В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ (1186115), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ускорения амплитудой в 100Гал на выходе не превышали бы 0,1 мГал. Это означает, что для данной частоты λ(ω) =11=≈ 3,7 ⋅ 10 −8 , т.е.10-6 (120 дБ). Пусть n = 3, τ = 100 с и ω = 1 с-1, тогда λ (ω ) ≈3n(τω )(300)фильтр с запаздыванием T = nτ = 300 c = 5 мин заведомо обеспечивает подавление помехив 120 дБ. Рассмотрим, что будет происходить с полезным сигналом. В нашем примерекруговая частота полезного сигнала равна 3,5⋅10-3. Рассчитаем значение амплитуднойхарактеристики для данной частоты:x(t ) ≈⎛1λ (ω ) = ⎜⎜2 2⎝ 1+τ ωn⎞⎟ = 1 + τ 2ω 2⎟⎠()−32≈ 1−3(τω )2 = 1 − 3 0,35 2 .22Полученный результат означает, что подавление амплитуды полезного сигнала заданнойчастоты будет равно4230,35 2 ≈ 0,18 ,21 − λ (ω ) =т.е. амплитуда полезного сигнала будет подавлена на 18%.
Для нашего примераамплитудная ошибка составит (15мГал)⋅0,18 ≈ 3 мГал.10.Рассмотрим цепочку из звеньев 2-го порядкаГ0u→→x→→Г0→Г0в каждом звене которой входной и выходной сигналы удовлетворяют дифференциальномууравнению 2-го порядка:τ 2 &x& + 2ζτx& + x = u .Для получения выражения передаточной функции и частотной характеристики отдельногозвена сделаем последующие выкладки:(τ2)(p 2 + 2ζτp + 1 x = u ; x = 1 + 2ζτp + τ 2 p 2Г 0 ( p) =)−1u;11, Г 0 (iω ) =.2 21 + 2ζτp + τ p1 + 2ζiτω − τ 2 p 2n-звенная цепочка будет иметь следующую передаточную функцию(Г ( p) = 1 + 2ζτp + τ 2 p 2)−n,а соответствующая амплитудно-частотная характеристика –[(λ (ω ) = 1 − τ ω2)2 2+ 4ζ τ ω222]−n2[= [(1 + τ= 1 − 2τ 2ω 2 + τ 4ω 4 + 4ζ 2τ 2ω 24ω 4 ) + (4ζ 2 − 2)τ 2ω]n2 −2]−n2=.Для того, чтобы получить характеристику с большей крутизной, следует избавиться от1≈ 0,707 , ивторого слагаемого 4ζ 2 − 2 τ 2ω 2 .
Это возможно при ζ =2()(λ (ω ) = 1 + τ 4ω 4)−n2.Фазовая характеристика одного звена будет определяться следующим образом:ϕ(ω ) = −arctg2τω1 − τ 2ω 2,а фазовая характеристика n-звенной цепочки:ϕ(ω ) = − n arctg432τω1 − τ 2ω 2.Время запаздывания определяется для каждой частоты своим значением фазы и при ω,стремящимся к нулю, будет равно:T =−ϕ (ω )→ 2nτ .ω ω →011.Рассмотрим пример. Пусть Т = 5 мин = 300 с, и n = 3, т.е. цепочка состоит их трех300). Рассмотрим,звеньев.
В этом случае значение τ соответствует значению 70 с ( τ =3 2что произойдет с полезным сигналом при этих параметрах фильтра. При частоте34полезного сигнала ω = 3,5⋅10-3 с-1 λ (ω ) ≈ 1 − (τω ) ≈ 0,995 , т.е. амплитудное искажение2полезного сигнала составит 0,5%, и при амплитуде полезного сигнала в 15 мГал составит0,075 мГал (|eg| = 0,075 мГал). Для помехи с частотой ω = 1 с-1 получим τω = 70,1λ (ω ) ≈≈ 8,5 ⋅ 10 −12 < 1 ⋅ 10 −11 . Стоит еще раз отметить, что запаздывание является(τω ) 6функцией частоты.12.В морской гравиметрии большое применение нашли фильтры Баттерворта(Baterworth). Эти фильтры имеют наиболее плоскую АЧХ в полосе пропускания с1частотой среза ω 0 = . АЧХ таких фильтров определяется следующим образом:τλ (ω ) =11 + τ 2 nω 2 n.Соответствующая передаточная функция может быть определена следующим образом:2λ 2 (ω ) = Г (iω ) = Г (iω ) Г * (iω ) =Г (iω ) =11 + τ 2 nω 2 n,1.Bn (iωτ )Bn(x) – полином Баттерворта.
