В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ (1186115), страница 9
Текст из файла (страница 9)
амплитуда сигнала изменится в λ раз, и произойдетзадержка сигнала (фазовый сдвиг).5.Если нам известна вся реализация сигнала как для прошедших, так и «будущих»моментов времени, то для этого случая частотная характеристика будет определятьсясоотношением:(АЧХ), а функция ϕ (ω ) = arg W (iω ) = arctgW (iω ) =∞∫ h(τ )e− iωτdτ .−∞Пусть h(τ) = h(-τ), т.е. импульсная характеристика системы является четной функцией.Тогда:∞W (iω ) =− iωτ∫ h(τ )e dτ =−∞0∞−∞0−iωτ− iωτ∫ h(τ )e dτ + ∫ h(τ )e dτ .Введя обозначение τ′ = -τ, получим:∞0∞∞00W (iω ) = − ∫ h(−τ ′)e iωτ ′ dτ ′ + ∫ h(τ )e −iωτ dτ = ∫ h(−τ ′)e iωτ ′ dτ ′ + ∫ h(τ )e −iωτ dτ =−∞0∞∞00= ∫ h(τ )(e iωτ + e −iωτ )dτ = 2 ∫ h(τ ) cos ωτdτ .Это означает, что для четной весовой функции частотная характеристика имеет толькодействительную часть, и, следовательно, не возникает фазовых искажений. Такого родафильтры называют окнами.6.Рассмотрим пример, где весовая функция имеет прямоугольную форму:⎧1⎪h(τ ) = ⎨ 2T⎪⎩ 0τ ≤Tτ >T.Амплитудно-фазовая частотная характеристика в этом случае будет иметь вид:TW (iω ) = 2 ∫01sin ωT.cos ωτdτ =ωT2T37Обратим внимание на то, что гармоники с увеличение частоты затухают по амплитуде.Кроме того гармоники с периодом, кратным T, будут полностью подавлены, поскольку ωТбудет равно kπ.
Частота ω =πносит название частоты Найквиста. ФизическиTприменение такого фильтра означает осреднение функции x(t) в окне размером в 2Т:∞y (t ) =∫ h(τ ) x(t − τ )dτ =−∞12TT∫ x(t − τ )dτ .−TПовторное применение такого фильтра к полученному на выходе сигналу будет означатьповторное осреднение сигнала в прямоугольном окне.
Частотная характеристика такогосглаживания будет равна произведению АЧХ первого сглаживания на АЧХ повторногосглаживания:W (iω ) = W1 (iω ) W2 (iω ) =sin ωT1 sin ωT2.ωT1ωT2В том случае, если длины весовых окон совпадают, т.е. Т1 = Т2, то частотнаяхарактеристика такого преобразования будет иметь вид:2⎛ sin ωT ⎞W (iω ) = ⎜⎟ .⎝ ωT ⎠Такая частотная характеристика соответствует треугольному окну.
При последующихсглаживаниях поучаемых выходных сигналов будет увеличиваться степень в амплитудночастотной характеристике, и форма кривой АЧХ будет приближаться к форме Гауссовойкривой.7.Рассмотрим теперь случай, когда входной x(t) и выходной y(t) сигналы связаныдифференциальным уравнением, в частности, уравнением 1-го порядка:τy& (t ) + y (t ) = x(t ) .Решим это уравнение в предположении, что y(0) = 0, x(t) = 1 при t>0:y (t ) = Ce−tτ+ 1; из условия y (0) = C + 1 = 0 следует, что С = -1, и окончательно:y (t ) = 1 − e−tτ= H (t ) .Это означает, что импульсная характеристика такого преобразования будет иметь вид:th(t ) =dH 1 − τ= e ,dt τи соответственноy (t ) =1τ∞∫e−θτ038x(t − θ )dθ .Для того чтобы получить передаточную функции необходимо представить входнуюфункцию x(t) в экспоненциальном виде: x(t ) = e pt .
