Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (1186148), страница 18
Текст из файла (страница 18)
и так, что ап! = а, стремится к 1 — е '=! — р(0). Однако как в практике массового обслуживания, так и в ряде вопросов теории стрельбы, часто закон Пуассона используется без достаточных оснований, а то и просто неправильно. Причиной этого является невыполнение условий его применимости, а именно, наличие зависимости между появлениями событий. Эта зависимость может быть обычной зависимостью случайных величин, что имеет место, например, при упоминавшейся схеме двух групп ошибок стрельбы. Однако особенно часто она появляется за счет организации потока событий противником оперирующей стороны.
В первом случае вместо (93) можно пользоваться хотя бы законами типа Р(т) =) — е '!(!р(а); а=) айр(а), (94) где !р(а) — закон распределения, а а — среднее значение числа появлений. Однако при этом необходимо знать закон !р(а), да и пользование (94) менее удобно, чем (93). Применение же (93) для характеристики организованных действий противника априори вообще лишено какого-либо смысла. П1. Экспоненциальный закон распределения 1 (1) = 1 — Р (1) = 1 — е-к', Т = — (95) занял выдающееся место в теории надежности для характеристики времени выхода 1 системы или агрегата из строя.
Он является предельным законом, характеризующим надежность недублированной системы Р(1) при большом количестве независимых по отказам агрегатов. Это хорошо видно из формулы (69). Пусть п оо, причем РьЯ=1 — 1Р;(0)11+о(1Р;(0)(1]; л пусть, далее, ~ Р;(0) ~ФО и ~ ) Р;(0)(=А. 1=! Тогда, очевидно, 1!ш Р (1) = 1пп Ф' (1) = й Ф к л п = 1пп 011 — ~Р!(0)11+о(~Р;(0)~1)) =е-"'. л аь !=! $111 УЧЕТ СЛУЧЛЙННХ ФЛКТОРОВ 105 Аналогичная асимптотика получается и для малых 1 а и фиксированных Р;(1), если 1~ ~ Р;(О) ~ остается фик1=1 сированным при возрастании п.
Однако надежность дублированной системы асимптотически уже не выражается (95). Многократное дублирование системы в целом потребует применения нормальных законов с относительно малой дисперсией. Поагрегатное параллельное соединение типа (74) асимптотически хорошо характеризуется законом Вейбулла: непосредственно обобщающим (95), но при й) 2 значительно от него отличающимся. Применение (95) ограничено и предположением о независимости отказов агрегатов.
Часто (95) совершенно необоснованно используют для характеристики надежности агрегатов (элементов), отнюдь не всегда представляющих собой сложные системы; известно, например, что простые механические автоматические устройства весьма далеки от закона (95). Из сказанного легко сделать вывод, что очень часто при малом количестве экспериментальных данных ие будет достаточных оснований для фиксации вида закона распределения, а тем более для его полной фиксации. Поэтому большую важность приобретает третья постановка вопроса с ограничениями типа (90) или (91), в наименьшей степени аппелирующая к априорному знанию законов распределения.
Отметив, что практически вектор а в 1(г, м) имеет обычно малую размерность и что поэтому оценка эффективности (67) при а, ( и ( а, есть сравнительно простая задача нахождения минимума при малом числе переменных, перейдем к более подробному рассмотрению основной задачи с ограничениями типа (91) и в остальном неизвестным законом распределения 1'(г). Поскольку х(у) есть фиксированная стратегия, эффективность которой оценивается, то можно, опуская промежуточные зависимости, записать интересующую нас 106 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ !Гл.
и задачу гарантированной оценки эффективности в виде %'= !и! ~ ... ) (Р'(г„..., г )Г!РГ(г,)... Г(Р (г ) (97)) (Рцл,>) при условиях р;, ) 0; с,'А < ~~.', атк (гы) р„( С!А. Г=! л Среди этих условий содержатся и ~~,', р;, =1, 1=! (100) при условии, что Р;(г;) — неубывающая функция, СГА<) аГА(гГ)Г!РГ(гГ)<с;„; й=1, ..., 1Г;; 1=1, ..., ГИ (98) В этой записи заключены и условия ~ Г!Р;(г;)=1. Если области возможного изменения всех г; есть конечные отрезки (гл, г;'], то Р;(г,') =0; Р;(г,')=1; при этом если ам(гГ) кусочно-непрерывны и ограничены, а )Р' (г, г„) непрерывна, то 1п1 может быть заменен на минимум ввиду достижимости нижней границы на семействе монотонных функций Р(гГ), заданных на конечных отрезках.
Получившаяся вариационная задача не классическая и может рассматриваться как задача оптимального управления. Однако ее можно существенно упростить, если отказаться от независимости г„..., г . При этом ее можно трактовать и как непрерывную задачу линейного программирования. Для того чтобы убедиться в правомерности такого взгляда, превратим ее в дискретную задачу, разбив каждый из (г,', ЕД на а отрезков точками гп, '..., г;„= гГ и обозначив через ры приращение Р;(гн) — Р;(гн,), понимая под Р; (г;,) предел слева. Если фуйкции ам(г;) ограничены и имеют только конечное число разрывов первого рода, а (Р (г„..., г ) непрерывна, то по свойствам интеграла Стилтьеса задача (97) приближенно может быть записана как и У= пп'и ~~~, )Р(г,,, ..., г .