Характерная особенность этих полиномов заключается втом, что их нули на комплексной плоскости располагаются по окружности равномерно.Основные формулы для полиномов:n/22k − 1⎞⎛Bn ( x) = ∏ ⎜ x 2 + 2 x sinπ + 1⎟ , при четном n,2n⎠k =1 ⎝Bn ( x) = ( x + 1)( n −1) / 2∏k =12k − 1⎛ 2⎞π + 1⎟ , при нечетном n.⎜ x + 2 x sin2n⎝⎠Так при n = 2, B2 ( x) = x 2 + 2 x + 1 , для n = 3 − B3 ( x) = (1 + x)( x 2 + x + 1) и т.д.В развернутом виде полином Баттерворта представляется в виде:44Bn ( x) = 1 + a1 x + a 2 x 2 + ... + x n ,причем коэффициенты ak обладают свойствами симметрии: a1 = an-1, a2 = an-2,…, ak = an-k.13.Передаточная функция фильтра Баттерворта 3-го порядка имеет вид:Г ( p) =1.τ p + 2τ p 2 + 2τp + 1332Отсюда следует, что для АЧХ и ФЧХ фильтра можно записать:λ (ω ) =11 + τ 6ω 6, ϕ(ω ) = −arctg2τω − τ 3ω 3.1 − 2τ 2ω 2Для малых значений τω1λ (ω ) ≈ 1 − τ 6ω 6 , ϕ(ω ) ≈ −2τω .2Время запаздывания такого фильтра Т = 2τ.14.Рассмотрим пример.
Пусть частота среза ω0 = 0,01 с-1, т.е. τ = 100 с. Тогда времязапаздывания Т = 200 с. Амплитудная погрешность для полезного сигнала с частотой ω =3,5⋅10-3 с-1 будет равна111 − λ = τ 6ω 6 = 0,35 6 ≈ 0,92 ⋅ 10 −3 ≈ 0,1% .22Таким образом, амплитудная погрешность у такого фильтра практически отсутствует. Дляпомехи с частотой ω = 1 с-1 получим λ ≈ (τω)-3 = 10-6, что также означает практическиполное ее подавление. Основная погрешность такого фильтра в диапазоне нижних частотформируется в основном за счет фазовых искажений:eg ==∆g 0[1 − λ (ω ) cos(ωt + ϕ(ω ))] − ∆g 0 (1 − cos ωt ) =22∆g 0∆g∆gcos ωt − 0 λ (ω ) cos ωt cos ϕ + 0 λ (ω ) sin ωt sin ϕ =222∆g 0[(1 − λ (ω ) cos ϕ) cos ωt + λ (ω ) sin ωt sin ϕ] .=2И окончательно,∆g 0∆g(1 − λ cos ϕ )2 + λ 2 sin 2 ϕ = 0 1 + λ 2 − 2λ cos ϕ .22Эта ошибка может достигать больших величин.
С учетом амплитудной и фазовойпогрешности выражение для общей ошибки будет иметь вид:eg =eg =∆g 0[1 − λ cos(ωt + ωT + ϕ)] − ∆g 0 (1 − cos ωt ) ,2245eg =∆g 01 + λ 2 − 2λ cos(ϕ + Tω ) .2Таким образом, если амплитудная погрешность может быть сведена до минимума, тофазовая погрешность существует и ее необходимо учитывать. Возможность практическиполного подавления помехи с практически малой амплитудной погрешностью полезногосигнала в полосе пропускания делают этот фильтр популярным в морской гравиметрии.Лекция 10.
Восстановление сигнала. Цифровые фильтры.1.В предыдущих лекциях было показано, что при прохождении сигнала черезгравиметр и фильтры может происходить следующее. Во-первых, происходит подавлениевысокочастотных вертикальных ускорений, и выходной сигнал может их практически несодержать. Во-вторых, проходя через гравиметр, полезный сигнал искажается взависимости от АЧХ гравиметра, и выходной сигнал отличается от полезнойсоставляющей входного сигнала. Таким образом, возникает задача по выходному сигналувосстановить полезный входной сигнал, т.е.