Передаточная функция будетопределена следующим образом:W( p) = e− pt∞{ }= τ e ∫ eГe1pt− pt−θτep ( t −θ )dθ =01τ∞∫e⎛ 1⎞⎜ − − p ⎟θ⎝ τ⎠dθ =01τ∞∫e0−1− pττθdθ =1.τp + 18.Отметим, что такой же результат был нами получен в первых лекциях, когдарассматривался вопрос о стабилизации гравиметра, но там он был получен с помощьюсимвольногометода.Напомним,чтодляэтогоопределяетсяоператордифференцирования D, и с его помощью исходное дифференциальное уравнениепредставляется в виде:(τD +1) y = x .111., W(iω ) =x и соответственно W( p) =1 + τp1 + τD1 + iτωАмплитудная и фазовая характеристики такой системы будет иметь вид:Отсюда следует, что y =λ (ω ) =11 + (τω )2, ϕ (ω ) = −arctg(τω ) .Параметр τ носит название постоянной времени, и он определяет частоту среза ω ср =1τ.9.Дифференциальномууравнению1-гопорядкаудовлетворяютвсегравиметрические датчики. Так, в гравиметре ГМН параметр τ можно подобрать равным1000 – 2000 с.
В этом случае для высокочастотной помехи будет выполняться условиеωτ>>1, и, следовательно, амплитуда помехи a уменьшиться примерно в ωτ раз. Этоозначает что для помехи с частотой ω равной 1 с-1, амплитуда помехи уменьшиться в 1000– 2000 раз, т.е. помеха в 100 Гал, пройдя через такую систему, на выходе будет равна 100мГал. В то же время будет наблюдаться и сдвиг фазы на величину равную −π. Таким2образом, системы, которые описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка,интегрируют входной сигнал.Лекция 9.
Фильтрация сигналов. Ошибки.1.Выбираемые параметры фильтра определяются в первую очередь поставленнойзадачей и формой фильтруемого сигнала. В этом разделе будем под сигналом пониматьаномальное поле силы тяжести ∆g, которое является функцией расстояния, а приизмерении на подвижном основании будет и функцией времени:∆g ( s ) = ∆g (vt + s 0 ) = ∆g (t ) ,39где v – скорость носителя, s0 – начальное положение носителя. Форма сигнала может бытьсамой разнообразной, и к тому же этот сигнал осложнен помехой, в частностивертикальными возмущающими ускорениями &z&(t ) .
Ставится задача наилучшим образомвоспроизвести форму полезного сигнала. Однако, проходя через фильтр, сигналискажается. Основные факторы, определяющие ошибку в выходном сигнале, являютсязапаздывание и сглаживание, т.е. эти факторы определяют динамическую погрешностьгравиметра.2.Если система гравиметра является линейной, то для нее справедливо следующаязависимость между входным и выходным сигналом:∞x(t ) = ∫ h(ξ )[∆g (t − ξ ) + &z&(t − ξ )]dξ .0В этом выражении, как и в предыдущей лекции, при рассмотрении входного сигнала неучитываются центростремительное и кориолисово ускорения. Динамическимипогрешностями будем называть следующие возникающие ошибки:∞e g (t ) = ∫ h(ξ )∆g (t − ξ )dξ − ∆g (t )0− разность между откликом системы на входной сигнал силы тяжести и истинной силойтяжести, и∞e &z& (t ) = ∫ h(ξ ) &z&(t − ξ )dξ0− погрешность, возникающая при прохождении вертикальных ускорений через системугравиметра.3.Рассмотрим следующую модель.