) П р;, (99) РОГ!.Си~л Г=! 1 Тл~» 10У $ 11! УЧЕТ СЛУЧАйиЫХ ФАКТОРОВ теперь х/,;, .„,/ =ЯР;,. Тогда Ру/ = ~ х;,.;,,...,/, !ч/,4 л 4 1 ~/„,~ и Введем ибо л ~л л л Ру// =-Р!/, Х П Р»/=Р!/,П Х Руу/=Р»; /и..... /щ 1=2 1=2 /,=1 /и ° / л у = 1 Аналогично Р»;= Х х/. /1, !ФУ п Условия ~ р// —— 1 превращаются, очевидно, в условие у=! х/„..., /„= 1. /~ ° ° ° ° /и получим, что Ру/~0 и ~ Ру;=1 при всех !. Однако при /=! этом нельзя утверждать, что х;,;„= П ру,, что улф соответствует независимости г„..., г„. Запишем тем не менее задачу, аналогичную (99) и (100): Ю (з /, ..., е / ) х/„у, ..., /„, (луу) 1 <~у~и (101) 1~у~лу при условиях х/,, /„)0; с/А< ~ аул(гу/) ~~' х/,, /,, ьп ..у„см' (102) 1</у~л 1 < ! < т; 1 < к </2/.
Обратно, если п переменных х;„...;„обладают свой- л ствами х/„,,,/„ЪО и ~ х/„...,;„=1, то, вводя !у ° ° ° /лу Ру/ = ~ х/...., /, , у!=1. 2~1 108 ОценкА зееннтианостн с!'РАтнгий (гл. и Это и есть типичная задача линейного программирования, только с необычной индексацией. Характерным для нее является значительное превышение числа неизвестных над числом ограничений с константами сг„; зто становится очевидным при достаточно больших и, желательных для достаточно точного отражения исходной вариационной задачи с непрерывными го Общее число ограничений (кроме неотрицательности переменных в (101) †(102)) равно г = 2"., йу †(лг — 1). г=! Здесь вычтено (пг — 1), потому что все т условий и ~ ры —— 1 превращаются в одно и то же условие г=! хп, г„=1.
В силу сказанного выше о связи !к ь~м задачи (101) — (102) с задачей (99) — (100) ясно, что первая из них менее ограничительна по условиям, чем вторая, а значит, и минимум в ней не больше, чем в (99) — (100). Легко увидеть и реальный смысл задачи (! 01) — (102). Величины хп...
„;„есть, очевидно, вероятности попадания вектора (г!) =г соответственно в области ггй, < ( г! (гг!! (1 < ! ( т). Они сохраняют свой смысл и в случае, если величины г! зависимы. Таким образом, (101) — (102) может рассматриваться как общая приближенная запись задачи оценки эффективности стратегий при произвольно зависимых между собой случайных факторах*), закон распределения которых ограничен лишь неравенствами (98). Рассматривая задачу в такой постановке, мы можем вместо (98) ставить любые другие ограничения линейного типа, в которых функции а(н) могут уже быть произвольными функциями вектора г; в частности, можно, конечно, рассматривать ограничения на смешанные моменты вектора г. Все сказанное не внесет никаких изменений в (10!) — (102), за исключением замены *) В этом легко убедиться, рассматривая соответствующие общие гп-мерные интегралы Стилтьеса, вэятые по вероятностной мере, определяемой законом распределения вектора г.
й 111 учит случайных едктогов 109 (102) иа более общие неравенства типа с,'( ~ч, 'а,(г!й г ш)х1„..., 1„с,; з=1, (102') Далее рассмотрим задачу именно в такой постановке. Решение задачи типа (101) — (102') при больших и несколько упрощает следующая теорема линейного программирования. Т е о р е м а Ч111 '). Пусть дана задача линейного пРогРаммиРованиЯ: ппп ~~'., й;хй х! > О; с! ( ~з аух! ( су г=! г=! при 1=1, ...,Ря<п. Тогда если существует решение впюй задачи, и множество решений ограничено, то существует и такое решение, для которого разве только й из и переменных хг отличны от нуля. Отметим сразу, что вследствие 0(хп, 1„(! мНО- жество решений в (99) ограничено.
Практическая и методологическая важность этой теоремы ясна; приведем ее доказательство. Для этого необходимо напомнить основные понятия теории выпуклых множеств, которые еще не раз потребуются и в дальнейшем. Множество Х точек х=(х„..., х„) и-мерного пространства Е называется выпуклым, еслй оно вместе с точками х"' и х"! содержит и все точки вида Лх!г!+(1 — Л) х"! при0(Л(1. Крайней или экстремальной точкой выпуклого множества Х называется точка х', которая не может быть представлена в виде Лхн>+ (1 — Л)х'", если хн> и хоп различны и принадлежат множеству Х и 0 < Л <!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