задача восстановления сигнала.2.Задача восстановления полезного сигнала может быть осуществлена разнымиспособами. Одни из них – лучше, другие – хуже. Например, возможно просто сместитьвыходной сигнал на некоторое время, учитывающее время запаздывания. При такомспособе восстановления сигнала предполагается, что при прохождении полезного сигналачерез гравиметр все пропущенные гармоники не изменили своей амплитуды (АЧХгравиметра постоянна), а фазовый сдвиг для всех пропущенных гармоник одинаков (ФЧХпостоянна). Такой способ восстановления сигнала нельзя назвать оптимальным,поскольку в нем не учитывается динамические особенности гравиметра. Можно ввестипоправку за время запаздывания следующим образом. Пусть система гравиметраописывается дифференциальным уравнением 1-го порядка:Tx& + x = ∆g + &z& .Производную x& в момент времени tk можно представить приближенным образом∆x(t k ) ≈ Tx& (t k ) ≅T [x(t k + θ ) − x(t k − θ )],2θгде θ - некоторый временной интервал.
В этом случае, для искомого сигнала ∆g можнонаписать:∆g (t k ) = x(t k ) +T[x(t k + θ ) − x(t k − θ )] = T x(t k − θ ) + x(t k ) + T x(t k + θ ).2θ2θ2θ3.В общем виде для системы гравиметра можно написать, что входной и выходнойсигналы связаны некоторым дифференциальным уравнением, которое в операторнойзаписи будет иметь вид:Г ( p) x(t ) = ∆g (t ) + &z&(t ) .46Оператор Г(p) вносит динамические погрешности. Можно к выходному сигналу x(t)применить некоторый фильтр с тем, что бы на выходе получить сигнал y(t) наилучшимобразом совпадающий с искомым сигналом ∆g(t):y (t ) = Wфнч ( p ){x(t )}.Можно попытаться пойти и другим путем, т.е.
попытаться построить такой фильтр низкихчастот, что бы на выходе гравиметра был сигнал без фазовых погрешностей:W0 ( p){∆g + &z&} = ∆g~В этом случае можно записатьW0 ( p) Г ( p){x(t )} = ∆g~ .Это означает, что фильтр низких частот должен удовлетворять соотношению Wфнч = W0 Г .4.Можно ли реализовать такой фильтр в реальном времени? К сожалению, этоневозможно. Любой фильтр в реальном времени будет вносить фазовые искажения.
Этосвязано с тем, что для исключения фазовых искажений фильтр низких частот должениметь только действительную частотную характеристику:W (iω ) =1N (iω )2.2С учетом того, что iω = p, можно записать N ( p) = N ( p) N (− p) . Однако реализацияфильтра N(-p) приводит к неустойчивости решения, поэтому можно эту схему реализоватьдругим путем, а именно пропустить через фильтр с частотной характеристикой N(p) тотже сигнал, но в обратном направлении:u→N(p)x (−t )N(p)→x→↓←x(-t)N(-p)→неустойчивостьЗдесь под u можно понимать показания гравиметра. Но для реализации этой схемынеобходимо знать весь сигнал x(t).
А такая схема уже не будет схемой реализованной вреальном времени.5.То, что излагалось в предыдущих разделах, касалось как общих вопросовфильтрации, так и аналоговых вариантов фильтрации. Это связано с тем, что врадиотехнике разработано достаточное количество схем, реализующих различныефильтры. В настоящее время все большее распространение получают цифровыетехнологии. Появление цифровых технологий и развитие вычислительной техники даетгораздо большее число возможностей для осуществления задачи выделения полезногосигнала. Рассмотрим некоторые положения цифровой фильтрации сигналовприменительно к задачам, рассматриваемым в этом курсе.6.Пусть данные заданы с равномерным временным интервалом h.
В нашем случаепод этими данными можно понимать сигнал, поступающий с гравиметра. Введем47некоторые обозначения. Будем обозначать значение сигнала во время tk как k-ый отсчет.Соответственно, tk + h = k+1, tk +2h = k+2 и т.д. Очень важным в теории цифровойфильтрации является выбор величины временного интервала h. Это связано с точностьюаппроксимации сигнала по заданным его значениям. Так, например, всегда можнопостроитьпроизводнуюсигналалюбогопорядкапоаппроксимационнойполиноминальной функции. Если говорить об аппроксимации сигнала с помощью рядовФурье, то важное значение имеет понятие частоты Найквиста. Это связано с тем, чтолюбой реальный сигнал можно представить только конечным числом отсчетов N. Тогда,наименьшая частота гармоники, которая может участвовать в аппроксимации сигнала2π π2πбудет равна, а соответствующая ей наибольшая частота будет равна= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