Пусть система гравиметра описываетсядифференциальным уравнением 3-го порядка, хотя в большинстве случаев системыгравиметров описываются уравнениями 1-го или 2-го порядков,a 0T 3&x&& + a1T 2 &x& + Tx& + x = ∆g + &z& .Пусть входной сигнал представляет собой линейный фон:∆g (t ) = ∆g 0 + W xz ⋅ vt .В этой формуле Wxz – горизонтальный градиент силы тяжести, v – скорость перемещениягравиметра (скорость судна). Отклик гравиметра на такой входной сигнал будет та желинейная функция, но сдвинутая на некоторое время С:x(t ) = ∆g 0 + W xz ⋅ v(t − C ) .Подставим это выражение в уравнение системы гравиметра:W xz vT + ∆g 0 + W xz v(t − C ) = ∆g 0 + W xz vt .40Следствием из этого уравнения является то, что С = Т, т.е.
это и есть время запаздывания.Это справедливо для установившегося процесса, в котором к определенному моментувремени все переходные процессы закончились. Для динамической ошибки eg получим:e g = x − ∆g = ∆g 0 + W xz v(t − T ) − (∆g 0 + W xz vt ) = −W xz vT .4.Пример. Пусть Wxz = 50 Э = 5 мГал/км, и пусть v = 10 узлов, что соответствуетскорости в 5м/с или 0,005 км/с. Положим время запаздывания равным 5 минутам (Т = 300с). В этом случае ошибка eg будет равна:eg = -5 ⋅ 0,005 ⋅ 300 = 7,5 мГал.5.Рассмотрим следующий тест, в котором входной сигнал представляется в видесинусоидальной модели:∆g (t ) =∆g 0(1 − cos ks) .2Здесь s = vt – расстояние, зависящее от скорости судна и времен, k – волновое число2πk=, L – период волны.
С учетом этих замечаний для модели можно записать:L∆g (t ) =∆g 0∆g 02π(1 − cosvt ) =(1 − cos ωt ) .22LПусть ∆g0 = 15 мГал, L = 5 миль, v = 10 узлов (напомним, что скорость в 1 узелсоответствует скорости 1 мили в час). Круговая частота ω, соответствующая этой модели2π= 3,5 ⋅ 10 −3 c −1 .будет равна ω =1800cВертикальные ускорения для этого теста представим, как &z& = &z&0 cos ωt , и значениечастоты ω положим равной 1 с-1.6.Рассмотрим исходное дифференциальное уравнение гравиметра 3-го порядка каксистему из трех дифференциальных уравнений 1-го порядка, соединенных в цепочку:→Г0→Г0→Г0→1.Соответственноτp + 1трехзвенная цепочка, представляющая исходное дифференциальное уравнение будетиметь следующую передаточную функцию:Здесь Г0 – передаточная функция одного звена, Г 0 ( p) =3⎛ 1 ⎞⎟⎟ ,Г ( p) = ⎜⎜⎝ τp + 1 ⎠41n⎛ 1 ⎞⎟⎟ .
τ − постоянная времени одного звена. Соответствующееа n-звенная − Г ( p) = ⎜⎜⎝ τp + 1 ⎠дифференциальное уравнение представится в следующем виде:x + nτx& +n(n − 1) 2τ &x& + ... = ∆g .2!Таким образом, постоянная времени всей цепи T = nτ. В зависимости от количествазвеньев постоянная времени цепочки T в n раз больше постоянной времени τ одного звена.7.Для частотной характеристики n-звенной цепочки можно написатьn⎛1 ⎞⎟⎟ ,Г (iω ) = ⎜⎜⎝ iωτp + 1 ⎠и, соответственно, для амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик:⎛1λ (ω ) = ⎜⎜2 2⎝ 1+τ ω8.вид:n⎞⎟ , ϕ(ω ) = − n arctgτω .⎟⎠Наш тестовый сигнал, проходящий через такую цепочку, на выходе будет иметьx(t ) =∆g 0[1 − λ (ω ) cos(ωt + ϕ(ω ) )] + &z&0 1 n cos(ωt − n π ) .22(τω )Когда ω мало, то ϕ(ω) = -nτω, и, если в то же время τω>>1, то∆g 0(1 − λ (ω ) cos ω (t − nτ ) ) + ...29.Как осуществить выбор параметров n и τ? Для этого потребуем, что бывертикальные ускорения были подавлены в 1000000 раз, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
