1, за исключением 1=0. Таким образом, и здесь, как и в наиболее общем случае, фиксация Т не гарантирует никакой надежности. Совершенно аналогично может быть поставлена задача и для р(1) вида где я — любое фиксированное число.
Приведенные материалы в целом достаточно широко и убедительно показывают рост гарантированной оценки надежности с ростом информации о соответствующем законе распределения; особенно характерен тот факт, что знания одного лишь среднего времени работы Т совершенно недостаточно, знание же хотя бы дисперсии или р(1;) радикально меняет дело. Этот факт существен с точки зрения организации эксперимента, на основе которого производится оценка надежности аппаратуры. Но и наоборот, приведенные материалы свидетельствуют, что некритическое использование того илн иного вида закона р(Г) (иапример, е-м) без достаточных к тому оснований может привести к значительным ошибкам в оценке надежности как в сторону завышения, так и занижения ее.
Пример последнего: считая справедливым е-"' н зная Т, при небольших Г оценим надежность величиной 1 — =; но если бы было известно Р и оно ока- Т' (г — бл залось бы малым, то оценка могла бы дать (т — Г) +и значительно более высокие результаты для ие слишком малых 1. Следует поэтому большее внимание уделять гарантированным оценкам. Посмотрим теперь, что дают приведенные материалы для сравнения стратегий обеспечения надежности, т.
е. указанных выше (Я 2 и 8) методов дублирования агрегатов. Для простоты ограничимся системой из одного агрегата, который дублируется и раз или по методу параллельного соединения нли путем «холодногсФ резерви рования. 5 121 глелнтяеовлнные оценки ялдежности 127 Пусть известны лишь Т и Р. Тогда для параллельного соединения из формулы (74) и теоремы ХП следует гарантированная оценка надежности: В' (1) = 1 — 1 1 — 1 (121) (т — гр+г») 1(т — ~)»+п1. — (т-г)» 1" .0 при 1(Т.
Для «холодиого» резервирования имеем, прежде всего, что среднее суммарное время работы всех и агрегатов Т, =пТ и Р„= пР. (122) Но тогда та же теорема Х11 дает (— ) — 1 ! (123) (Т вЂ” »)+ ы )т — — ') +~ (т — ') +~ при 1(Т„. Отсюда немедленно вытекает, что при 1)7 превосходство «холодного» резервирования неоспоримо; (123) дает %'(1) — 1 при л — оо для любого1, в то время как параллельное соединение, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
